微分方程若干题目的提示(二)

《微分方程》若干习题的提示（二）各位同学：学习数学必须要通过自己的思考和探索，积累和领悟，在不断地犯错误和纠正错误的过程中，加深对基本概念和结论的理解，反过来，又进一步增加积累和领悟，使自己螺旋式上升，数学和科学能力不断提高。任何人都必须经历这样过程，就是天才也要经过这个过程，只是时间短一点罢了。指望听一、两次课，可以解决问题，那是假的。即使去听了伟大的数学家的课，自己在课后不动，还是什么也不可能学到手，那怕是最基本的东西。事实求是地讲，如果只是为了“会”做些简单的题目，以期望通过学校的考试，拿到学分，那么，我觉得你去选谁的课（指主讲老师），基本是差不多的，因为学校派来上课的老师，都会把大纲规定的内容，正确地讲解，否则学校不会派他来上课。目前学校搞了选课制，不少同学弄的很纠结：到底选谁呢？似乎选了张三，又觉得李四更好，结果总是不使你满意。所以我看到有不少同学开学了还在转班级。这种盲目性，使不少人朝三暮四，心神不定。为什么静下心来，踏实地化功夫呢？问题在哪里？可能在这些同学的心目中，自己能否学好数学，或能否通过这门功课，很关键的是老师，似乎听了某某的课，就可以万事大吉，可以“过”了。你的人生目标就是“过”吗？在大学里，最好的老师不是别人，而是你自己，谁也救不了，只能靠自己。不要把课堂听课看得太重要，实际上自己在课后课前的钻研探索更加重要。只有自己理解了的东西，才能不忘，才能去灵活应用。我觉得很多同学没有把自己放在合适的位置。至于正确的学习方法，很多人到了大学，还没有领悟出来，许多学校技能，也没有很好地掌握，比如，记笔记，对很多人来说，还没有过关。你看，有人不知道怎么记，有人干脆临时找张纸，写得像草稿纸那样，我的天，你课后怎么看得清楚？怪不得我课上布置的内容，很少有人去复做或练习。这种学习态度和学习方法，有这么能保证你的听课质量，怎么能保证在做练习时有必要的知识支撑？一天复一天，每次可都欠债，一个学期又一年，你怎么能不被拉下？我帮不了你，任何人救不了你。讲到做题目，对学数学来说非常重要，可以说，不做数学题，要学好数学是天方夜谭。我想大家都明白这个道理。那么谁来做数学题？是学生，不是老师！靠别人的提示或讲解，只能启发一时或一题，不可能解决全部。我自己在年轻时（文化大革命期间）主要靠自学，许多难题不会解，又找不到老师（那时，老师们也去搞文革了，或不敢对学生讲数理化），怎么办?那时还没有什么同学可讨论，他们有的搞文革，多数人不学习，只能逼着自己动脑筋。但是，这种逼出来的路，一旦走通，我就再也不想靠别人了。做出一个难题带来的乐趣和成就感，远比当时能吃到红烧肉更无价！在我现在教的两个班上，我相信也有这样的同学。除了我多次提到的邱兆祥，蒋文都，程鹏等同学外，有个同学（本学期新选我的课的，所以我还叫不上他的大名），2个星期前问我一个题（是那个的题，见《微分方程若干习题的提示（一）》），我没有回答，请他自己考虑。当时他可能很委屈，觉得老师怎么可以不为学生解答呢？第二次，我提示他考虑转化为微分方程。过了几天，他独立解出了，而且书写在自己的习题本上。我拜读了他的全过程，点水不漏，非常漂亮。我相信他现在的成就感一定不小，更重要的是，以后他遇到难题时的信心一定大增，这样一路走下去，希望他走得更远。还有不少同学的学习也很扎实。比如，女同学肖婷，大家可取看她的笔记和练习题，就看她记的条理性和清晰程度，你就不得不服。我们那些糊里糊涂的同学，为什么不能去取经？大学老师的作用就是这样：以引导启发为主，培养学生走上独立学习之路，而不能像中学老师什么都告诉你。以后你们会知道，什么都告诉你的老师其实在“害”你，不知不觉地拔去了你的翅膀上的羽毛。如果你学会了独立（有时需要写引导或提示），那么，你走上了正真的大学学习之路。否则，你的大学生涯恐怕是假的。其实，“独立”这个词，应该写在每一位大学生的每一件事上。你要经常问自己：我独立了吗？我是一个什么样的老师，这恐怕要在十年或更长的时间后，你心里才会有正确的结论。好了，下面再对我们课上布置的若干习题，做些提示。提醒一下，如果你事先还没有想过，探索过，那么，请你暂不看，有了些想法后再干。下面一题是我在课堂上布置的。题1（考研题）已知函数，，是某个二阶线性常系数非齐次微分方程的三个解。求此方程。分析：这个题考核的是微分方程的解的结构。注意到这3个函数有重复的部分，而且更重要的是，二阶常系数齐次方程的特解形式只包括：指数，没有其他形式的函数！而现在，此3个函数包含了，所以特征根中没有共轭复根。第二，给出的这3个根是对应的特征根产生的特解的和或差，所以我们需要把这些特解“解脱”出来，使之露出“真面貌”。我想，本题其实是考核我们这种“解脱”的能力。解1：首先，我们知道非齐次方程的任2个解的差，是对应的齐次方程的解（性质2），所以是对应齐次方程的一个解（特解）；第二，因为非齐次方程的解齐次方程的解==非齐次方程的解，（这是由性质2直接推出），故是非齐次方程的一个解（特解）因此推出第三点是齐次方程的一个解（特解）。所以，非齐次方程的一个特解是，而对应的齐次方程的2个特解为和。于是齐次方程的特征根为，特征方程为，所求方程对应的齐次方程则为。将非齐次方程的特解代入，不难求出，所以所求方程为。注：理论上都是对应的齐次方程的解，但是以最简单，故考虑选它作为求解的基础。解2：因为非齐次方程的任意2个解之差都是对应的齐次方程的解，故是对应齐次方程的一个解（特解）；也是对应齐次方程的一个解（特解）。另一方面，齐次方程的2个特解的线性组合，特别是这2个特解之和仍然是对应齐次方程的解，故是对应齐次方程的解，即是对应齐次方程的解。这就是说，和是对应的齐次方程的2个特解，这样不难知，对应的齐次方程为，将，，中的任一个，代入待求非齐次方程，则得，所以所求方程为如果你想不到上面需要较强观察能力的方法，可以用下列比较“死板”的方法。解3：设所求的微分方程为，（+）将题给的3个解，，分别代入（+），得，，。所以，不难得出，比较对应的系数，有，解出。故。这样，所求的方程为。上面3个解法中，解3最容易被同学们接受，因为可以有“套路”，但是，我觉得前面2个解法对于深入了解齐次和非齐次方程的解的结构，非常有帮助。解3就没有这个训练的功能，你说呢？如果你做，会怎么解？比较一下看。题2设二阶常系数线性微分方程的一个特解为。试确定常数，并求该方程的通解。分析：本题只给出二阶非齐次方程的一个特解，这点信息够吗？现在能做的是将特解代入方程，比较系数。此路通吗？探索一下！解：将代入方程。，所以比较同类项的系数：，解出。故原方程为对应的齐次方程的特征方程为，故特征根为，齐次通解为，这样原非齐次方程的通解为。题3设是微分方程的两个解。求未知函数和，并求方程的通解。分析：本题也是给出解，反求方程本身的问题。注意本题的方程是变系数方程，二非常系数方程，所以不存在特征方程和特征值的便利。求解思路：既然与是方程的解，那么它们必定满足方程。所以可将它们代入方程，建立关于和的代数方程组，求解这个方程组，就可解出和。OK!此路可走通。解：因，故，将这些代入方程得，（1）由，得，将这些代入方程，得，（2）（1）（2）：，故。把代入（1），得。这样，原方程为，其通解为。练习题1已知是二阶常系数非齐次线性方程的解，求该方程。练习题2（2009年考研题）设二阶常系数线性齐次方程的通解为，则非齐次方程满足条件的解为（）。练习题3（考研题）设线性无关的函数都是二阶线性方程的解，为任意常数，则该非齐次方程的通解是（）A．；B.;C.;D..我们知道，变换（或称变量代换，或变量置换等）在数学中占有很重要作用，它能将困难的问题变成能解的问题，将麻烦的问题变为容易的问题。请看下题。题4（1）证明常系数二阶微分方程的一个特解可以表示为，其中是相应的齐次微分方程，且满足条件的特解。（2）利用（1）小题的结果，求微分方程的一个特解。分析：本题要用到对含参变量积分的求导公式。设含参变量的积分为，则。解（1）：对关于变量求导：（为什么导数是这样，请你体会），注意代入初始条件。将这些导数代入方程，得，所以，是所求方程的一个特解。（2）不难知，对应的齐次方程的一个特解是，且它的初始条件。故由第（1）小题的结论，可得非齐次方程的一个特解为。注：本题实际上给出了计算非齐次方程的一个特解的另一种思路。此法称为卷积方法。大家都知道，对非齐次变系数方程，求特解的方法是常数变易法；对非齐次常系数方程，对一般函数也要用常数变易法，但当右端项是特殊函数（多项式，指数函数，正弦余弦函数）时，可用较简便的待定系数法。常数变易法需要知道对应的齐次方程的两个线性无关的特解，不过找到第一个特解颇费周章，虽然理论上可用刘维尔公式解决第2个线性无关的解，但计算还是挺麻烦的。所以，常数变易法的缺点不少。现在，我们有了一个新方法，只要知道一个齐次特解（但要知道齐次初始条件），就可以计算非齐次方程的一个特解！请大家仔细体会，把以前做过的有关习题，拿出了用新方法计算一遍。行吗？我要检查，看有多少同学去认真实践了！题5证明：用常数变易法计算非齐次微分方程的一个特解的两个待定函数的计算式为，其中是对应的齐次方程的两个线性无关的特解。证明留给大家。注：本题告诉我们计算的另一条道路，不要去解一个代数方程组（这对有些同学来说，也许会有困难）。请大家把老题目拿出来按新方法重算一次。行吗？那一种方法对你更合适？上面的两题，属于打开“眼界”，扩展视野的习题，希望大家不要小看。每个人的思想，只有在眼界开阔后，才可能活跃起来。题6设函数在内具有二阶导数，且。又是的反函数。（1）将所满足的微分方程，变换为满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件的解。解：（1）根据函数及其反函数的关系，有，所以。对此关系式两边对变量求导，得所以，加上，把这2个导数代入方程，得。这就是说，经过变换，一个原非线性变系数齐次方程，变成了一个线性常系数非齐次方程。显然，原方程是很难求解，但变换后的方程很容易求解（尽管是非齐次方程）。（2）对应的齐次方程为，很容易知其齐次通解为。用待定系数法求特解。设其非齐次特解为，代入方程，得。则所求的通解为注：本方程的特解也可通过观察法“看”出来。题7求一个以为其两个特解的四阶常系数齐次线性微分方程，并求该方程的通解。解：由于是所求方程的一个特解，故知是微分方程的特征方程的特征根，而且是二重特征根，从而也是方程的一个特解；又是所求方程的一个特解，故知是微分方程的特征方程的特征根，从而也是方程的一个特解。这样，特征方程为，即为，故对应的齐次方程为，其通解为为任意常数。下面我们来做常系数方程的特解的待定系数法的题目，在课堂上讲了理论，但没有时间举更多的例子。希望大家仔细研读，这是大纲规定的内容。在看解答之前，希望大家先把教材和我的辅助材料上的内容消化了。特别要弄清非齐次方程的特解形式为什么会与齐次方程的特征方程有密切联系。题8求的一个特解。解：本题的属于型，其中，，故。方程对应的齐次方程的特征方程是，故特征根。所以不是特征方程的根。所以应设原方程的特解为，（）则，，代入原方程，有：，比较同类项的系数：，解得于是，所求特解为。题9求的一个特解。解：本题的属于型，其中，，故。对应的齐次方程的特征方程是，特征根为。故不是特征方程的根，故应设特解为，又，。代入方程，得，比较同类项的系数：，解得，所求的特解为。例10求的一个特解。解：本题的属于型，其中，。方程对应的齐次方程的特征方程为，故。所以，是齐次方程的单特征根，故设原方程的特解为，代入方程，比较系数，解得（具体计算请大家自己完整做一次），则所求特解为。例11（考研题）求微分方程的通解。解1：齐次方程的特征方程为，特征根为。故齐次通解为。现在本题的右端项，显然。由于是个参数，故需要对在去本题的值时，特解也不同，需要进行讨论。当时，则，也即不是特征根，故特解可设为，我们有，代入方程：，比较系数：，则所求特解为。这样，原方程的通解为。当时，，即是单特征根，故设特解为，我们把求出后，代入方程，比较两边系数，可得特解为。这样原方程的通解为。解2：（复数方法）注意到右端项为，可先求解。（+）求出复函数后，只需取其虚部，就是所求的特解。当时，，特征根，故设特解为，那么，代入方程（+）：，比较系数得：，故得特解为。取其虚部，得。当时，特征根为，故右端项中的，即。故是单特征根。于是设特解为，，代入方程有，即比较系数，，则所求特解为，取其虚部，就得到了所求的特解为。你有没有感到“惊讶”？当的取值改变时，特解居然面目全非！你理解其中的道理吗？我们再做一个应用题：关于共振。共振是我们在中学物理课上学习过的，它指当外界强加的外力的圆频率与系统之间的固有原频率接近时，系统的振动幅度将越来越大，甚至会使得系统破坏。工程上当然要避免这种可怕现象的发生。那么，为什么会发生如此后果？我们用微分方程的方法来剖析其中的本质原因。题12（无阻尼强迫振动问题）（见教科书p50,例10及其图9-12）有一台电机安装在梁上A点，电机开动时由于机械结构的偏心（重心不在电机的转轴线上）产生一个垂直于梁的干扰力。梁上点A出垂直方向的位移用坐标表示，梁的弹性恢复力与位移称正比（比例系数，求点A的运动规律。解：取梁的平衡位置为坐标原点，垂直向下为轴正向。（为什么这样假设？在这样的假设下会带来什么便利？如果不这样假设，又会怎样？请你搞清楚。在其他问题中，比如浮筒的振动，垂直挂着的弹簧下的重物的振动问题等，我们都这样假设。你把这个疑问解决了，那么其他问题也一起解决了。所以，在每个问题的学习和研究上，重要的不是知道“什么”，而是弄明白“为什么”！再做电机的受力分析。点A上，下振动受到3个外力作用：电机的重力，干扰力和梁上下运动时的恢复力。设在任意时刻，点A的位移是，不论值是正还是负，梁的弹性产生的恢复力的大小为，方向总是与位移反向，故在选定的坐标系里为。干扰力是个周期性的力，与A点的位移无关，它是时间的函数，去定时间的起点，它就按周期性变化而变。电机的重力是个常力，方向总是向下。在现在的坐标原点的取法下，重力被梁的弹性所抵消，所以不出现在运动方程中。这样，按牛顿第二定律，我们可写出在选定中标系中的运动微分方程：（电机质量为），写成标准形式：，（1）假定电机一开始是静止的，电机开动后由于偏心质量引发的离心力使得电机与梁一起振动。故初始条件为。现在通过求解电机的上下振动规律来探索为什么会共振，采取什么措施可以避免共振？这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程的初值问题。先研究其齐次方程：。记，则方程为。它的特征方程为，特征根为。故齐次通解为，其中常数称为“梁+电机”组成的系统的固有圆频率，因为当梁的弹性系数和电机的质量确定后，这个“系统”本身具有的圆频率也就固定下来了。这个指标是衡量“系统”的振动特性的。下面就来求（1）的一个特解。注意干扰力为。根据固有圆频率与外界强迫力的圆频率之间的关系，讨论如下。若，即干扰圆频率不等于固有圆频率，那么，所以干扰函数的不是特征方程的根，故可设特解为，由待定系数法，将特解代入方程（1），比较系数，不难得