中国农业大学20152016学年春季学期《概率论与数理统计》期中考试试题

中国农业大学2015~2016学年春天学期概率论与数理统计（C）课程考试一试题参照答案（A）题号一二三四五六七八总分得分一、填空题（每空3分，满分15分）1．设4个独立的元件1，2，3，4靠谱性分别为p1,p2,p3,p4，它们的联接方式以以下列图，则此系统的靠谱性为[1(1p1)(1p2)]p3p4。2.1已知随机变量X~B(n,p),E(X)12,D(X)8，则有p.33．设随机变量X在区间[1,6]上遵照均匀散布,则P(0X3)2.54.设随机变量X的数学希望E(X)=,方差D(X)=2,则由切比雪夫不等式有P(X3)8.95.设X1,X2,X3互相独立同散布，X1~N(1,4)，则13(Xi1)2遵照2(3)分4i1布.二、选择题（每题3分，满分15分）1.随机事件ABABAB发生，意味着___(B)____.(A)A,B都发生；(B)A,B至多有一个发生；(C)A,B恰巧有一个发生；(D)A,B最罕有一个发生.1/6x,0x12．连续随机变量X的概率密度为f(x)2x,1x2,则随机变量X落在0,其余区间(0.4，1.2)内的概率为___(B)___.(A)0.64;(B)0.6;(C)0.5;(D)0.42.3．已知X~N(1,12),Y~N(2,22)，且P{X11}P{Y21}，正确的选项是___(A)___.(A)12；(B)12；(C)12；(D)12.4．设X1,X2,,Xn来自正态整体N(,2)的样本，此中已知，2未知，则下列不是统计量的是___(C)____.(A)min{X1,X2,,Xn}(B)X(C)nXi(D)XnX1i15．样本X1,X2,,Xn来自整体X，EX,DX2，则__(A)__能够作为2的无偏预计。当已知时，统计量1n

n2Xi;i11n2(B)当已知时，统计量Xi;n1i11n2(C)当未知时，统计量;niXi11n2(D)当未知时，统计量Xin1i1三．（10分）在18盒同类电子元件中有5盒是甲厂生产的，7盒是乙厂生产的，4盒是丙厂生产的，其余是丁厂生产的，该四厂的产品合格品率挨次为0.8，0.7，0.6，0.5，现随意从某一盒中任取一个元件，经测试发现是不合格品，试问该盒产品属于哪一个厂生产的可能性最大？解:Ai(i=1,2,3,4):“所取一盒产品属于甲，乙，丙，丁厂生产”B：“所取一个元件为不合格品”2/6则PA15，PA27，PA34，PA4218181818PBA10.2，PBA20.3，PBA30.4，PBA40.5由全概率公式:PB457PAiPBAi=------------------------------5分180i1由贝叶斯公式:PAB10,PAB21,PAB16,PAB10157257357457故该盒产品由乙厂生产的可能性最大。------------------------------10分四.（12分）假定随机变量X遵照指数散布，其密度函数为：2e2x,x0f(x)x00,（1）求Y1e2X的散布；（2）求E(Y),D(Y)。解：（1）因为y1e2x在(0,+∞)上单一增函数，其反函数为：h(y)1ln(11，2y),0y1,而且h'(y)2(1y)则当0y1时，有fY(y)fX[h(y)]|h(y)|fX(11ln(1y))22(1y)2(211ln(1y))2e12(1y)当y0或y1时，fY(y)=0.所以Y1e2X在区间(0,1)上遵照均匀散布.（2）由（1）易知，E(Y)1,D(Y)1212。五．（12分）设（X，Y）的结合散布律为

------------------------------4分------------------------------8分------------------------------12分X0123Y000.050.080.1210.010.090.120.1520.020.110.130.12求：（1）ZXY的散布律；（2）Umax(X,Y)的散布律；（3）Vmin(X,Y)的散布律.3/6解(1)ZXY的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=0P(Z=1)=P(X=1,Y=0)+P(X=0,Y=1)=0.06P(Z=2)=P(X=2,Y=0)+P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.19P(Z=3)=P(X=3,Y=0)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.35P(Z=4)=P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=0.28P(Z=5)=P(X=3,Y=2)=0.12XY的散布律以下：Z012345p00.060.190.350.280.12------------------------------4分同理，Umax(X,Y)的散布以下：U0123p00.150.460.39------------------------------8分同理，Vmin(X,Y)的散布分别以下：V012p0.280.470.25------------------------------12分六．（16分）设二维随机变量(X,Y)的结合概率密度为：Ae-(3x+4y),x0,y0,f(x,y)0,其余求：（1）常数A；（2）X,Y的边沿概率密度；（3）P(0X1,0Y2).（4）判断X与Y能否互相独立。解：(1)由结合概率密度的性质，可得f(x,y)dxdy1Ae(3x4y)dxdyA/1200解得A12------------------------------4分（2）对于X的边沿散布：fX(x)f(x,y)dy3e3xx0------------------------------6=x0分0同理对于Y的边沿散布：fY(y)4e4yy0------------------------------8分f(x,y)dx=y00（3）P(0X1,0124y)dyY2)=dxe(3x004/6=(1e3)(1e8)------------------------------12分（4）因为f(x,y)fX(x)fY(y)(x,y)所以X与Y互相独立。------------------------------16分七.（12分）（1）设随机变量X~f(x)axa1,0x1,此中a(a0)未知，0,其余,X1,X2,,Xn是来自整体X的简单随机样本，求参数a的矩预计.（2）设整体X拥有散布律X123k2(1－θ)2Pθ2θ(1－θ)此中(01)为未知参数。已知获得了样本值X11,X22,X31，试求的最大似然预计值。解：（1）E(X)1a------------------------------3分axadx，0a1令a1n，得a的矩预计aX------------------------------6分Xi.a1ni?1X1（2）求θ的最大似然预计值.3似然函数LθPXixi}PX1PX22}PX31}(){{1}{{i1θ22θ(1θ)θ2------------------------------9分2θ5(1θ)对数似然函数lnL()ln25lnln(1)求导dlnL(θ)510dθ61θ获得独一解，即最大似然预计值为?5------------------------------12分θ6。八.（8分）某厂生产某种部件，在正常生产的条件下，这类部件的周长遵照正态散布，均值为0.13厘米。假如从某日生产的这类部件中任取9件丈量后得样本均值x=0.146厘米，样本标准差s0.016厘米。问该日生产的部件的均匀周长是否与往日同样？（已知：0.05,t0.025(9)2.262,t0.025(8)2.306,u0.0251.96）解：待查验的假定为H0:0.135/6选择统计量TX，当H0建立刻，TX0