九年级数学下册2锐角三角函数锐角的正弦课件(人教版)

28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数第1课时锐角的正弦28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数第1课时锐1复习直角三角形相关知识已知：在RtΔABC中，∠C=90°，三边关系：a2+b2=c2两锐角关系：∠A+∠B=90°

思考：边角之间有什么特殊的关系吗？在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。其他的直角三角形是否也存在类似的边角关系呢？复习引入提出问题1复习直角三角形相关知识在直角三角形中，如果有一个锐角等于21．经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．2．能根据正弦概念正确进行计算．学习目标1．经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定3【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小明怎样算出的吗？今天我们将学习一种新的函数（锐角三角函数）【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学4解析:根据余弦定义可得cosA=.由勾股定理可得BC=（2）在Rt△ABC中，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。解：（1）在Rt△ABC中，（演示学校操场上的国旗图片）解析:由旋转可得∠B'=∠B，3．如图，已知点P的坐标是（a，b），A．3/5B．4/5C．3/4D．4/3在△ABC中∠C＝90°，SinA=利用右图，借助勾股定理第二十八章锐角三角函数1．经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosA的值是()(2)tan30°-sin60°·sin30°;解：（1）cos260°＋sin260°3锐角三角函数（第3课时）熟记特殊角的锐角三角函数值是进行三角函数计算的关键．结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于今天我们将学习一种新的函数（锐角三角函数）观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？例2、已知△ABC中∠C＝90°，SinA=则sinA=______.3．如图，已知点P的坐标是（a，b），解析:根据余弦定义可得cosA=.4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。1．经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．ＢＣ＝２，求ＡＣ、ＡＢ的长。如图，已知CD是Rt⊿ABC斜边上的高，则sinA=角A确定，那么角A的三角函数把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．当∠A＝45°时，我们有(2)上表的含义是会求30°、45°、60°的正弦值、余弦值及正切值，并用来计算，反过来，已知一个特殊角的正弦值、余弦值及正切值，要会求出相应的锐角.【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。，则SinB=________活动1:为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．ABC

分析：解析:根据余弦定义可得cosA=5在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于?思考ABC50m35mB'C'AB'＝2B'C'＝2×50＝100(m)在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长6

在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:因此

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比

，你能得出什么结论？?思考ABC在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，7综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.

一般地，当∠A

取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？展示点评小组讨论1综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°8

在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'

这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大。任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系．你能解释一下吗？探究ABCA'B'C'在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所9

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA

即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c

正弦函数如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边10运用知识，解决问题：如图，已知CD是Rt⊿ABC斜边上的高，则sinA==sinB==,sin∠DCB=----,sin∠ACD=----.DBAC=sinB==,sin∠DCB=----,sin∠ACD=-11例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：（1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此ABC34

求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比ABC135例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和si12思考:计算一个锐角的正弦值要注意哪些问题？【反思小结】计算一个锐角的正弦值要注意两个方面的问题：一是确定这个锐角所在的直角三角形；二是要注意正弦等于这个锐角的对边与斜边的比．思考:计算一个锐角的正弦值要注意哪些问题？【反思小结】计算13在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是定值．观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.解析:∵sinA=，cosB=，∴∠A=30°，∠B=45°，又∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=105°，∴△ABC为钝角三角形.两锐角关系：∠A+∠B=90°观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.不变D.（演示学校操场上的国旗图片）(3)等边三角形、等腰直角三角形及与30°，45°，60°角相关联的其他三角形问题，常常要用特殊角的三角函数值解答.第二十八章锐角三角函数角A确定，那么角A的三角函数求∠A的度数．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA即可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即（2）在Rt△ABC中，4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。正弦函数在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA=，cosB=，则△ABC的形状为三角形.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．例如，当∠A＝30°时，我们有DBAC例2、已知△ABC中∠C＝90°，SinA=ＢＣ＝２，求ＡＣ、ＡＢ的长。变式：1.在△ABC中∠C＝90°，SinA=，则SinB=________2.在Rt△ABC中∠ACB＝90°,CD⊥AB,垂足为点D,AD=4,sin∠ACD=,求CD,BC的长。在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，14【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，【解析】(1)已知sinA和BC的值，根据正弦定义，可以求出三角形的哪条边长?(2)你能不能求出三角形的第三条边长?(3)根据余弦、正切定义，你能求出cosA，tanB的值吗?熟记特殊角的锐角三角函数值是进行三角函数计算的关键．第二十八章锐角三角函数3锐角三角函数（第3课时）如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？（2）在Rt△ABC中，1第1，2题（只做与余弦、正切函数有关的部分），第4，6题．(1)结合图形(如图所示)及其中的数据和三角函数定义来计算特殊角的三角函数值，从而记住结果.观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果(补充拓展)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA，tanB的值.100倍，sinA的值（）三边关系：a2+b2=c2(2)对于其他相关角的三角函数值，往往用定义求解，15°，22.解：（1）cos260°＋sin260°可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．3锐角三角函数（第3课时）例3.如图，在等腰△ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，求SinB的值。

A

B

CBAC变式:在△ABC中∠C＝120°，AC=3,BC=2,求AB和sinA的值。【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。例3.如151.判断对错:A10m6mBC1)如图(1)sinA=（）

(2)sinB=（）

(3)sinA=0.6m（）

(4)SinB=0.8（）√√××sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图，sinA=（）

×巩固练习1.判断对错:A10m6mBC1)如图(1)sinA162.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C3.如图ACB37300则sinA=______.122.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大C3.如图A17师生小结总结提高在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是定值．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA．3.sinA是∠A的函数.师生小结总结提高在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不18反馈提炼

1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（）A．3/5

B．4/5C．3/4

D．4/32．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是()3．如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（）A.C.B.反馈提炼1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90194．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（）C.B.D.A.ABDC5.如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB=5，AC=3，弧AD=弧DB，求sin∠BAC、sin∠DAB的值.

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点20九年级数学·下新课标[人]第二十八章锐角三角函数28.2锐角三角函数（第2课时）九年级数学·下新课标[人]第二十八章锐21学习新知问题思考观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.学习新知问题思考观察两个大小不同的三角板，当角是30°22【思考】

在不同的直角三角形中，当锐角A的度数相同时，它们的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是同一个固定值吗?已知:如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α.证明:由于∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，【思考】

大家能不能得出锐角B的度数一定时，∠B的邻边与斜边、∠B的对边与邻边的比是不是一个固定值呢?【思考】在不同的直角三角形中，当锐角A的度数相同时，它们的23上交作业：教科书第68页习题28.当∠A＝45°时，我们有ＢＣ＝２，求ＡＣ、ＡＢ的长。如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？解析:由旋转可得∠B'=∠B，第二十八章锐角三角函数在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:扩大100倍B.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．变式:在△ABC中∠C＝120°，AC=3,BC=2,求AB和sinA的值。正弦函数AC=3，弧AD=弧DB，求sin∠BAC、sin∠DAB的值.sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；（1）cos260°＋sin260°观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，网格中，小正方形的边长均为1，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，则tanB'的值为.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA即如图，在等腰△ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，求SinB的值。3锐角三角函数（第3课时）第二十八章锐角三角函数1.在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.

2.在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.上交作业：教科书第68页习题28.1.在直角三角形24如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？ABC邻边b对边a斜边c

当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即

把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠25(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sinA,cosA,tanA的值.【思考】

(1)根据余弦、正切的定义,要求cosA,tanA的值必须求出哪条边的长?

(2)怎样求出AC的长?(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=26(补充拓展)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sin

A=，求cos

A，tan

B的值.【解析】(1)已知sinA和BC的值，根据正弦定义，可以求出三角形的哪条边长?(2)你能不能求出三角形的第三条边长?

(3)根据余弦、正切定义，你能求出cosA，tanB的值吗?(补充拓展)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=27(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC.[知识拓展]

(1)余弦和正切都是一个比值，没有单位.

（2)余弦值和正切值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关.(3)cos

A，tan

A都是一个整体符号，不能写成cos·A，tan·A.(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan28检测反馈1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cos

A的值是(

)

A.

B.

C.

D.4解析:根据余弦定义可得cosA=.故选B.B2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则下列选项正确的是(

)A.sin

A=

B.cos

A=

C.tan

A=

D.以上都不对解析:由勾股定理可得BC==5，∴sinA=，cosA=，tanA=.故选B.B检测反馈1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC293.如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，网格中，小正方形的边长均为1，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，则tanB'的值为

.

解析:由旋转可得∠B'=∠B，所以tanB'=tanB=.故填.4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，cos

A=，AB=12，求△ABC的面积.解:∵cos

A=，AB=12，∴AC=4

.由勾股定理可得BC=∴S△ABC=AC·BC=×4×4=24.3.如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，网格中，30小结1.余弦的定义：2.正切的定义：3.三角函数的定义小结1.余弦的定义：2.正切的定义：3.三角函数的定义31上交作业：教科书第68页习题28.1第1，2题（只做与余弦、正切函数有关的部分），第4，6题

．课后作业：“学生用书”的课后作业部分．上交作业：教科书第68页习题28.1第1，2题（只做与余弦、32扩展扩展33(4)SinB=0.（1）cos260°＋sin260°活动1:为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？（演示学校操场上的国旗图片）如图，在等腰△ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，求SinB的值。2．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是()可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？(1)2sin30°-cos45°即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于在△ABC中∠C＝90°，SinA=锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果如图所示，在△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=12，求△ABC的面积.解：（1）在Rt△ABC中，上交作业：教科书第68页习题28.ＢＣ＝２，求ＡＣ、ＡＢ的长。锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．当∠A＝45°时，我们有如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？九年级数学·下新课标[人]第二十八章锐角三角函数28.1.3

锐角三角函数（第3课时）(4)SinB=0.九年级数学·下新课标[人]第二34知识回顾如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果角A确定，那么

角A的三角函数

sinA=cosA=

tanA=.知识回顾sinA=35

30°

45°

60°sin

cos

tan

1三角函数值锐角利用右图，借助勾股定理求出30°、45°、60°角的三角函数值. 填入表中探究新知30°45°60°sin36探究新知问题思考

熟记特殊角的锐角三角函数值是进行三角函数计算的关键．

注意：(1)要会借助两个基本直角三角形，如图所示，推导30°、45°、60°角的三角函数值.(2)上表的含义是会求30°、45°、60°的正弦值、余弦值及正切值，并用来计算，反过来，已知一个特殊角的正弦值、余弦值及正切值，要会求出相应的锐角.探究新知问题思考熟记特殊角的锐角三角函数值是进行37例1求下列各式的值：（1）cos260°＋sin260°（2）解：（1）cos260°＋sin260°＝1（2）＝0点拨：(1)你知道cos260°与sin260°表示的意义吗?

cos260°表示(cos

60°)2，sin260°表示(sin

60°)2(2)cos

60°，sin

60°，cos

45°，sin

45°，tan

45°各等于什么值?例1求下列各式的值：解：（1）cos260°＋si38例2（1）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，，求∠A的度数．解：在图中，ABC例2（1）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，解：39（2）如图所示，AO是圆锥的高，OB是底面半径，，求α的度数．解：在图中，ABO【归纳】

要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊值，那么我们就可以求出这个角的度数.（2）如图所示，AO是圆锥的高，OB是底面半径，40(1)结合图形(如图所示)及其中的数据和三角函数定义来计算特殊角的三角函数值，从而记住结果.[知识拓展]

(2)对于其他相关角的三角函数值，往往用定义求解，15°，22.5°，75°角等.(3)等边三角形、等腰直角三角形及与30°，45°，60°角相关联的其他三角形问题，常常要用特殊角的三角函数值解答.(1)结合图形(如图所示)及其中的数据和三角函数定义来计算特41检测反馈1.计算3tan

30°的值等于(

)

A.

B.3

C.

D.解析:3tan30°=3×=.故选A.2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin

A=，且∠B=90°-∠A，则sin

B等于(

)

A.

B.

C.

D.1解析:∵sinA=，∴∠A=30°，又∠B=90°-∠A，∴∠B=60°，∴sinB=sin60=.故选C.CA检测反馈1.计算3tan30°的值等于()A.423.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sin

A=，cos

B=，则△ABC的形状为

三角形.

解析:∵sinA=，cosB=，∴∠A=30°，∠B=45°，又∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=105°，∴△ABC为钝角三角形.故填钝角.4.计算.

(1)2sin

30-cos

45°;

(2)tan

30°-sin

60°·sin

30°;

.解：钝角(1)2sin30°-cos45°(2)tan

30°-sin

60°·sin

30°3.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA=，43小结

1、这节课你有那些收获？

2、这节课你还有那些困惑？小结

1、这节课你有那些收获？

2、这节课4428.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数第1课时锐角的正弦28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数第1课时锐45复习直角三角形相关知识已知：在RtΔABC中，∠C=90°，三边关系：a2+b2=c2两锐角关系：∠A+∠B=90°

思考：边角之间有什么特殊的关系吗？在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。其他的直角三角形是否也存在类似的边角关系呢？复习引入提出问题1复习直角三角形相关知识在直角三角形中，如果有一个锐角等于461．经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．2．能根据正弦概念正确进行计算．学习目标1．经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定47【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学校操场上的国旗图片）小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。你想知道小明怎样算出的吗？今天我们将学习一种新的函数（锐角三角函数）【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。（演示学48解析:根据余弦定义可得cosA=.由勾股定理可得BC=（2）在Rt△ABC中，如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。解：（1）在Rt△ABC中，（演示学校操场上的国旗图片）解析:由旋转可得∠B'=∠B，3．如图，已知点P的坐标是（a，b），A．3/5B．4/5C．3/4D．4/3在△ABC中∠C＝90°，SinA=利用右图，借助勾股定理第二十八章锐角三角函数1．经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosA的值是()(2)tan30°-sin60°·sin30°;解：（1）cos260°＋sin260°3锐角三角函数（第3课时）熟记特殊角的锐角三角函数值是进行三角函数计算的关键．结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于今天我们将学习一种新的函数（锐角三角函数）观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.一般地，当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？例2、已知△ABC中∠C＝90°，SinA=则sinA=______.3．如图，已知点P的坐标是（a，b），解析:根据余弦定义可得cosA=.4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。1．经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实．ＢＣ＝２，求ＡＣ、ＡＢ的长。如图，已知CD是Rt⊿ABC斜边上的高，则sinA=角A确定，那么角A的三角函数把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．当∠A＝45°时，我们有(2)上表的含义是会求30°、45°、60°的正弦值、余弦值及正切值，并用来计算，反过来，已知一个特殊角的正弦值、余弦值及正切值，要会求出相应的锐角.【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。，则SinB=________活动1:为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．ABC

分析：解析:根据余弦定义可得cosA=49在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于?思考ABC50m35mB'C'AB'＝2B'C'＝2×50＝100(m)在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长50

在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:因此

即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于

如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比

，你能得出什么结论？?思考ABC在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，51综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值.

一般地，当∠A

取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？展示点评小组讨论1综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，当∠A＝30°52

在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'

这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值．并且直角三角形中一个锐角的度数越大，它的对边与斜边的比值越大。任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么与有什么关系．你能解释一下吗？探究ABCA'B'C'在图中，由于∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所53

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA

即例如，当∠A＝30°时，我们有当∠A＝45°时，我们有ABCcab对边斜边在图中∠A的对边记作a∠B的对边记作b∠C的对边记作c

正弦函数如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边54运用知识，解决问题：如图，已知CD是Rt⊿ABC斜边上的高，则sinA==sinB==,sin∠DCB=----,sin∠ACD=----.DBAC=sinB==,sin∠DCB=----,sin∠ACD=-55例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值．解：（1）在Rt△ABC中，因此（2）在Rt△ABC中，因此ABC34

求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比ABC135例1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和si56思考:计算一个锐角的正弦值要注意哪些问题？【反思小结】计算一个锐角的正弦值要注意两个方面的问题：一是确定这个锐角所在的直角三角形；二是要注意正弦等于这个锐角的对边与斜边的比．思考:计算一个锐角的正弦值要注意哪些问题？【反思小结】计算57在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是定值．观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.解析:∵sinA=，cosB=，∴∠A=30°，∠B=45°，又∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=105°，∴△ABC为钝角三角形.两锐角关系：∠A+∠B=90°观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.不变D.（演示学校操场上的国旗图片）(3)等边三角形、等腰直角三角形及与30°，45°，60°角相关联的其他三角形问题，常常要用特殊角的三角函数值解答.第二十八章锐角三角函数角A确定，那么角A的三角函数求∠A的度数．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA即可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即（2）在Rt△ABC中，4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。正弦函数在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，sinA=，cosB=，则△ABC的形状为三角形.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．例如，当∠A＝30°时，我们有DBAC例2、已知△ABC中∠C＝90°，SinA=ＢＣ＝２，求ＡＣ、ＡＢ的长。变式：1.在△ABC中∠C＝90°，SinA=，则SinB=________2.在Rt△ABC中∠ACB＝90°,CD⊥AB,垂足为点D,AD=4,sin∠ACD=,求CD,BC的长。在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，58【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，【解析】(1)已知sinA和BC的值，根据正弦定义，可以求出三角形的哪条边长?(2)你能不能求出三角形的第三条边长?(3)根据余弦、正切定义，你能求出cosA，tanB的值吗?熟记特殊角的锐角三角函数值是进行三角函数计算的关键．第二十八章锐角三角函数3锐角三角函数（第3课时）如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？（2）在Rt△ABC中，1第1，2题（只做与余弦、正切函数有关的部分），第4，6题．(1)结合图形(如图所示)及其中的数据和三角函数定义来计算特殊角的三角函数值，从而记住结果.观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，如果(补充拓展)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA，tanB的值.100倍，sinA的值（）三边关系：a2+b2=c2(2)对于其他相关角的三角函数值，往往用定义求解，15°，22.解：（1）cos260°＋sin260°可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．3锐角三角函数（第3课时）例3.如图，在等腰△ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，求SinB的值。

A

B

CBAC变式:在△ABC中∠C＝120°，AC=3,BC=2,求AB和sinA的值。【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测量旗杆高度。例3.如591.判断对错:A10m6mBC1)如图(1)sinA=（）

(2)sinB=（）

(3)sinA=0.6m（）

(4)SinB=0.8（）√√××sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；2)如图，sinA=（）

×巩固练习1.判断对错:A10m6mBC1)如图(1)sinA602.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大100倍，sinA的值（）A.扩大100倍B.缩小C.不变D.不能确定C3.如图ACB37300则sinA=______.122.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大C3.如图A61师生小结总结提高在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是定值．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA．3.sinA是∠A的函数.师生小结总结提高在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不62反馈提炼

1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90o，若AB＝5，AC＝4，则sinA＝（）A．3/5

B．4/5C．3/4

D．4/32．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是()3．如图，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（）A.C.B.反馈提炼1．如图，在直角△ABC中，∠C＝90634．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D。已知AC=，BC=2，那么sin∠ACD＝（）C.B.D.A.ABDC5.如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB=5，AC=3，弧AD=弧DB，求sin∠BAC、sin∠DAB的值.

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点64九年级数学·下新课标[人]第二十八章锐角三角函数28.2锐角三角函数（第2课时）九年级数学·下新课标[人]第二十八章锐65学习新知问题思考观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.学习新知问题思考观察两个大小不同的三角板，当角是30°66【思考】

在不同的直角三角形中，当锐角A的度数相同时，它们的邻边与斜边的比、对边与邻边的比是同一个固定值吗?已知:如图所示，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α.证明:由于∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'=α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'，【思考】

大家能不能得出锐角B的度数一定时，∠B的邻边与斜边、∠B的对边与邻边的比是不是一个固定值呢?【思考】在不同的直角三角形中，当锐角A的度数相同时，它们的67上交作业：教科书第68页习题28.当∠A＝45°时，我们有ＢＣ＝２，求ＡＣ、ＡＢ的长。如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝45°，计算∠A的对边与斜边的比，你能得出什么结论？解析:由旋转可得∠B'=∠B，第二十八章锐角三角函数在Rt△ABC中，∠C＝90°，由于∠A＝45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得:扩大100倍B.锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．变式:在△ABC中∠C＝120°，AC=3,BC=2,求AB和sinA的值。正弦函数AC=3，弧AD=弧DB，求sin∠BAC、sin∠DAB的值.sinA是一个比值（注意比的顺序），无单位；（1）cos260°＋sin260°观察两个大小不同的三角板，当角是30°，45°，60°时，它们的邻边与斜边、对边与邻边的比有什么规律?谈谈你的看法.如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，网格中，小正方形的边长均为1，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，则tanB'的值为.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比值叫做∠A的正弦（sine），记作：sinA即如图，在等腰△ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，求SinB的值。3锐角三角函数（第3课时）第二十八章锐角三角函数1.在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的邻边与斜边的比都是一个固定值.

2.在直角三角形中，当锐角的度数一定时，无论这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与邻边的比都是一个固定值.上交作业：教科书第68页习题28.1.在直角三角形68如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定，此时，其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？ABC邻边b对边a斜边c

当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的，我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦（cosine），记作cosA，即

把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切（tangent），记作tanA，即

锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，当锐角A确定时，∠69(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sinA,cosA,tanA的值.【思考】

(1)根据余弦、正切的定义,要求cosA,tanA的值必须求出哪条边的长?

(2)怎样求出AC的长?(教材例2)如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=70(补充拓展)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sin

A=，求cos

A，tan

B的值.【解析】(1)已知sinA和BC的值，根据正弦定义，可以求出三角形的哪条边长?(2)你能不能求出三角形的第三条边长?

(3)根据余弦、正切定义，你能求出cosA，tanB的值吗?(补充拓展)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=71(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan∠ABC.[知识拓展]

(1)余弦和正切都是一个比值，没有单位.

（2)余弦值和正切值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关.(3)cos

A，tan

A都是一个整体符号，不能写成cos·A，tan·A.(4)当用三个字母表示角时，角的符号“∠”不能省略，如tan72检测反馈1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cos

A的值是(

)

A.

B.

C.

D.4解析:根据余弦定义可得cosA=.故选B.B2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则下列选项正确的是(

)A.sin

A=

B.cos

A=

C.tan

A=

D.以上都不对解析:由勾股定理可得BC==5，∴sinA=，cosA=，tanA=.故选B.B检测反馈1.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC733.如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，网格中，小正方形的边长均为1，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC'B'，则tanB'的值为

.

解析:由旋转可得∠B'=∠B，所以tanB'=tanB=.故填.4.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，cos

A=，AB=12，求△ABC的面积.解:∵cos

A=，AB=12，∴AC=4

.由勾股定理可得BC=∴S△ABC=AC·BC=×4×4=24.3.如图所示，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，网格中，74小结1.余弦的定义：2.正切的定义：3.三角函数的定义小结1.余弦的定义：2.正切的定义：3.三角函数的定义75上交作业：教科书第68页习题28.1第1，2题（只做与余弦、正切函数有关的部分），第4，6题

．课后作业：“学生用书”的课后作业部分．上交作业：教科书第68页习题28.1第1，2题（只做与余弦、76扩展扩展77(4)SinB=0.（1）cos260°＋sin260°活动1:为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？（演示学校操场上的国旗图片）如图，在等腰△ABC中AB＝AC＝10，BC＝12，求SinB的值。2．在△ABC中，∠C=90°，BC=2，sinA=，则边AC的长是()可得AB＝2BC＝70m，也就是说，需要准备70m长的水管．在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？(1)2sin30°-cos45°即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于在△ABC中∠C＝90°，Sin