人教版数学八级上册14-平方差公式课件

14.2乘法公式14.2.1平方差公式14.2乘法公式14.2.1平方差公式1学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点）2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差2多项式与多项式是如何相乘的？

（x

＋3)(x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn复习引入多项式与多项式是如何相乘的？（x＋3)(x＋5）=3面积变了吗？a米5米5米a米(a-5)米相等吗？平方差公式新课讲解面积变了吗？a米5米5米a米(a-5)米相等吗？平方差公式新4（1）（x

＋1)(x－1）；（2）（m

＋2)(m－2）；（3）（2m＋1)(2m－1）；（4）（5y

＋z)(5y－z）.计算下列多项式的积，你能发现什么规律？算一算：看谁算得又快又准.x2

－12m2－22(2m)2

－12(5y)2

－z2想一想：这些计算结果有什么特点？新课讲解（1）（x＋1)(x－1）；计算下列多项式的积，你能发5(a+b)(a−b)=a2−b2

也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差.这个公式叫做（乘法的）平方差公式.1.（a–b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2★平方差公式★公式变形新课讲解(a+b)(a−b)=a2−b2也就是说，两个数的6平方差公式注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2

相同为a

相反为b，-b适当交换合理加括号平方差公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中，p=a，q=-b的特殊形式.新课讲解平方差公式注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项7填一填：12-x2(-3+a)(-3-a)(a-b)(a+b)(-3+a)(-3-a)(1+a)(-1+a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+x)(1-x)aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12新课讲解填一填：12-x2(-3+a)(-3-a)(a-b)(a+b8练一练：口答下列各题：

(l)(-a+b)(a+b)=_________；(2)(a-b)(b+a)=__________；(3)(-a-b)(-a+b)=________；(4)(a-b)(-a-b)=_________.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2新课讲解练一练：口答下列各题：a2-b2a2-b2b2-a2b2-a9

计算：

(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)（-x+2y)(-x-2y).(2)原式＝(-x)2-(2y)2＝x2-4y2.解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4.解题技巧：应用平方差公式计算时，应注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．例1新课讲解计算：(2)原式＝(-x)2-(2y)10【练习】利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；

(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25.(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.新课讲解【练习】利用平方差公式计算：解：(1)原式=(3x)2－5211

计算：(1)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5);(2)102×98.解：

(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)（2）102×98=y2-4-y2-4y+5

=-4y+1.

=y2-22-(y2+4y-5)=9996.=（100＋2）(100－2)=1002-22=10000–4通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.例2新课讲解计算：解：(1)(y+2)(y-2)-(y12【练习】计算：(1)51×49;(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

.解：

(1)原式=（50＋1）(50－1)=502-12=2500–1=2499.

(2)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.新课讲解【练习】计算：解：(1)原式=（50＋1）(50－1)13

先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－

x)，其中x＝1，y＝2.原式＝5×12－5×22＝－15.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，例3新课讲解先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y14

对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－

(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数．解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10=n2-1，n为正整数，∴n2-1为整数.解题技巧：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．例4新课讲解对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1151.下列运算中，可用平方差公式计算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C2.计算（2x+1）（2x-1）等于（）A．4x2-1B．2x2-1C．4x-1D．4x2+1A3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．10随堂即练1.下列运算中，可用平方差公式计算的是()C2.计算（216（1）(a+3b)(a-

3b)；=4a2－9.=4x4－y2.解：原式=(2a+3)(2a-3)=a2－9b2.=(2a)2－32解：原式=(-2x2)2－y2解：原式=a2－(3b)2（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).4.利用平方差公式计算：随堂即练（1）(a+3b)(a-3b)；=4a2－9.=4x4－y175.计算：

20172－

2016×2018.解：20172

－

2016×2018=20172－

(2017－1)×(2017+1)=20172－（20172－12)=20172－

20172+12=1.随堂即练5.计算：20172－2016×2018.解：201186.利用平方差公式计算：（1）（a-2)(a+2)(a2+

4)

；解：原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.随堂即练6.利用平方差公式计算：（1）（a-2)(a+2)(a2+197.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3=2x2－1.将x＝2代入上式，得原式=2×22-1=7.随堂即练7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x208.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝

________；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；1－xn+1-632n＋1－2

x100－1随堂即练8.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－21(3)通过以上规律请你进行下面的探索：①(a－b)(a＋b)＝________；②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．a2－b2

a3－b3

a4－b4

随堂即练(3)通过以上规律请你进行下面的探索：a2－b2a3－b322平方差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.字母表示：（a+b)(a-b)=a2-b2应用时，紧紧抓住“一同一反”这一特征，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用课堂总结平方差公式内容注意两个数的和与这两个数的差的积，等于这两23►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。►有时候，我们愿意原谅一个人，并不是我们真的愿意原谅他，而是我们不愿意失去他。不想失去他，惟有假装原谅他。不管你爱过多少人，不管你爱得多么痛苦或快乐。最后，你不是学会了怎样恋爱，而是学会了，怎样去爱自己。►为你理想的人，否则，爱的只是你在他身上找到的你的影子。24►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜春风来，千树万树梨花开。真好看呀！►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的荒原上，闪着寒冷的银光。►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满25►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热闹场面，苏州街围着一片湖，沿着河岸有许多小绿盘子里装着美丽的荷花。这里是仿照江南水乡--苏州而建的买卖街。当年有古玩店、绸缎店、点心铺等，店铺中的店员都是太监、宫女妆扮的，皇帝游览的时候才营业。我正享受着皇帝的待遇，店里的小贩都在卖力的吆喝着。►走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠叠地挤在水面上，是我不由得想起杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。荷叶上滚动着几颗水珠，真像一粒粒珍珠，亮晶希望对您有帮助，谢谢晶的。它们有时聚成一颗大水珠，骨碌一下滑进水里，真像一个顽皮的孩子！►走进颐和园，眼前是繁华的苏州街，现在依稀可以想象到当年的热2614.2乘法公式14.2.1平方差公式14.2乘法公式14.2.1平方差公式27学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征.（重点）2.灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题.（难点）学习目标1.经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差28多项式与多项式是如何相乘的？

（x

＋3)(x＋5）=x2＋5x＋3x＋15=x2＋8x＋15.

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn复习引入多项式与多项式是如何相乘的？（x＋3)(x＋5）=29面积变了吗？a米5米5米a米(a-5)米相等吗？平方差公式新课讲解面积变了吗？a米5米5米a米(a-5)米相等吗？平方差公式新30（1）（x

＋1)(x－1）；（2）（m

＋2)(m－2）；（3）（2m＋1)(2m－1）；（4）（5y

＋z)(5y－z）.计算下列多项式的积，你能发现什么规律？算一算：看谁算得又快又准.x2

－12m2－22(2m)2

－12(5y)2

－z2想一想：这些计算结果有什么特点？新课讲解（1）（x＋1)(x－1）；计算下列多项式的积，你能发31(a+b)(a−b)=a2−b2

也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于这两数的平方差.这个公式叫做（乘法的）平方差公式.1.（a–b)(a+b)=a2-b22.（b+a)(-b+a)=a2-b2★平方差公式★公式变形新课讲解(a+b)(a−b)=a2−b2也就是说，两个数的32平方差公式注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项式等．(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2

相同为a

相反为b，-b适当交换合理加括号平方差公式是多项式乘法（a+b）（p+q）中，p=a，q=-b的特殊形式.新课讲解平方差公式注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个多项33填一填：12-x2(-3+a)(-3-a)(a-b)(a+b)(-3+a)(-3-a)(1+a)(-1+a)(0.3x-1)(1+0.3x)(1+x)(1-x)aba2-b21x-3a12-x2(-3)2-a2a1a2-120.3x1(0.3x)2-12新课讲解填一填：12-x2(-3+a)(-3-a)(a-b)(a+b34练一练：口答下列各题：

(l)(-a+b)(a+b)=_________；(2)(a-b)(b+a)=__________；(3)(-a-b)(-a+b)=________；(4)(a-b)(-a-b)=_________.a2-b2a2-b2b2-a2b2-a2新课讲解练一练：口答下列各题：a2-b2a2-b2b2-a2b2-a35

计算：

(1)(3x＋2)(3x－2)；(2)（-x+2y)(-x-2y).(2)原式＝(-x)2-(2y)2＝x2-4y2.解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4.解题技巧：应用平方差公式计算时，应注意以下几点：(1)左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．例1新课讲解计算：(2)原式＝(-x)2-(2y)36【练习】利用平方差公式计算：(1)(3x－5)(3x＋5)；

(2)(－2a－b)(b－2a)；(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)．解：(1)原式=(3x)2－52＝9x2－25.(2)原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2.(3)原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2.新课讲解【练习】利用平方差公式计算：解：(1)原式=(3x)2－5237

计算：(1)(y+2)(y-2)–(y-1)(y+5);(2)102×98.解：

(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)（2）102×98=y2-4-y2-4y+5

=-4y+1.

=y2-22-(y2+4y-5)=9996.=（100＋2）(100－2)=1002-22=10000–4通过合理变形，利用平方差公式，可以简化运算.不符合平方差公式运算条件的乘法，按乘法法则进行运算.例2新课讲解计算：解：(1)(y+2)(y-2)-(y38【练习】计算：(1)51×49;(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

.解：

(1)原式=（50＋1）(50－1)=502-12=2500–1=2499.

(2)原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10.新课讲解【练习】计算：解：(1)原式=（50＋1）(50－1)39

先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－

x)，其中x＝1，y＝2.原式＝5×12－5×22＝－15.解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，例3新课讲解先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y40

对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－

(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数．解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10.∵(10n2－10)÷10=n2-1，n为正整数，∴n2-1为整数.解题技巧：在探究整除性或倍数问题时，一般先将代数式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．例4新课讲解对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1411.下列运算中，可用平方差公式计算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C2.计算（2x+1）（2x-1）等于（）A．4x2-1B．2x2-1C．4x-1D．4x2+1A3.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．10随堂即练1.下列运算中，可用平方差公式计算的是()C2.计算（242（1）(a+3b)(a-

3b)；=4a2－9.=4x4－y2.解：原式=(2a+3)(2a-3)=a2－9b2.=(2a)2－32解：原式=(-2x2)2－y2解：原式=a2－(3b)2（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y).4.利用平方差公式计算：随堂即练（1）(a+3b)(a-3b)；=4a2－9.=4x4－y435.计算：

20172－

2016×2018.解：20172

－

2016×2018=20172－

(2017－1)×(2017+1)=20172－（20172－12)=20172－

20172+12=1.随堂即练5.计算：20172－2016×2018.解：201446.利用平方差公式计算：（1）（a-2)(a+2)(a2+

4)

；解：原式=(a2-4)(a2+4)=a4-16.(2)(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)=（x4-y4)(x4+y4)=x8-y8.随堂即练6.利用平方差公式计算：（1）（a-2)(a+2)(a2+457.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2.解：原式=x2－1＋x2－x3＋x3=2x2－1.将x＝2代入上式，得原式=2×22-1=7.随堂即练7.先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x468.已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4.(1)观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝

________；(n为正整数)(2)根据你的猜想计算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；③(x－1)(x99＋x98＋x