勾股定理课件

勾股定理cba勾股定理cba1勾股定理的别称勾股定理的证明勾股数组勾股定理的作用勾股定理勾股定理的别称勾股定理2勾股定理的别称商高定理毕达哥拉斯定理百牛定理埃及三角形驴桥定理勾股定理的别称商高定理3

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”勾股定理的来历勾股定理的来历4

毕达哥拉斯出生于萨摩斯岛，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何，自然学和哲学。后来来到巴比伦，印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养。大约在公元前530年，又返回萨摩斯岛，后来又迁居意大利的克罗通，创建了自己的学术。毕达哥拉斯学术认为数最崇高，最神秘，他们所讲的是整数。可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯到了晚年不仅学术保守，还反对新生事物，最后死与非命毕达哥拉斯简介毕达哥拉斯出生于萨摩斯岛，自幼聪明好学，曾在名5生命的代价

有一位名叫商高（约公元前560年~公元前480年）的数学家，以他为代表的一批学者组成了商高学派，既是学习团体，又是政治、宗教团体，有严格的清规戒律。比如，会员必须宣誓“决不把知识传授给外人”，否则要受到严重处分，甚至极刑——活埋。生命的代价有一位名叫商高（约公元前560年~公元6

在西方人们认为勾股定理是毕达哥拉斯先发现的，并称之为“毕达哥拉斯定理”。不过早在公元前1120年左右中国的商高就在对话中说到：“故折矩，此为勾广三，股修四，经隅五。”你可能认为这是最早的勾股定理，但是具调查在公元前1900年的一块巴比伦上午泥板中，记载了15组勾股数。所以古巴比伦人才是勾股定理最先的发现人。勾股定理究竟是谁先发现的？在西方人们认为勾股定理是毕达哥拉斯先发现的，并称7证明方法(a+b)(a+b)-2ab=c2a2+b2+2ab-2ab=c2a2+b2=c2证明方法(a+b)(a+b)-2ab=c28证明方法证明方法9勾股数组勾股数组：满足与方程a2+b2=c2正整数组（a，b，c）被称为勾股数组。勾股数组的公式：1.1/2(m2-n2),mn,1/2(m2+n2)2.2x+1,2x2+2x,2x2+2x+1勾股数组的规律:1.2奇1偶2.如果a,b,c是两两互素的勾股数,那a,b必定1奇1偶,c必为奇数勾股数组勾股数组：满足与方程a2+b2=c2正整数组（a，b10勾股定理外星人

在人类在寻找“外星人”时，碰到个难题；一旦遇到“外星人”该怎么与他们交谈？显然用人类的语言文字音乐是不行的。数学家华罗庚建议，用一幅数形关系作为与“外星人”交谈的语言。这幅图中有边长为3、4、5的正方形，它们又互相联结成一个三角形。三个正方形都被分成了大小相等的一些小方格，并且每条边上的小方格的个数，与这条边长度的数字相等。两个小方形的小方格数分别为9和16，其和为25，恰好等于大方形的小方格数。整幅图反映；“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”与勾股定理外星人在人类在寻找“外星人11思考题思考题12勾股定理的应用勾股定理的应用13回顾与思考-----------勾股定理1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？2、请你举一个生活中的实例，并应用勾股定理解决它。回顾与思考1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？2、14课堂练习：一判断题.1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13()2.ABC的a=6,b=8,则c=10()课堂练习：15二填空题1.在

ABC中,C=90°,(1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.(2)若a=9,b=40,则c=______.2.在

ABC中,C=90°,若AC=6,CB=8,则ABC面积为_____,斜边为上的高为______.6841244.8二填空题163．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为()A.12cmB.10cmC.8cmD.6cmD3．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16c174如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CDABCD证明：过A作AE⊥BC于EE∵AB=AC，∴BE=CE在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2∴AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)·(DE-BE)=(DE+CE)·(DE-BE)=BD·CD4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求185、已知：数7和24，请你再写一个整数，使这些数恰好是一个直角三角形三边的长，则这个数可以是——6、一个直角三角形的三边长是不大于１０的三个连续偶数，则它的周长是————25245、已知：数7和24，请你再写一个整数，6、一个直角三角形的197.观察下列表格：……列举猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+25……13、b、c132=b+c请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.即b=

，c=

84857.观察下列表格：……猜想3、4、532=4+55、12、209、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BAABC解：台阶的展开图如图：连结AB在Rt△ABC中根据勾股定理AB2=BC2＋AC2

＝552＋482＝5329∴AB=73cm9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５218、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？CABDE解：连结BE由已知可知：DE是AB的中垂线，∴AE=BE在Rt△ABC中，根据勾股定理：设AE=xcm，则EC=(10－x)cmBE2=BC2+EC2x2=62＋(10－x)2解得x=6.8∴EC=10－6.8=3.2cm8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形CABDE解：连结BE由22例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？201015BCA分析根据题意分析蚂蚁爬行的路线有两种情况(如图①②),由勾股定理可求得图1中AB最短.①BA2010155AB=√202+152=√625

BAB=√102+252=√725

②A2010155例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm23例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.ABDCD1C1①421

AC1=√42+32=√25;②ABB1CA1C1412

AC1=√62+12=√37;AB1D1DA1C1③412

AC1=√52+22=√29.

四、长方体中的最值问题例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面24二、圆柱(锥)中的最值问题例2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC=6–1=5，BC=24×=12，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13(m).21BAC二、圆柱(锥)中的最值问题例2、有一圆形油罐底面圆的周2510、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。ABCDGFE解：由已知AF=FC设AF=x，则FB=9－x在Rt△ABC中，根据勾股定理FC2=FB2＋BC2则有x2=(9－x)2＋32解得x=5同理可得DE=4∴GF=1∴以EF为边的正方形的面积=EG2＋GF2=32＋12=1010、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在2611、假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？AB82361C解：过B点向南作垂线，连结AB，可得Rt△ABC由题意可知：AC=6千米，BC=8千米根据勾股定理AB2=AC2＋BC2

＝62＋82＝100∴AB=10千米11、假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，2711、如图，已知：CD⊥AB于D，且有求证：△ACB为直角三角形ABDC11、如图，已知：CD⊥AB于D，ABDC289．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？10．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．9．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另298、如图,点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B、C两个村庄,现要在B、C两村庄之间修一条长为1000

m的笔直公路将两村连通,经测得∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.ABC400100060°30°D8、如图,点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心,306.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,则2CD2+AD2+BD2=＿＿＿＿;7.三角形的三边长a,b,c满足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,此三角形为＿＿＿＿＿三角形.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,则315、如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。ABC341312D24平方米5、如图，有一块地，已知，AD=4m，ABC341312D2323．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．A．B．7，24，25C．4，7.5，8.5D．3.5，4.5，5.51．请完成以下未完成的勾股数：（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，

则最大边上的高是_______．

4.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC=

.ADC6449173．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．33ABCACPAC探索与提高2：如图所示，在△ABC中，AB=AC=4，P为BC上的一点，(1)求证：ABCACPAC探索与提高2：如图所示，在△ABC中，AB=341、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．2、已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．提升“学力”1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，A35∵AC⊥AB(已知)∴AC2+AB2=BC2(勾股定理)∵AB=3cm,BC=5cm又∵CD=2cmAD=2cm(已知)∴AC2=16,CD2+AD2=12+4=16∴AC2=CD2+AD2∴∠ADC=900(勾股定理的逆定理)∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD∴=×3×4+×2•2=6+2(cm2)=AB•AC+AD•CD解（1）∵AC⊥AB(已知)∴AC2+AB2=BC2(勾股定理)∵3613、如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE=BC，则AF⊥EF，试说明理由解：连接AE∵ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，EC=1/4BC∴根据勾股定理，在Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°即AF⊥EFA13、如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，解：37探索与提高：

如图所示，现在已测得长方体木块的长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。ACDBGFH探索与提高：ACDBGFH38（1）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从点A爬到点B处，有无数条路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到最短路径吗？（2）若蜘蛛爬行的速度是每秒10厘米，问蜘蛛沿长方体表面至少爬行几秒钟，才能迅速地抓到苍蝇？ACDBGFH（1）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从点A39ACFGHDACFGHD40感悟与反思1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？感悟与反思1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？2、对这节课41试一试：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC试一试：在我国古代数学著作《九章算术》中记42X勾股定理的逆定理(1)X勾股定理的逆定理(1)43回忆过去1.直角三角形有哪些性质?2.如何判断三角形是直角三角形?回忆过去1.直角三角形有哪些性质?2.如何判断三角形是直角三44古埃及人曾用下面的方法得到直角古埃及人曾用下面的方法得到直角45按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？

古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？古埃及人曾用下面的方46345请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?324252+=345请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?324247

下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：2.5，6，6.5；6，8，10。（1）这三组数都满足吗？（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？动手画一画下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，48由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的形式说出你的观点!命题2

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的命题249勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命题勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a50345ACBA′B′C′34古埃及人的做法：△ABC中，BC=3、AC=4、AB=5这两个三角形有什么关系？全等我们作RT△ABC，使=3、=4B′C′A′C′345ACBA′B′C′34古埃及人的做法：△ABC中，B51345ACBA′B′C′34在中根据勾股定理有≌345ACBA′B′C′34在52∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A’B’2=c2∴A’B’=c∵边长取正值∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）∴∠C=∠C’=90°BC=a=B’C’CA=b=C’A’AB=c=A’B’已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=90°,B’C’=a,C’A’=b在△ABC和△A’B’C’中则△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）勾股定理的逆命题ACBA′B′C′证明：∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b53勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边C所对的角为直角。a2+b2=c2互逆命题逆定理定理勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a54驶向胜利的彼岸定理与逆定理我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理；两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.驶向胜利的彼岸定理与逆定理我们已经学习了一些互逆的定理,如:55(1)两条直线平行，内错角相等．(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等．(3)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等．(4)全等三角形的对应角相等．说出下列命题的逆命题．这些命题的逆命题成立吗?逆命题:内错角相等，两条直线平行.

成立逆命题:如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等.

不成立逆命题:如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.

不成立逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.

不成立感悟:

原命题成立时,逆命题有时成立,有时不成立试一试一个命题是真命题,它逆命题却不一定是真命题.(1)两条直线平行，内错角相等．说出下列命题的逆命题．这些命56例1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a＝15,b＝8,

c＝17例题解析(2)a＝13,b＝15,

c＝14分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方。解：∵152＋82＝225＋64＝289172＝289∴152＋82＝172∴这个三角形是直角三角形例1判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：例题57例2.在△ABC中，a=15,b=17,c=8,求此三角形的面积。∴△ＡＢＣ为直角三角形,且∠B=90°∴△ABC的面积为81517ABC例2.在△ABC中，a=15,b=17,c=8,求此58

下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1)a=25b=20c=15_________;(2)a=13b=14c=15_________;(4)a:b:c=3:4:5__________;是是不是是∠A=900∠B=900∠C=900(3)a=1b=2c=_________;

像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角59勾股定理的逆定理(2)勾股定理的逆定理(2)6013ABCDABCD34512例3一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？例题解析13ABCDABCD34512例3一个零件的形状如左图61例4：

“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？PEQRN远航海天例4：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定62BA、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形D、等边三角形1.练一练BA、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角63

已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13,求四边形ABCD的面积?ABCDS四边形ABCD=36中考链接已知：如图，四边形ABCD中，∠B＝90064分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大。∴△ABC是直角三角形练一练分析：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件651、请你写出三组勾股数；2、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么?挑战自我1、请你写出三组勾股数；挑战自我661、已知a，b，c为△ABC的三边,且满足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.

试判断△ABC的形状.思维训练1、已知a，b，c为△ABC的三边,且满足思维训练672、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3思维训练2、△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边68……请谈谈你的收获……请谈谈你的收获69自主评价：1、勾股定理的逆定理2、什么叫做互逆命题、原命题与逆命题3、什么称为互为逆定理。自主评价：1、勾股定理的逆定理2、什么叫做互逆命题、原命题与70作业：84页，

习题18.2第1题、第4题作业：84页，

习题18.2第1题、第4题71勾股定理的逆命题如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

已知：在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证：△ABC是直角三角形证明：画一个△A’B’C’,使∠C’=900,B’C’=a,C’A’=babA’B’C’勾股定理的逆命题如果三角形的较长边的平方等于其它两条较短边的72

17.2勾股定理的逆定理（2）

绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L17.2勾股定理的逆定理（2）绿色圃中小73勾股定理:直角三角形的两直角边为a,b,斜边为c,则有

a2+b2=c2逆定理:三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角形;较大边c所对的角是直角.知识回顾勾股定理:知识回顾74互逆命题:

两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.

如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.

互逆定理:

如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.互逆命题:751.长度分别为3,4,5,12,13的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为()A1个B2个C3个D4个2.三角形ABC中,∠A.∠B.∠C.的对边分别是a.b.c,且c+a=2b,c–a=b,则三角形ABC的形状是()A直角三角形B等边三角形C等腰三角形D等腰直角三角形──21BA复习与巩固1.长度分别为3,4,5,12,13的五763.如果一个三角形的三边为a,b,c满足a2+c2=b2,那么这个三角形是＿＿＿＿三角形,其中b边是＿＿＿边,b边所对的角是＿＿＿角.直角斜直4.工人师傅想要检测一扇小门两边AB.CD是否垂直于底边BC,但他只带了一把卷尺,你能替工人师傅想办法完成任务吗?ABCD3.如果一个三角形的三边为a,b,c满足a2+c2=77解∵a2c2-b2c2=a4–b4(1)∴c2(a2–b2)=(a2+b2)(a2-b2)(2)∴c2=a2+b2(3)∴△ABC是直角三角形问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号＿＿＿(2)错误原因是＿＿＿＿＿＿＿＿＿(3)本题正确的结论是＿＿＿＿＿＿＿＿3a2-b2可能是0直角三角形或等腰三角形5.已知a.b.c为△ABC的三边,满足,试判断△ABC的形状.解∵a2c2-b2c2=a4–786、如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。ABC341312D24平方米绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L6、如图，有一块地，已知，AD=4m，ABC34179例1：

“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里。它们离开港口一个半小时后相距30海里。如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？PEQRN远航海天例1：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定80例2.如图,点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B.C两个村庄,现要在B.C两村庄之间修一条长为1000m的笔直公路将两村连通,经测得AB=600m,AC=800m,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.ABC4001000D例2.如图,点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心81应用拓展：如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE=BC，则AF⊥EF，试说明理由解：连接AE∵ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，EC=1/4BC∴根据勾股定理，在Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°即AF⊥EFA应用拓展：如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中解：82再见绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L再见绿色圃中小学教育网http://www.Lspjy.co83

17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理第3课时绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L17.2勾股定理的逆定理第十七章勾股定理第84一、温故知新

2.你能用勾股定理及其逆定理解决哪些问题？1.我们已经学习了勾股定理及其逆定理，你能叙述吗？绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L一、温故知新2.你能用勾股定理及其逆定理解决85二、例题教学

例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？二、例题教学例1如图，某港口P位于东西方向的海岸线86

例2一个零件的形状如下图所示，工人师傅量得这个零件各边尺寸如下（单位：dm）：AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，且∠DAB=90°，你能求出这个零件的面积吗？

（1）认真读题，理解题意，把有关数据标注在图上.

（2）你以前会求哪些几何图形的面积？（3）对于不规则的图形，你会用什么方法求面积？（4）由已知条件出发，你能得到什么结论？绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L例2一个零件的形状如下图所示，工人师傅量得这个零87解：∵AB=3，AD=4,∠DAB=90°，

∴BD=∵BC=12，CD=13，

∴BD2+BC2=CD2，

∴∠DBC=90°．

∴四边形ABCD的面积

=12×3×4+12×5×12=36．

这个零件的面积是36平方分米．解：∵AB=3，AD=4,∠DAB=90°，

∴BD88

A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方向，C地在B地的什么方向？三、巩固练习正北方向A、B、C三地的两两距离如图所示，A地在B地的正东方89

通过这节课的学习，你有什么收获？你还有什么困惑？四、小结通过这节课的学习，你有什么收获？你还有什么困惑？四、901.必做题：教材习题17.2第4题.五、作业设计

2.选做题：已知：如下图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=1，AB=BC=4，CD=5.求梯形ABCD的面积.ABCD绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L绿色圃中小学教育网http://www.L绿色圃中学资源网http://cz.L1.必做题：教材习题17.2第4题.五、作业设计2.91

（1）三角形三边长分别为8,15,17，那么最短边上的高为（）3.备选题：A.17B.15C.8D.

（2）△ABC中，如三边长a，b，c分别为：a=m2-n2，b=m2+n2，c=2mn，其中m、n为正整数，且m＞n，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？

（3）如图，在Rt△ABC中，AC=BC,P为△ABC内一点，且PA=1，PB=3，PC=2，求∠APC的度数.ABCPB（1）三角形三边长分别为8,15,17，那么最短92谢谢大家谢谢大家93勾股定理cba勾股定理cba94勾股定理的别称勾股定理的证明勾股数组勾股定理的作用勾股定理勾股定理的别称勾股定理95勾股定理的别称商高定理毕达哥拉斯定理百牛定理埃及三角形驴桥定理勾股定理的别称商高定理96

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”勾股定理的来历勾股定理的来历97

毕达哥拉斯出生于萨摩斯岛，自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何，自然学和哲学。后来来到巴比伦，印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明甚至中国文明的丰富营养。大约在公元前530年，又返回萨摩斯岛，后来又迁居意大利的克罗通，创建了自己的学术。毕达哥拉斯学术认为数最崇高，最神秘，他们所讲的是整数。可惜，朝气蓬勃的毕达哥拉斯到了晚年不仅学术保守，还反对新生事物，最后死与非命毕达哥拉斯简介毕达哥拉斯出生于萨摩斯岛，自幼聪明好学，曾在名98生命的代价

有一位名叫商高（约公元前560年~公元前480年）的数学家，以他为代表的一批学者组成了商高学派，既是学习团体，又是政治、宗教团体，有严格的清规戒律。比如，会员必须宣誓“决不把知识传授给外人”，否则要受到严重处分，甚至极刑——活埋。生命的代价有一位名叫商高（约公元前560年~公元99

在西方人们认为勾股定理是毕达哥拉斯先发现的，并称之为“毕达哥拉斯定理”。不过早在公元前1120年左右中国的商高就在对话中说到：“故折矩，此为勾广三，股修四，经隅五。”你可能认为这是最早的勾股定理，但是具调查在公元前1900年的一块巴比伦上午泥板中，记载了15组勾股数。所以古巴比伦人才是勾股定理最先的发现人。勾股定理究竟是谁先发现的？在西方人们认为勾股定理是毕达哥拉斯先发现的，并称100证明方法(a+b)(a+b)-2ab=c2a2+b2+2ab-2ab=c2a2+b2=c2证明方法(a+b)(a+b)-2ab=c2101证明方法证明方法102勾股数组勾股数组：满足与方程a2+b2=c2正整数组（a，b，c）被称为勾股数组。勾股数组的公式：1.1/2(m2-n2),mn,1/2(m2+n2)2.2x+1,2x2+2x,2x2+2x+1勾股数组的规律:1.2奇1偶2.如果a,b,c是两两互素的勾股数,那a,b必定1奇1偶,c必为奇数勾股数组勾股数组：满足与方程a2+b2=c2正整数组（a，b103勾股定理外星人

在人类在寻找“外星人”时，碰到个难题；一旦遇到“外星人”该怎么与他们交谈？显然用人类的语言文字音乐是不行的。数学家华罗庚建议，用一幅数形关系作为与“外星人”交谈的语言。这幅图中有边长为3、4、5的正方形，它们又互相联结成一个三角形。三个正方形都被分成了大小相等的一些小方格，并且每条边上的小方格的个数，与这条边长度的数字相等。两个小方形的小方格数分别为9和16，其和为25，恰好等于大方形的小方格数。整幅图反映；“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”与勾股定理外星人在人类在寻找“外星人104思考题思考题105勾股定理的应用勾股定理的应用106回顾与思考-----------勾股定理1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？2、请你举一个生活中的实例，并应用勾股定理解决它。回顾与思考1、直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？2、107课堂练习：一判断题.1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13()2.ABC的a=6,b=8,则c=10()课堂练习：108二填空题1.在

ABC中,C=90°,(1)若c=10,a:b=3:4,则a=____,b=___.(2)若a=9,b=40,则c=______.2.在

ABC中,C=90°,若AC=6,CB=8,则ABC面积为_____,斜边为上的高为______.6841244.8二填空题1093．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16cm,那么第三边上的高为()A.12cmB.10cmC.8cmD.6cmD3．若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16c1104如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BD·CDABCD证明：过A作AE⊥BC于EE∵AB=AC，∴BE=CE在Rt△ADE中，AD2=AE2+DE2在Rt△ABE中，AB2=AE2+BE2∴AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2)=DE2-BE2=(DE+BE)·(DE-BE)=(DE+CE)·(DE-BE)=BD·CD4如图，在△ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求1115、已知：数7和24，请你再写一个整数，使这些数恰好是一个直角三角形三边的长，则这个数可以是——6、一个直角三角形的三边长是不大于１０的三个连续偶数，则它的周长是————25245、已知：数7和24，请你再写一个整数，6、一个直角三角形的1127.观察下列表格：……列举猜想3、4、532=4+55、12、1352=12+137、24、2572=24+25……13、b、c132=b+c请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.即b=

，c=

84857.观察下列表格：……猜想3、4、532=4+55、12、1139、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５cm，１０cm和６cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？BAABC解：台阶的展开图如图：连结AB在Rt△ABC中根据勾股定理AB2=BC2＋AC2

＝552＋482＝5329∴AB=73cm9、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于５５1148、如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？CABDE解：连结BE由已知可知：DE是AB的中垂线，∴AE=BE在Rt△ABC中，根据勾股定理：设AE=xcm，则EC=(10－x)cmBE2=BC2+EC2x2=62＋(10－x)2解得x=6.8∴EC=10－6.8=3.2cm8、如图，小颍同学折叠一个直角三角形CABDE解：连结BE由115例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B到点C的距离为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短距离是多少？201015BCA分析根据题意分析蚂蚁爬行的路线有两种情况(如图①②),由勾股定理可求得图1中AB最短.①BA2010155AB=√202+152=√625

BAB=√102+252=√725

②A2010155例5、如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm116例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析:根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图①②③),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.ABDCD1C1①421

AC1=√42+32=√25;②ABB1CA1C1412

AC1=√62+12=√37;AB1D1DA1C1③412

AC1=√52+22=√29.

四、长方体中的最值问题例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面117二、圆柱(锥)中的最值问题例2、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？AB分析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)解：AC=6–1=5，BC=24×=12，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=169,∴AB=13(m).21BAC二、圆柱(锥)中的最值问题例2、有一圆形油罐底面圆的周11810、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。ABCDGFE解：由已知AF=FC设AF=x，则FB=9－x在Rt△ABC中，根据勾股定理FC2=FB2＋BC2则有x2=(9－x)2＋32解得x=5同理可得DE=4∴GF=1∴以EF为边的正方形的面积=EG2＋GF2=32＋12=1010、如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A与顶点C重合在11911、假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？AB82361C解：过B点向南作垂线，连结AB，可得Rt△ABC由题意可知：AC=6千米，BC=8千米根据勾股定理AB2=AC2＋BC2

＝62＋82＝100∴AB=10千米11、假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，12011、如图，已知：CD⊥AB于D，且有求证：△ACB为直角三角形ABDC11、如图，已知：CD⊥AB于D，ABDC1219．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以15千米/时的速度向东南方向航行，它们离开港口2小时后相距多少千米？10．已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．9．一艘轮船以20千米/时的速度离开港口向东北方向航行，另1228、如图,点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心,在森林公园附近有B、C两个村庄,现要在B、C两村庄之间修一条长为1000

m的笔直公路将两村连通,经测得∠B=60°,∠C=30°,问此公路是否会穿过该森林公园?请通过计算说明.ABC400100060°30°D8、如图,点A是一个半径为400m的圆形森林公园的中心,1236.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,则2CD2+AD2+BD2=＿＿＿＿;7.三角形的三边长a,b,c满足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,此三角形为＿＿＿＿＿三角形.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD是高,AB=1,则1245、如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。ABC341312D24平方米5、如图，有一块地，已知，AD=4m，ABC341312D21253．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．A．B．7，24，25C．4，7.5，8.5D．3.5，4.5，5.51．请完成以下未完成的勾股数：（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．2．△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，

则最大边上的高是_______．

4.如图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC=

.ADC6449173．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．126ABCACPAC探索与提高2：如图所示，在△ABC中，AB=AC=4，P为BC上的一点，(1)求证：ABCACPAC探索与提高2：如图所示，在△ABC中，AB=1271、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．2、已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上任意一点，求证：BD2+CD2=2AD2．提升“学力”1、如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，A128∵AC⊥AB(已知)∴AC2+AB2=BC2(勾股定理)∵AB=3cm,BC=5cm又∵CD=2cmAD=2cm(已知)∴AC2=16,CD2+AD2=12+4=16∴AC2=CD2+AD2∴∠ADC=900(勾股定理的逆定理)∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD∴=×3×4+×2•2=6+2(cm2)=AB•AC+AD•CD解（1）∵AC⊥AB(已知)∴AC2+AB2=BC2(勾股定理)∵12913、如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，且CE=BC，则AF⊥EF，试说明理由解：连接AE∵ABCD是正方形，边长是4，F是DC的中点，EC=1/4BC∴根据勾股定理，在Rt△ADF，AF2=AD2+DF2=20Rt△EFC，EF2=EC2+FC2=5Rt△ABE，AE2=AB2+BE2=25∴AD=4，DF=2，FC=2，EC=1∴AE2=EF2+AF2∴∠AEF=90°即AF⊥EFA13、如图：边长为4的正方形ABCD中，F是DC的中点，解：130探索与提高：

如图所示，现在已测得长方体木块的长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。ACDBGFH探索与提高：ACDBGFH131（1）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从点A爬到点B处，有无数条路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的路程会最短。你能帮蜘蛛找到最短路径吗？（2）若蜘蛛爬行的速度是每秒10厘米，问蜘蛛沿长方体表面至少爬行几秒钟，才能迅速地抓到苍蝇？ACDBGFH（1）蜘蛛急于想捉住苍蝇，沿着长方体的表面向上爬，它要从点A132ACFGHDACFGHD133感悟与反思1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？2、对这节课的学习，你还有什么想法吗？感悟与反思1、通过这节课的学习活动你有哪些收获？2、对这节课134试一试：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？DABC试一试：在我国古代数学著作《九章算术》中记135X勾股定理的逆定理(1)X勾股定理的逆定理(1)136回忆过去1.直角三角形有哪些性质?2.如何判断三角形是直角三角形?回忆过去1.直角三角形有哪些性质?2.如何判断三角形是直角三137古埃及人曾用下面的方法得到直角古埃及人曾用下面的方法得到直角138按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？

古埃及人曾用下面的方法得到直角：用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？古埃及人曾用下面的方139345请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?324252+=345请同学们观察,这个三角形的三条边有什么关系吗?3242140

下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：2.5，6，6.5；6，8，10。（1）这三组数都满足吗？（2）画出图形,它们都是直角三角形吗？动手画一画下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，141由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的形式说出你的观点!命题2

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2由上面几个例子你发现了什么吗?请以命题的命题2142勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么有a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。a2+b2=c2互逆命题勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a143345ACBA′B′C′34古埃及人的做法：△ABC中，BC=3、AC=4、AB=5这两个三角形有什么关系？全等我们作RT△ABC，使=3、=4B′C′A′C′345ACBA′B′C′34古埃及人的做法：△ABC中，B144345ACBA′B′C′34在中根据勾股定理有≌345ACBA′B′C′34在145∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A’B’2=c2∴A’B’=c∵边长取正值∴△ABC≌△A’B’C’（SSS）∴∠C=∠C’=90°BC=a=B’C’CA=b=C’A’AB=c=A’B’已知:在△ABC中，AB=cBC=aCA=b且a2+b2=c2求证:△ABC是直角三角形证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=90°,B’C’=a,C’A’=b在△ABC和△A’B’C’中则△ABC是直角三角形（直角三角形的定义）勾股定理的逆命题ACBA′B′C′证明：∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b146勾股定理的逆命题

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2=c2勾股定理

如果三角形的三边长a、b、c满足那么这个三角形是直角三角形。且边C所对的角为直角。a2+b2=c2互逆命题逆定理定理勾股定理的逆命题如果直角三角形两直角边分别为a147驶向胜利的彼岸定理与逆定理我们已经学习了一些互逆的定理,如:勾股定理及其逆定理；两直线平行,内错角相等;内错角相等,两直线平行.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理.驶向胜利的彼岸定理与逆定理我们已经学习了一些互逆的定理,如:148(1)两条直线平