基本动态系统分析课件

第三章基本动态系统分析

为了能够帮助大家进一步了解和掌握动态系统的分析，有必要通过对最基本的动态系统的分析和讨论去帮助大家总结和掌握以前所学过的一些知识，并且能够系统将一些分析方法和规律应用于实际的复杂系统分析中。通过对绪论中所提到的“五步建模法”进一步总结概括，我们认为对一个动态问题的解决方法一般可以经过以下一些步骤：

首先是要剖析复杂系统的组成，画出系统示意图（网络连接图）；

其后是根据不同系统元件的相似性，用统一的数学表达式来描述不同的物理单元或系统组成，根据其连接图建立系统数学模型；

最后是求解系统数学表达式，即找出系统中个输入量和输出量及其他所需确定参数的关系。第三章基本动态系统分析为了能够1第一节系统剖析当一个系统被定义后，其中的一个实际的物理单元或系统组成的动态特征往往不能完全由理想元件的方程准确地描述出来，受到工作条件以及几何约束等因素的影响，因此，在确定系统元件（剖析系统）时，是否能够接近实际系统，取决于建模的技巧和工程知识。计算结果的准确性和有用程度取决于模型是否接近实际系统的特征。另一方面，也要避免不必要的复杂性，首先，随着复杂程度提高，花费急剧上升；其次，多余的复杂性，反而模糊了主要因素的影响。任何系统最好的模型，是能以可能最简单的形式，提供所需的有用信息。一、用纯系统元件来建立系统元件的模型

1、主要集中元件特性作为一个集中元件，它的主要特性一是要求其通过变量和跨越变量在低变化率情况下来确定的，此外，主要特性取决于加在元件上的约束。第一节系统剖析当一个系统被定义后，其中的一2

2、寄生或次要元件的特性寄生或次要元件的影响总是伴随着集中元件特性而产生的，当次要影响是不希望的影响时，用“寄生”来表示次要的影响。例如一个电感线圈中存在的电阻，一个弹簧中的质量就是寄生元件。

3、非线性在实际装置中常常存在的非线性会影响元件作为集中元件的特性。例如一个机械装置的主特性是弹簧，在加载和卸荷均很缓慢时，力和位移关系会出现图3-1所示的各种情况。又如一个机械传动装置的一对齿轮，由于齿轮间隙等原因造成的空程现象（图3-2）。图3-1弹簧的非线性图3-2齿轮副空程(a)非线性弹簧(b)磁滞(c)爬行2、寄生或次要元件的特性图3-13用线性关系近似地表示系统特性的原因是因为分析起来比非线性简单。但如果非线性影响较大或者我们必须要考虑它对系统的影响，就不能再用线性关系近似了。

举例介绍微分方程的线性化：如图3-3所示的单摆系统，为输入力矩、为输出摆角、m为小球质量、L为摆长。可建立系统方程：这是一个非线性方程，根据Taylor级数展开得：当很小时，高阶小数可以忽略，则：非线性系统方程可简化成线性系统方程图3-3单摆系统用线性关系近似地表示系统特性的原因4第二节建立系统方程这里讨论最简单的两个元件组成的动态系统，以引出一些基本概念和解决问题的思路。一、两个理想元件的连接图3-4电阻和电容的并联和串联电阻和电容有两种接法，如图3-4a的并联，两个元件具有相同的电压；如图3-4b的串联，两个元件具有相同的电流。质量和阻尼的连接有如图3-5a的并联（两个元件具有相同的速度）和如图3-5b的串联（两个元件具有相同的力）。图3-5质量和阻尼的连接第二节建立系统方程这里讨论最简单的两个元件52、动态系统的主导关系系统分析时，利用简单的理想化系统元件，它们的方程式已知的，当这些元件互相连接是，要满足两个重要的条件，这两个条件叫做相容性和连续性。因此，在系统分析时，要用到以下的几个条件：（1）描述元件特性的元件方程，（2）跨越变量的相容性条件，（3）通过变量的连续性条件。

跨越变量的相容性：要求多个元件串联时，在连接点处的跨越变量相等，多个元件串联时的端点的跨越变量等于每个元件两端的跨越变量的总和。在机械系统中，相容性的概念是限制运动的几何约束；在电路中，要求封闭回路各元件压降之和为零（基尔霍夫电压定律）。2、动态系统的主导关系系统分析时，利用简单的6

通过变量的连续性：表示在一个多元件系统中，通过变量的守恒。例如在一个电路或一个机械网络中的电流或力是守恒的，相当于基尔霍夫电流定律。对于一个系统，在考虑到相容性和连续性要求时，利用元件的基本关系（基本方程）就可以建立动态系统的方程式。3、系统方程的确定（1）对于图3-6所示的系统，建立方程。图3-6RC并联电路通过变量的连续性：表示在一个多元件系统中，通7（2）能量法获得系统方程对于图3-6的RC并联电路系统，其中：电容储能为：功率为：电阻功率为：系统输入功率为：又能量守恒定律：得：即得：（2）能量法获得系统方程84、初始条件在知道系统方程后，求解系统方程还需要知道系统的初始条件。例如图3-6的RC并联电路系统，系统方程为：当i是给定的时间函数，则V就是要求解的时间函数，为此，我们要知道V在t=0时的值。假定在接通电路电流前，V=0，由于，故V在t=0+

时不可能立即改变，除非无穷大。因而，当接通有限的电流时，电压V不会突变。这样，必须总结一下系统元件的初始条件情况，对突然变化时的元件特性作一总结：（1）惯性元件如质量、惯量、电容和液容等，其跨越变量不可能产生突变，除非受到无穷大的通过变量作用。4、初始条件在知道系统方程后，求解系统9（2）感性元件如弹簧、电感和液感等，其通过变量不可能产生突变，除非加上一个无穷大的跨越变量。（3）耗能元件的通过变量和跨越变量能否产生突变不确定，需要考虑该元件在回路的相邻元件特性。

5、一阶线性系统的求解（1）RC并联回路阶跃响应考虑式：（2）感性元件如弹簧、电感和液感等，其通过变10图3-7为输出V的时间响应。图3-7RC并联电路阶跃响应图3-7为输出V的时间响应。图3-7RC并联电路阶跃响11（2）RC并联回路正弦输入解对RC并联回路，长时间加上一个稳定的正弦激励（i=ISinωt），则系统会处于一种稳定的状态，这种稳定的状态就是系统变量以输入量同样频率做周期性的变化。（2）RC并联回路正弦输入解12基本动态系统分析课件136、线性一阶系统的动态特性

（1）对阶跃输入的稳态响应研究阶跃输入，一方面是由于许多物理现象类似于阶跃变化，另一方面，任何输入函数都可以用一系列小的阶跃变化来表示（如图3-8）。图3-9表示单位阶跃函数，幅值为1，函数用us(t)表示。图3-8函数用一系列阶跃变化表示图3-9单位阶跃函数单位阶跃函数用下式描述：6、线性一阶系统的动态特性

（1）对阶跃输入的稳态响应14当输入阶跃电流信号时，电压V=0，不会突变，通过电阻上的电流为零，所有电流通过电容C。则在t=0+时，V的变化率为：这个结果与当总电流通过电容C时的基本方程是一致的。当电压V增加，开始有电流通过电阻R，最后，输出电压达到稳定值，这时，所有电流通过R，C上的电流为零。从t=0时的Vf/T到t=∝时的零值，电压变化率均匀降低。我们将参数T叫做系统的时间常数，表征系统对扰动响应的快慢。当输入阶跃电流信号时，电压V=0，不会突变，15表3-1输出量在各个时刻的比值时间（t）输出量（）00T0.6322T0.8653T0.9504T0.9825T0.993670.998可见，尽管输出量达到稳态值需要无穷长的时间，但只需几个时间常数的时间就十分接近稳态值。表3-1输出量在各个时刻的比值时间（t）输出量（16（2）对于正弦输入的稳态响应周期函数是一种十分常见的输入形式，正弦函数是最简单的周期函数，任何周期函数都可以用傅立叶级数展开，因此，系统对于正弦输入的响应成为度量系统性能的重要依据。当系统加上一个正弦输入后，输出不会马上成正弦变化，当瞬态响应在经历了四倍时间常数的时间后逐渐减弱至零，然后系统呈稳态正弦变化。这是我们着重研究的稳态响应。（2）对于正弦输入的稳态响应周期函数是一种十17（3）稳定性一个系统在不受到扰动时，能无限保持现有状态，叫做平衡。如果一个系统在受到扰动后，能够回到它的初始平衡状态，则这个平衡状态便是稳定的。或者说，系统在有输入作用时，能够稳定在新的平衡位置，那么这个系统是稳定的。复述RC并联回路方程式：解为：电压V从零开始，呈指数规律上升至V=Vf。T为正值，当V由初始偏离时，V总是趋向于达到平衡点Vf。由此可得出结论，如果系统时间常数为正，系统是动态稳定的，可以推广到机电系统的所有线性一阶微分方程中。由于这些系统的物理常数如m、K、L、C、R等都是正的，因此由理想机械和电气元件组成的任何一阶系统的时间常数都是正的。所有的理想元件有着共同的特性，即储能或耗能，这类元件叫做无源元件，仅含无源元件的网络则叫做无源网络。由于一阶系统的时间常数总是正值，故永远是稳定的。（3）稳定性一个系统在不受到扰动时，能无限保187、多个元件的动态系统由于系统元件越多，微分方程将越复杂，可能出现多阶微分方程。（1）一阶系统如果系统中只有一个储能元件，则系统仍然是一阶的。如下图所示的系统，系统只有一个储能元件。列出方程：将以上各式联立可得输出v20的输出方程为7、多个元件的动态系统由于系统元件越多，微分19当以F为系统输出量时，则有该动态系统有两个时间常数则上式可写为如下形式（2）二阶系统如果系统中出现两个储能元件，则方程就是二阶的，即最高阶导数为二阶。如下图所示的电路，输入为e，输出为V，对该系统可列出方程：当以F为系统输出量时，则有该20将以上各式联立可得对上式微分可得系统方程将以上各式联立可得对上式微分21第三节连续系统的数学模型形式连续系统广泛存在于航空、航天、动力、控制、化工等领域中。描述连续系统的连续时间数学模型主要有微分方程、传递函数、权函数、状态空间表达式等形式。连续时间模型：假定一个系统的输入量u(t)、输出量y(t)及内部状态变量x(t)都是时间t的连续函数，常用如下四种模型形式。一、微分方程第三节连续系统的数学模型形式连续系统广泛22二、传递函数三、权函数零初始条件下，系统对理论脉冲函数δ(t)输入的响应g(t)称为权函数，又叫脉冲过渡函数。应指出，以上三种模型仅表述系统的输入量与输出量之间的关系，并未涉及内部情况，故称为系统的外部模型。二、传递函数三、权函数应指23四、状态空间表达式由状态方程和输出方程构成，其矩阵形式为四、状态空间表达式由状态方程和输出方程构成，24基本动态系统分析课件25第三章基本动态系统分析

为了能够帮助大家进一步了解和掌握动态系统的分析，有必要通过对最基本的动态系统的分析和讨论去帮助大家总结和掌握以前所学过的一些知识，并且能够系统将一些分析方法和规律应用于实际的复杂系统分析中。通过对绪论中所提到的“五步建模法”进一步总结概括，我们认为对一个动态问题的解决方法一般可以经过以下一些步骤：

首先是要剖析复杂系统的组成，画出系统示意图（网络连接图）；

其后是根据不同系统元件的相似性，用统一的数学表达式来描述不同的物理单元或系统组成，根据其连接图建立系统数学模型；

最后是求解系统数学表达式，即找出系统中个输入量和输出量及其他所需确定参数的关系。第三章基本动态系统分析为了能够26第一节系统剖析当一个系统被定义后，其中的一个实际的物理单元或系统组成的动态特征往往不能完全由理想元件的方程准确地描述出来，受到工作条件以及几何约束等因素的影响，因此，在确定系统元件（剖析系统）时，是否能够接近实际系统，取决于建模的技巧和工程知识。计算结果的准确性和有用程度取决于模型是否接近实际系统的特征。另一方面，也要避免不必要的复杂性，首先，随着复杂程度提高，花费急剧上升；其次，多余的复杂性，反而模糊了主要因素的影响。任何系统最好的模型，是能以可能最简单的形式，提供所需的有用信息。一、用纯系统元件来建立系统元件的模型

1、主要集中元件特性作为一个集中元件，它的主要特性一是要求其通过变量和跨越变量在低变化率情况下来确定的，此外，主要特性取决于加在元件上的约束。第一节系统剖析当一个系统被定义后，其中的一27

2、寄生或次要元件的特性寄生或次要元件的影响总是伴随着集中元件特性而产生的，当次要影响是不希望的影响时，用“寄生”来表示次要的影响。例如一个电感线圈中存在的电阻，一个弹簧中的质量就是寄生元件。

3、非线性在实际装置中常常存在的非线性会影响元件作为集中元件的特性。例如一个机械装置的主特性是弹簧，在加载和卸荷均很缓慢时，力和位移关系会出现图3-1所示的各种情况。又如一个机械传动装置的一对齿轮，由于齿轮间隙等原因造成的空程现象（图3-2）。图3-1弹簧的非线性图3-2齿轮副空程(a)非线性弹簧(b)磁滞(c)爬行2、寄生或次要元件的特性图3-128用线性关系近似地表示系统特性的原因是因为分析起来比非线性简单。但如果非线性影响较大或者我们必须要考虑它对系统的影响，就不能再用线性关系近似了。

举例介绍微分方程的线性化：如图3-3所示的单摆系统，为输入力矩、为输出摆角、m为小球质量、L为摆长。可建立系统方程：这是一个非线性方程，根据Taylor级数展开得：当很小时，高阶小数可以忽略，则：非线性系统方程可简化成线性系统方程图3-3单摆系统用线性关系近似地表示系统特性的原因29第二节建立系统方程这里讨论最简单的两个元件组成的动态系统，以引出一些基本概念和解决问题的思路。一、两个理想元件的连接图3-4电阻和电容的并联和串联电阻和电容有两种接法，如图3-4a的并联，两个元件具有相同的电压；如图3-4b的串联，两个元件具有相同的电流。质量和阻尼的连接有如图3-5a的并联（两个元件具有相同的速度）和如图3-5b的串联（两个元件具有相同的力）。图3-5质量和阻尼的连接第二节建立系统方程这里讨论最简单的两个元件302、动态系统的主导关系系统分析时，利用简单的理想化系统元件，它们的方程式已知的，当这些元件互相连接是，要满足两个重要的条件，这两个条件叫做相容性和连续性。因此，在系统分析时，要用到以下的几个条件：（1）描述元件特性的元件方程，（2）跨越变量的相容性条件，（3）通过变量的连续性条件。

跨越变量的相容性：要求多个元件串联时，在连接点处的跨越变量相等，多个元件串联时的端点的跨越变量等于每个元件两端的跨越变量的总和。在机械系统中，相容性的概念是限制运动的几何约束；在电路中，要求封闭回路各元件压降之和为零（基尔霍夫电压定律）。2、动态系统的主导关系系统分析时，利用简单的31

通过变量的连续性：表示在一个多元件系统中，通过变量的守恒。例如在一个电路或一个机械网络中的电流或力是守恒的，相当于基尔霍夫电流定律。对于一个系统，在考虑到相容性和连续性要求时，利用元件的基本关系（基本方程）就可以建立动态系统的方程式。3、系统方程的确定（1）对于图3-6所示的系统，建立方程。图3-6RC并联电路通过变量的连续性：表示在一个多元件系统中，通32（2）能量法获得系统方程对于图3-6的RC并联电路系统，其中：电容储能为：功率为：电阻功率为：系统输入功率为：又能量守恒定律：得：即得：（2）能量法获得系统方程334、初始条件在知道系统方程后，求解系统方程还需要知道系统的初始条件。例如图3-6的RC并联电路系统，系统方程为：当i是给定的时间函数，则V就是要求解的时间函数，为此，我们要知道V在t=0时的值。假定在接通电路电流前，V=0，由于，故V在t=0+

时不可能立即改变，除非无穷大。因而，当接通有限的电流时，电压V不会突变。这样，必须总结一下系统元件的初始条件情况，对突然变化时的元件特性作一总结：（1）惯性元件如质量、惯量、电容和液容等，其跨越变量不可能产生突变，除非受到无穷大的通过变量作用。4、初始条件在知道系统方程后，求解系统34（2）感性元件如弹簧、电感和液感等，其通过变量不可能产生突变，除非加上一个无穷大的跨越变量。（3）耗能元件的通过变量和跨越变量能否产生突变不确定，需要考虑该元件在回路的相邻元件特性。

5、一阶线性系统的求解（1）RC并联回路阶跃响应考虑式：（2）感性元件如弹簧、电感和液感等，其通过变35图3-7为输出V的时间响应。图3-7RC并联电路阶跃响应图3-7为输出V的时间响应。图3-7RC并联电路阶跃响36（2）RC并联回路正弦输入解对RC并联回路，长时间加上一个稳定的正弦激励（i=ISinωt），则系统会处于一种稳定的状态，这种稳定的状态就是系统变量以输入量同样频率做周期性的变化。（2）RC并联回路正弦输入解37基本动态系统分析课件386、线性一阶系统的动态特性

（1）对阶跃输入的稳态响应研究阶跃输入，一方面是由于许多物理现象类似于阶跃变化，另一方面，任何输入函数都可以用一系列小的阶跃变化来表示（如图3-8）。图3-9表示单位阶跃函数，幅值为1，函数用us(t)表示。图3-8函数用一系列阶跃变化表示图3-9单位阶跃函数单位阶跃函数用下式描述：6、线性一阶系统的动态特性

（1）对阶跃输入的稳态响应39当输入阶跃电流信号时，电压V=0，不会突变，通过电阻上的电流为零，所有电流通过电容C。则在t=0+时，V的变化率为：这个结果与当总电流通过电容C时的基本方程是一致的。当电压V增加，开始有电流通过电阻R，最后，输出电压达到稳定值，这时，所有电流通过R，C上的电流为零。从t=0时的Vf/T到t=∝时的零值，电压变化率均匀降低。我们将参数T叫做系统的时间常数，表征系统对扰动响应的快慢。当输入阶跃电流信号时，电压V=0，不会突变，40表3-1输出量在各个时刻的比值时间（t）输出量（）00T0.6322T0.8653T0.9504T0.9825T0.993670.998可见，尽管输出量达到稳态值需要无穷长的时间，但只需几个时间常数的时间就十分接近稳态值。表3-1输出量在各个时刻的比值时间（t）输出量（41（2）对于正弦输入的稳态响应周期函数是一种十分常见的输入形式，正弦函数是最简单的周期函数，任何周期函数都可以用傅立叶级数展开，因此，系统对于正弦输入的响应成为度量系统性能的重要依据。当系统加上一个正弦输入后，输出不会马上成正弦变化，当瞬态响应在经历了四倍时间常数的时间后逐渐减弱至零，然后系统呈稳态正弦变化。这是我们着重研究的稳态响应。（2）对于正弦输入的稳态响应周期函数是一种十42（3）稳定性一个系统在不受到扰动时，能无限保持现有状态，叫做平衡。如果一个系统在受到扰动后，能够回到它的初始平衡状态，则这个平衡状态便是稳定的。或者说，系统在有输入作用时，能够稳定在新的平衡位置，那么这个系统是稳定的。复述RC并联回路方程式：解为：电压V从零开始，呈指数规律上升至V=Vf。T为正值，当V由初始偏离时，V总是趋向于达到平衡点Vf。由此可得出结论，如果系统时间常数为正，系统是动态稳定的，可以推广到机电系统的所有线性一阶微分方程中。