八年级等腰三角形培优竞赛

等腰三角形的性质培优知识纵横

若按边（角）是否相等分类，则两边（角）相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形是一类特殊的三角形，它的两底角相等；等腰三角形是轴对称图形，底边上的高、中线、顶角的平分线互相重合（简称三线合一），特别地，等边三角形的各边相等，各角都为60度。解与等腰三角形相关的问题，全等三角形依然是重要的工具，但更多的是思考运用等腰三角形的特殊性质，这些性质为角度的计算、线段相等的证明、直线位置关系的证明等问题提供了新的理论依据，因此，重视全等三角形的运用，又不囿于全等三角形，善于运用等腰三角形的性质探求新的解题途径。探索填空1、等腰三角形两个内角的度数之比为1：2，这个等腰三角形底角的度数为

。2、已知等腰三角形ABC的三边长a、b、c均为整数，且满足a+bc+b+ca=24,则这样的三角形共有

个。72度或45度。a+bc+b+ca=24,

a、b、c均为整数,（a+b)(c+1)=24=2×12=3×8=4×6,故可以得到以下几种可能性：1、a+b=2,c+1=12,a=b=1,c=11,三角形不能组成；2、a+b=12,c+1=2,a=b=6,c=1,三角形能组成；3、a+b=8,c+1=3,a=b=4,c=2,三角形能组成；4、a+b=3,c+1=8,a=b=1.5,c=7,三角形不能组成；5、a+b=4,c+1=6,a=b=2,c=5,三角形不能组成；6、a+b=6,c+1=4,a=b=3,c=3,三角形能组成；33、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1：4，则这个等腰三角形的顶角度数为

度。4、一个等腰三角形的一个外角等于110度，则这个三角形的顶角为

度。5、等腰三角形一腰上的中线把这个等腰三角形的周长分成12cm和21cm两部分，则这个等腰三角形底边长为

cm.6、如图，在△ABC中，点D是BC边上一点，∠BAD=80°，AB=AD=DC，则∠C=

度。20或12070或405cm257、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则∠ABC的大小是

度。8、如图，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAD=60°，则∠EDC的度数为

度。9、如图，AM、BN分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AM=BN=AB，则∠BAC的度数为

度。453012设∠EDC=x,∠B=∠C=y,则∠AED=∠ADE=x+y,∠ADC=2x+y=60+y,2x=60,x=30设∠BAC=x,∠N=x,∠NBD=2x,BN平分∠DBC,∠DBC=4x=∠ABM,AB=AM,∠M=4x,AM平分∠EAB,∠MAB=90-0.5x,4x+4x+90-0.5x=180,x=1210、如图，在△ABC中，AB=BC，在BC上取点M，在MC上取点N，使MN=NA，若∠BAM=∠NAC，则∠MAC=

度。11、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE=0.5（AB+AD），则∠ABC+∠ADC的度数是

度。设∠BAM=∠CAN=x,∠C=y,则∠B=180-2y,∠AMN=180+x-2y,∠ANM=x+y,MN=NA,∠MAN=∠AMN=180+x-2y,∠MAN+∠AMN+∠ANM=180360+2x-4y+x+y=180,y-x=60,∠MAC=∠MAN+∠NAC=180+2x-2y=180-120=6060延长AD，过C作CF垂直AD的延长线于F，△AFC≌△AEC，CF=CE，AF=AE，AE=0.5(AB+AD),2AE=AE+EB+AD,AE=AD+EB=AF=AD+DF,EB=DF,△CDF≌△CBE，∠B=∠FDC,∠ABC+∠ADC=180180分析选择1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=AE，BC=BF，则∠ECF=（）。A、60°B、45°C、30°D、不确定2、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC上一点，BF=CD，CE=BD，那么∠EDF等于（）。A、90°-0.5∠AB、90°-∠AC、180°-∠AD、45°-0.5∠A设∠B=x,∠A=90-x,∠BCF=90-0.5x,∠ACE=45+0.5x,∠ECF=∠ACE+∠BCF-∠ACB=45B△BDF≌△BDE,则∠EDF=∠B=90-0.5∠AA3、如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，则∠C的大小是（）A、20°B、25°C、30°D、45°4、如图，在等腰直角△ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条相互垂直的射线与两腰相交于E，连结EF与AD相交于G，则∠AED与∠AGF的关系为（）A、∠AED>∠AGFB、∠AED=∠AGFC、∠AED<∠AGFD、不能确定延长DB使DE=DC，则AB=BE，设∠E=∠EAB=x,∠ABD=2x,∠BAD=90-2x,∠EAD=90-x,所以2(90-x)=120+x,x=20,∠C=20AB∠ADE+∠AED=135,∠AFE+∠DFC=135,∠AED=∠DFC,∠ADE=∠AFE,得∠AED=∠AGF5、如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转a角到△A′B′C的位置，B在A′B′上，CA′交AB于D，则∠BDC的度数为（）。A、40°B、45°C、50°D、60°△ABC≌△A′B′C∠A=∠A′=20°∠B′=∠CBB′=70°∠BCB′=40°∠BCD=50°，∠CBD=70°∠BDC=60°D综合运用1、如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于E，且AE=0.5BD，求证：BD是∠ABC的角平分线。证明：延长AE、BC交于点F。∵∠ACB=90°∴∠ACF=180°-∠ACB=90°∠CBD+∠CDB=90°∵AE⊥BD∴∠AEB=90°∴∠EAD+∠EDA=90°∵∠ADE=∠BDC∴∠EAD=∠CBD∵AC=BC∠ACF=∠BCD=90°∴△ACF≌△BCD（ASA）∴AF=BD∵AE=0.5BD∴AE=0.5AF=EF∵BE=BE，∠AEB=∠FEB=90°∴△AEB≌△FEB（SAS）∴∠ABE=∠FBE∴BD是∠ABC的角平分线2、如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G，（1）求证：BF=AC；（2）求证：CE=0.5BF；（3）CE与BG的大小关系如何？试证明你的结论。（1）证明△BDF与△ADC的全等（2）证明△ABE与△CBE的全等（3）连结GC，则GC=GB，Rt△GCE中，CG>CE,所以BG>CE。3、如图，AE、AD是直线且AB=BC=CD=DE=EF=FG=GA，若∠DAE=x°,求x的值∠A=x,∠CBD=∠FGE=2x∠ECD=∠EFD=3x,∠AED=∠ADE=3xx+3x+3x=180x=180/74、如图，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120度的等腰三角形，以D为顶点作一个60度角，角的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN，形成一个三角形，求证：△AMN的周长等于2。延长AC使CE=BM，连结DE。∠CDE=∠MDB，∠BDC=120，∠MDN=60∠BDM+∠NDC=60，∠NDE=∠NDC+∠CDE=60△MDN≌△EDN，MN=NEAM+AN+MN=AM+AM+NE=AM+CE+AN+NC=AB+AC=25、如图，已知等腰△ABC中，AB=AC，P、Q分别为AC、AB上的点，且AP=PQ=QB=BC，求∠PCQ的度数。在PC上取点D使QP=QD。∠A=x,AP=PQ∠QPD=∠QDP=∠A+∠AQP=2x∠BQD=∠A+∠ADP=3x,BQ=QD∠QBD=90-1.5x∠BDC=∠A+∠ABD=90-0.5x∠A=x,AB=AC∠ACB=90-0.5x,∠ACB=∠BDCBD=BC=BQ=QD,△BDQ为等边三角形∠QBD=90-1.5x=60，x=20°,∠ACB=∠ABC=80°,∠BCQ=50°,∠PCQ=30°等腰三角形的判定培优知识纵横

由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是，从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等。实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：

1、“角平分线+平行线”构造等腰三角形；

2、“角平分线+垂线”构造等腰三角形；

3、用“垂直平分线”构造等腰三角形；

4、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。探索填空1、如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF∥AD，则FC的长为

。分析：用“角平分线+平行线”构造等腰三角形AEF和等腰三角形BPE，则AE=AF=11-x,BP=x=BE=11-x+7,x=992、如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的角平分线BE交AD于点E，连结EC，则∠AEC的度数是

。3、如图，△ABC中，AB=AC，∠B=36°，D、E是BC上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD，则图中等腰三角形共有

个。4、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠B：∠C的值

。115°62：12是用“垂直平分线”构造等腰三角形，4利用“三角形中角的2倍关系。5、已知等腰△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是

。6、在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时梯子的倾斜角为75度，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距离NB为b米，梯子的倾斜角为45度，则这间房子的宽AB是

。45或36度a米7、如图，四边形ABDC中，△EDC是由△ABC绕顶点C旋转40度所得，顶点A恰好转到AB上一点E的位置，则∠1+∠2=

。8、一个等腰三角形的一条高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角度为

。9、有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为

度。110°15°或30°或75°36°或180/7°分析选择1、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90，∠BAC=30，在直线BC或AC上取一点，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）个。A、2B、4C、6D、8C2、如图，在△ABC中，∠BAC=106度，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则∠EAM等于（）度。A、58B、32C、36D、34B3、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系是（）。A、AC＞2ABB、AC=2ABC、AC≤2ABD、AC＜2ABD4、在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（）。A、1.2.3B、1.2.4C、2.3.4D、D5、在等边三角形ABC所在的平面内求一个点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（）个。A、1B、4C、7D、10D6、已知△ABC的三边的长分别为a、b、c，且a/b+a/c=(b+c)/(b+c-a),则△ABC一定是（）。A、等边三角形B、腰长为a的等腰三角形C、底边长为a的等腰三角形D、等腰直角三角形B（ac+ab)/bc=(b+c)/(b+c-a)a/bc=1/(b+c-a)Bc=ab+ac-a2(a-b)a+c(b-a)=0(a-c)(a-b)=0a=c或a=b综合运用1、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD证明：延长CB至E，使AB=BE，连结AE∵AB=BE∴∠E=∠EAB∵∠ABC=∠E+∠EAB=2∠E∠ABC=2∠C∴∠C=∠E∴AC=AE∵AD⊥BC∴CD=DE=DB+BE∴AB+BD=CD2、两个全等的含30度、60度角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，边结BD，取BD的中点M，连结ME、MC，试判断△EMC的形状，并说明理由。连结MA△ADE≌△ABC可得△ABD是等腰直角三角形，再证△MDE≌△MAC可得△EMC是等腰直角三角形3、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF延长AD至G，使AD=DG，连结BG△BGD≌△CADBG=AC=BE∠CAD=∠G=∠BEG=∠AEFAF=EF4