常系数高阶齐次线性微分方程

关于常系数高阶齐次线性微分方程第一页，共三十页，2022年，8月28日一、定义n阶常系数线性微分方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式第二页，共三十页，2022年，8月28日n阶常系数线性微分方程的标准形式n阶常系数齐次线性微分方程的标准形式(2)的特征方程第三页，共三十页，2022年，8月28日二、二阶常系数齐次线性方程解法-----特征方程法将其代入上方程,得故有特征方程特征根第四页，共三十页，2022年，8月28日1.有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为第五页，共三十页，2022年，8月28日2.有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为第六页，共三十页，2022年，8月28日3.有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为第七页，共三十页，2022年，8月28日第八页，共三十页，2022年，8月28日定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.解特征方程为解得故所求通解为例1第九页，共三十页，2022年，8月28日解特征方程为解得故所求通解为例2第十页，共三十页，2022年，8月28日三、n阶常系数齐次线性方程解法特征方程为特征根对应的特解注1、n次代数方程恰有n个根。2、属于不同特征根的解线性无关。第十一页，共三十页，2022年，8月28日注意n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.第十二页，共三十页，2022年，8月28日特征根为故所求通解为解特征方程为例3第十三页，共三十页，2022年，8月28日四、小结二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.

(见下表)第十四页，共三十页，2022年，8月28日第十五页，共三十页，2022年，8月28日思考题求微分方程的通解.第十六页，共三十页，2022年，8月28日思考题解答令则特征根通解第十七页，共三十页，2022年，8月28日练习题第十八页，共三十页，2022年，8月28日练习题答案第十九页，共三十页，2022年，8月28日微分方程的应用题第二十页，共三十页，2022年，8月28日

例1.

某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地的瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下.

现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km/h.经测试，减速伞打开后，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多？注:kg表示千克，km/h表示千米/小时.第二十一页，共三十页，2022年，8月28日【分析】本题是标准的牛顿第二定理的应用，列出关系式后再解微分方程即可。【解1】由题设，飞机的质量m=9000kg，着陆时的水平速度从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t).根据牛顿第二定律，得又第二十二页，共三十页，2022年，8月28日由以上两式得积分得由于故得从而当时所以，飞机滑行的最长距离为1.05km.第二十三页，共三十页，2022年，8月28日例2

如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.两边求导得解解此微分方程第二十四页，共三十页，2022年，8月28日所求曲线为第二十五页，共三十页，2022年，8月28日答:第二十六页，共三十页，2022年，8月28日例4

抛物线的光学性质实例:车灯的反射镜面------旋转抛物面解如图第二十七页，共三十页，2022年，8月28日