2018数竞平面几何讲义教师版

平面几何（四点共圆）冲刺讲义 班 号 一、知识准备以下简单介绍讲义可能涉及的一些简单的知识：欧拉线：冶班:的垂心：，重心'■，外心*1■三点共线.此线称为欧拉线，且有关系： ~气宀九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点，共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点丄九点圆的半径是汪以的外接圆半径的-.三角形心与旁心的性质： I：—的心为；，而-边外的旁心分别为…''；AD皿CF分别是三条角平分线，交三角形外接圆于M，弘交于」V,则:①三角形过同一顶点的、外角平分线互相垂直；二、例题分析例1.''是■■-1（的外接圆的直径，过「作圆J的切线交「于'’，连接并延长J分别交AB、畀匸于、R，求证：OM=ON

44OfBQfNl证明：过；作 的平行线分别交 匕；于、，则’ -.取：X中点：，连接.眇OGP■90*,二P、PGQ四点共圆.^LODG=£OPG，而由MV/ZZfA"，左SPG=3.讥ODG=gRG，了、r门F四点共圆.LOrDB，而乙O'DR=£/iCJ3,EO’GR= ,OrGf/AC而「是'的中点，•’是，的中点，丁『C.陷OM=ON例2.等腰梯形］:」中,：」「',「，：-分别是「 ■1的心，厂是直线亠上的一点， •」，的外接圆交的延长线于’-1证明：亠'.

LPFC=90°--ABCD=-(LCBD+LCDB)证明： 丄 二-LEAC+LECA-LPEC，故EFCP共圆，则LECP-LEFP-90n，因此^-PAQ^LPCQ-90“-LDCE，而才=〔貯j-yr'汀以J厂.£血n-用.二花所以，、匚 '，由此，‘LI例3.在-中，•I「，心为：，切圆在］■<?■边上的切点分别为厂’，厂，设二是D关于点/的对称点，丄是E关于点/的对称点.求证：mCa四点共圆.证明TOC\o"1-5"\h\z1的中点为「」U•(•设点厂在直线八/上的射影为 ,a+b+c…Th P~ =2b由于 则半周长 - ，于曰d； j：订-•:;-.-I■''-:([:是 ，又汀=：工‘所以注fisM更卩，且相似比为-,熟知:'—汽=r。又ms所以’•，即"•是〉的中点进而’• ， 「「"•'，所以」•- '都在以「'为圆心的同一个圆周上.上选取两点C、D使得C、高中数学奥林匹克-2018年7月暑假培训班例4.设A、B为圆上两点，上选取两点C、D使得C、D、X依次位于同一直线上，且CAJBD，再设F、G分别为CA和BD、CD和AB的交点，H为AGX的中垂线与BD的交点.证明：X、F、G、H四点共圆.证明：设O为圆心，ABQXO=M.A•/△COAs/AM,/-OXXM=XA2=XCXD.•••0、M、C、D四点共圆.•••ZXMO=ZOCD=ZODC=JOMC.在CM上选取一点E使MX/DE,贝UMD=ME..CGCMCMCX"U77Ttj"UFP在GX上取点X，使ZGFD=ZDFX，在XF上取W使CF/GW.XBX'FXTXC* __ _ — 由"r( ■ 〔(得CGXD=XCGD.由上面两式得=，故X=X./.ZGFD=ZXFD.又•/=<1和ZXPB=ZCDF<1./.H和B在CX的同一侧.X设H为直线BF与/GFX外接圆的交点，则XZHXG=ZHFG=ZHFX=ZHGX.•HG=HX,/.H=H.•••X、F、G、H四点共圆，得证.注：上述证法比较麻烦，本题实质如下：易知；'为调和点列，又-匚一••；，可得「门为丄吩的平分线，设L八外接圆交&」于」点，由“鸡爪”定理知---m，从而•在"…的中垂线上,本题得证.例5.△ABC中，E、F分别为AB、AC中点，CM、BN为高，EF交MN于P,0、H分别为三角形的外心与垂心.求证：AP1OH.证明：由ZBMC=/BNC=90知B、C、N、M四点共圆.•••AMAB=ANAC.又AE=AB,AF=AC,/-AMAE=ANAF，即E、F、N、M共圆.注意到由/AMH=ZANH=ZAEO=ZAFO=90知AH、AO分别为AAMN、△AEF外接圆的直径.过AH中点H与AO中点O分别为△XMN与AAEF的外心，且易知OH/OH.•只需证APJOH，只需证A、O为AAMN、△AEF外接圆的等幕点即可.注意到A为两圆公共点，而由E、F、N、M共圆知PMPN=PEPF.故P也为等幕点.综上所述，原命题成立.

例6.设△KBC接于圆O,过A作切线PD,D在射线BC上，P在射线DA上，过P作圆O的割线PU，U在BD上，PU交圆O于Q、T且交AB、AC于R、S.证明：若QR=ST,贝UPQ=UT.证明：过O作OK_LPU=K,OF_LBU=F，连结AK延长交OO于另一点E,过C作CH/PU交AE于G,交AB于H，连GF、OP、OU、OA、OE.由垂径定理知BF=FC,QK=KT,且QR=ST.•••RK=KS即K是RS的中点，且CH/PU..•.== ==1HG=GC.由中位线定理知FG//BH.•••/FGE=ZBAE=ZBCEF、G、C、E共圆.•ZEFC=ZEGC=ZAGH=AJKG.•ZEFO+JOKE=ZOFC+ZCFE+ZOKE=90+JUKG+JOKE=90+90=.•K、O、F、E四点共圆…①又'//OKU+ZOFU=2X90=,•K、O、F、U四点共圆…②结合①②知K、O、F、E、U五点共圆，••ZKUO=:ZKEO又/PA为OO切线OAJPA，且OKJPUZKEO:=JKAO•ZKPO=ZKUOOP=OU.又/OK_LPU,.PK=UK.而QK=TU,/-PQ=UT,得证.OP为以P点为圆心、PD为半径的圆.证明：C点在伯MP外接圆与OP为以P点为圆心、PD为半径的圆.证明：C点在伯MP外接圆与OP的根轴上.证明：作PRAAC，其延长线交BC延长线于S.•/JDMA=ZOBA=ZOCA=90,•••A、C、0、M、B五点共圆.•••/BMP=ZBMA+90=ZBCA+90-ZRSC.•B、M、P、S四点共圆.例7.AB、AC为OO切线，ADE为一条割线,M为DE例7.AB、AC为OO切线，ADE为一条割线,•C对少MP外接圆的幕为一CBCS=—2CACR.而C对OP的幕为CP2—PD2=CP2—AP2—ADAE=CP2—AP2+AC2=CR2+RP2—PR2—AR2+AC2=CR2—CR+CA2+CA2=—2RCCA.•••C点对OP的幕等于C点到少MP外接圆的幕.•••C点在上述两圆根轴上，得证.例8.设H为△KBC的垂心，D、E、F为△ABC的外接圆上三点，使AD/BE/CF,S、T、U分别为D、E、F关于边BC、CA、AB的对称点.求证：S、T、U、H四点共圆.证明：先证引理：ABC外接圆OO与它的九点圆OV关于△ABC的垂心H位似，且位似比为.引理的证明：设AH、BH、CH分别交边BC、CA、AB于O、E、F，交OO于D、E、F.易知HD=HD,HE=HE,HF=HF.•△DEF与A)EF关于H位似，位似比为.•△DEF外接圆与△DEF外接圆关于H位似，即OO与OV关于H位似，位似比为.回到原题：设BC、CA、AB中点分别为X、Y、乙过D作DP/BC,交OO于P,设PH中点为W.易知SDJBC，设PS交BC于X，则由SD关于BC对称知SX=XD.•••X为BC中点，即X与X重合，即同理P与U、T分别关于Z、Y对称.•四边形USHT与四边形ZYWX对称.由引理知Z、X、Y、W四点共圆.P与S关于X对称.C•U、T、P与S关于X对称.C例9.给定锐角SBC,过A作BC的垂线，垂足为D，记A\BC的垂心为H，在△ABC的外接圆上任取一动点P，延长PH交△KPD的外接圆于Q.求Q点的轨迹.解：Q点轨迹为△ABC的九点圆.如图，取AH、BH、PH的中点M、N、K,延长AD交△ABC外接圆于G.则熟知HD=DG,连接KN、MN、KD、PB、PG.因为各取中点有ZNKD=ZBPG,ZNMD=ZBAG.•••K、N、M、D四点共圆.又Q在△APD的外接圆上，PHHQ=AHHD，即2KHHQ=2MHHD.KHHQ=MHHD.于是有K、D、Q、M、N五点共圆.又QMN外接圆为九点圆，所以Q在九点圆上.反之，在如上所述九点圆上任取一点 Q，设QH延长线交AABC外接圆于P，取PH中点R,同上可证R在九点圆上.故2RHHQ=2MHHD，即PHHQ=AHHD.因此Q在D外接圆上.得证.例10.在SBC中，D是BC边上的一点，设Oi、02分别是AABD、AACD的外心，O是经过A、Oi、02三点的圆的圆心.求证：ODJBCAD恰好经过△KBC的九点圆心.证明：连AOi、BOi、A02、C02,作AB、AC垂直平分线交于点0.•••厶02C=2ZADB=ZAOiB,AOi=BOi,AO2=CO2,/•△\0iBSZ02C.•••△AOiO2szabc.•••厶OiO=—ZAOiB=—厶O2C=—ZAO2O.故0在OO上，0是△KBC的外心，故△KO0szAOiB.又ZADB=/i,ZOiAB=ZOAO=ZOOA.•0DJBC ZBAOi=ZADO ZADO=ZODAA、0、0、D共圆ZAO0=—ZADO=ZADB+ZODCZADB=ZODCvZAO0=2ZADB如图，设OH与AD交于点K，作BC中垂线OM，交AD延长线于点M,OM与BC交于点L.由ZADB=ZODCDL=LMOM=20L=AH△AKH也ZIKO OK=KHK为九点圆心AD经过ZABC的九点圆心.综上所述，命题得证.例11.」圧〔接于了丿，自•作3P的切线，又以•为圆心，I为半径作匕'交直线用爵于务例11.」圧〔接于了丿，自•作3P的切线，又以•为圆心，I为半径作匕'交直线用爵于务◎,交直线/于拆，场;则四边形；-的四条边所在直线分别通过 '「的心及三个旁心•以下，我们仍按• •情况给出图形和解答（其实在所有情形下结论都成立）证明：’、如图，设 的平分线交 于；，因' ''，则点' 关于直线.丿对称，又因 ―在V'上,则上*冷，因此’共圆,由于'为卫「的切线，则匚匕時 又由-「所以'、据条件知为矩形,设角平分线「交直线•'于•，连，由⑴知，点'关于直线■'对称，故斤心"卞邙.二&’则'为 的外角平分线，因此'为］边外的旁心.'、设一“:!「的外角平分线交直线'■于，由厂-代-「讣」y' •共圆.S+CS+CEFJ打=LF{Al2■90°-UAFy' 2故'；共线，因此'为边外的旁心•-+/?- -LAEJ-LABI■LE.IB匕丿2 ' '■、设m的外角平分线交直线于，连「yI®，因ns-— ■、设m的外角平分线交直线于，连「yI®，因ns-— ■-■.：■■■■■|故“即I共圆.5再・wl口工解-"的-5E、■匚R1、E\.所以「共线,即是一卜的外角平分线,因此'为’「边外的旁心.例12.三角形 中，, •=是」的中点，出戈匸分别是■-边上的点,证明：=A.CPD且」 的外接圆交线段川于’若点•；’满足：拴'证明：在圆丄J 中，由于弦’ ：故圆周角LAPE=LAPF=丄（1耳护-A）=LABC=LACB因此，八•与■'…'分别共圆，于曰运打一「口--■m于是设点7在边小」•"上的射影分别为■■'1,则△'」„ ,故由f得，「-「匕.o1设△I的心为今证:,1-{-四点共圆：连•’.6J-•因■■- I-■■- ■■■.分另U共圆，则乙％此1沁 一'农'/■:i,/7?團T又由o1, 「"',所以△ ' 又由o1, 「"',所以△ ' “因此二送拦「上匕而e 「:"込「:.所以■ 1因为——W1叭LPBC}=LPBI+LJBA,LIC8=-=-=LIBA.22故得d-::m，因此二u.四点共圆，LBPC-LBIC-9On+-=]8O°-R,于是 -延长il交土空匸的外接圆于'贝M?为该外接圆的直径于是m丄卞:；亠:"■.且「「二=：■.■■■'.因此，点O是■■'■.'■ 所在圆的圆心，从而a皿为上-的切线•延长L.〕交上’于T,则MCPsUTT,所以/PPC又由\AiiPsMTE,AHBT BTCT得： ',因鳥歹二宀;二故 ■... ②延长•’J到（，使’「 ’•，^y八‘…为平行四边形LBTC-18『-LRPC-LPBG...③BT_PB_PB由②得「 ■'"：.……④由③、④得；「厂s„.所以，匚RPHTRC-ETPC,即LBPM-LCPD三、巩固训练「为正三角形 ■的边」上的任意一点，设,\I.-与\「的心分别为'，外心分别为一共圆,^47,£>=90°+—=120°一共圆,证明：如图，据心性质，有2 ，所以证明：如图，据心性质，有而— ’，得点「也在W上，即一•’五点共圆.圆的圆心即为0''：|的圆心‘；注巳D©意」注巳D©意」的平分垂线，即「宀：打1共LDip--LDI.A+LAlp{-LDI.A+LACOX-120°+30°-150°.;TOC\o"1-5"\h\z同理有… ’五点共圆，圆心为'，因此' '「’，且W .由于LI.DL=90°LO.DO,=60°则LI.DO,+LhDO2=30n.又在八’中， 「JJ；；在、「中，m :所以mpQ.ZgQD、LI}Op-LI2DO2于是M、DQ\3QD从而'J- （， •，由于在直角三角形'中，‘. ',所以有 .△KBC切圆与BC切于K,AD是BC边上的高，M为AD中点，MK与△ABC切圆交于K、N.求证：△BNC外接圆与AABC切圆切于N.证明：设AABC关于ZBAC的旁切圆为OIa,半径为「a,AABC心为I,OI半径为r,OIa切BC于T,KI交OI于K、S,贝U•/==,|aT〃S均垂直于BC,「.A、S、T共线.•••I为SK中点，M为AD中点，SK/AD,「.T、I、M共线.•/===,IK//aT,.「M、K、Ia三点共线.设OI关于点K、N切线交于Q,则QIJNK.设QI交NK于R,则•IB平分ZABC,IaB平分ZABC外角，「./IBIa=90.又t/RIa