2020版高考理数：专题6数列课件一

专题六数列专题六数列目录CONTENTS考点一数列的概念与简单表示法1考点二等差数列及其前n项和2考点四数列的综合应用4考点三

等比数列及其前n项和32目录考点一数列的概念与简单表示法1考点二等差数列及考点一数列的概念与简单表示法必备知识全面把握核心方法重点突破考法例析成就能力考点一数列的概念与简单表示法必备知识全面把握核心方法重必备知识全面把握1．数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．例如，①前后项之间形成固定关系的有序的一列数；②自变量仅取正整数，图像是离散点的特殊函数；③每一项都与其项数及某定值形成固定关系的一列数；④每一项与其对应的前n项和形成固定关系的一列数；⑤可以通过归纳的方法，找到表达式，并且对于每一项的检验都恒成立的一列数．考点一数列的概念与简单表示法必备知识全面把握1．数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为5①图像法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．通项公式：如果数列{an}中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式.2．数列的表示方法{an}与an是两种不同的表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式；而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．递推公式：如果从数列{an}的第2项起，任一项an与它的前一项an－1(或前n项和Sn)间的关系可以用某个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．考点一数列的概念与简单表示法5①图像法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．2．数列的6按项数分类：有穷数列，无穷数列．按项与项间的大小关系分类：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列．3．数列的分类考点一数列的概念与简单表示法6按项数分类：有穷数列，无穷数列．3．数列的分类考点一数列7一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，因为它的定义域是N*或它的有限子集{1，2，…，n}，所以它的图像是一系列孤立的点，而不是连续的曲线．4．函数与数列的联系与区别考点一数列的概念与简单表示法7一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于8①已知数列为等差或等比数列，用等差、等比数列的公式、性质等解决；5．解决数列问题的一般方法③形似函数的数列，可以应用函数的方法，同时注意与函数的区别．②形似等差、等比的数列，可以联想、类比、派生、转化为等差、等比

数列；考点一数列的概念与简单表示法8①已知数列为等差或等比数列，用等差、等比数列的公式、性质等9核心方法重点突破方法1由an与Sn的关系求通项an数列{an}的前n项和Sn与an的关系为先通过an＝Sn－Sn－1(n≥2)和题目中的已知条件消去an或Sn，再构造等差数列或者等比数列求解．(1)若消去Sn，应利用已知递推公式，把n换成n－1得到另一个式子，两式相减即可求得通项．考点一数列的概念与简单表示法9核心方法重点突破方法1由an与Sn的关系求通项an(10(2)若消去an，只需把an＝Sn－Sn－1代入递推式得到Sn，Sn－1的关系，求出Sn后再利用an与Sn的关系求通项．在求解时一定要记住：(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.将n＝1时的表达式与n≥2时的表达式综合在一起，若a1适合n≥2时{an}的通项公式，则可以合并在一起，否则写成分段形式．方法1由an与Sn的关系求通项an考点一数列的概念与简单表示法10(2)若消去an，只需把an＝Sn－Sn－1代入递推式得11【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.又a1＝－1也适合上式，因此an＝4n－5(n∈N*)．例1

已知数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋b；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合上式；当b≠－1时，a1不适合上式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1(n∈N*)；当b≠－1时，an＝考点一数列的概念与简单表示法11【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1；例1已知数12【解析】当n＝1时，a1＝6；当n≥2时，由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)，两式相减得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)＝3n(n＋1)，所以an＝3n＋3，当n＝1时也成立，故an＝3n＋3.例2

数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)·(n＋2)(n∈N*)，则这个数列的通项公式an＝________．【答案】3n＋3考点一数列的概念与简单表示法12【解析】当n＝1时，a1＝6；例2数列{an}满足a13【解】(1)由S1＝A·2＋B＝a1＝5，S2＝A·4＋B＝a1＋a2＝9，得A＝2，B＝1.例3

在数列{an}中，a1＝5，a2＝4，数列{an}的前n项和Sn＝A·2n＋B(A，B为常数)．(1)求实数A，B的值；(2)求数列{an}的通项公式．(2)因为Sn＝2n＋1＋1，所以an＝当n＝1时，a1＝S1＝22＋1＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1＋1－(2n＋1)＝2n.所以an＝考点一数列的概念与简单表示法13【解】(1)由S1＝A·2＋B＝a1＝5，S2＝A·4＋14方法2数列的单调性、最值、周期性等性质的应用(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法：①作差比较法：根据an+1-an的符号进行判断；②作商比较法：当{an}中各项都同号时，根据与1的大小关系进行判断；③结合相应函数的图像直观判断．(3)解决数列周期性问题的方法：根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值．(2)数列的最值通常利用函数最值的方法或者数列的单调性求解．考点一数列的概念与简单表示法14方法2数列的单调性、最值、周期性等性质的应用(1)15【解析】∵an＝且数列{an}是递增数列，则∴2＜a＜3，∴实数a的取值范围是(2，3)．【答案】(2，3)例4

已知数列{an}满足an＝且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．考点一数列的概念与简单表示法15【解析】∵an＝【答案】(2，3)例4已知数列{an16【解析】由任意连续三项的和都是15得an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，则an＝an＋3，所以a12＝a3＝5，且a2＋a3＋a4＝15，则a2＝9，所以a2018＝a3×672＋2＝a2＝9.例5

在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝________．【答案】9考点一数列的概念与简单表示法16例5在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意17例6

等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．【答案】－49考点一数列的概念与简单表示法17例6等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝018考法例析成就能力本考点是高考的热点，主要考查(3)利用数列的函数性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度有所下降．(2)由an与Sn的关系求通项公式；(1)由数列的递推关系求通项公式；考点一数列的概念与简单表示法18考法例析成就能力本考点是高考的热点，主要考查(3)利用19例1

[课标全国Ⅰ2018·14]记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.考法1由an与Sn的关系求值【解析】方法一：∵Sn＝2an＋1(n≥1)，①∴Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)．②当n≥2时，①－②得an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.∴数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列．∴S6＝=-63考点一数列的概念与简单表示法19例1[课标全国Ⅰ2018·14]记Sn为数列{an}20方法二：由题知当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，∴Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴Sn＝2Sn－1－1.③构造Sn－λ＝2(Sn－1－λ)，∴Sn－λ＝2Sn－1－2λ，∴Sn＝2Sn－1－λ.④∵③④两式对应项相等，∴λ＝1.当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，∴S1－1＝－2.∴{Sn－1}是以S1－1＝－2为首项，2为公比的等比数列．∴Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，∴Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.【答案】－63考点一数列的概念与简单表示法20方法二：由题知当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)＋121例2

[课标全国Ⅱ2015·16]设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.【解析】∵an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.两边同时除以SnSn＋1，得＝－1.又∵＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，∴Sn＝－【答案】－考点一数列的概念与简单表示法21例2[课标全国Ⅱ2015·16]设Sn是数列{an}22例3

[课标全国Ⅲ文2017·17]设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【解】(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2.所以an＝(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足an＝

，

从而{an}的通项公式为an＝.考点一数列的概念与简单表示法22例3[课标全国Ⅲ文2017·17]设数列{an}满足23考点一数列的概念与简单表示法例3

[课标全国Ⅲ文2017·17]设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．23考点一数列的概念与简单表示法例3[课标全国Ⅲ文2024(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值．例4

[四川2015·16]设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．考点一数列的概念与简单表示法24(1)求数列{an}的通项公式；例4[四川2015·25【解】(1)由已知Sn＝2an－a1，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)，即a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故an＝2n.考点一数列的概念与简单表示法25【解】(1)由已知Sn＝2an－a1，得考点一数列的概26考点一数列的概念与简单表示法26考点一数列的概念与简单表示法27考法2利用数列的单调性求最值例5、已知数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{(2n－13)an}的最大项．【解】(1)∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝n－1，②

①－②得2n－1an＝1，∴an＝，n≥2.又∵n＝1时，a1＝1也适合，∴an＝，n∈N*.考点一数列的概念与简单表示法27考法2利用数列的单调性求最值例5、已知数列{an}满28考点一数列的概念与简单表示法28考点一数列的概念与简单表示法29考法3数列的新定义问题例6

[课标全国Ⅲ2016·12]定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有(

)

A．18个B．16个C．14个D．12个考点一数列的概念与简单表示法29考法3数列的新定义问题例6[课标全国Ⅲ2016·30【解析】当m＝4时，数列共有8项，由题可知，a1＝0，a8＝1，分类考虑：①当前四项全为0时，后四项全为1，满足条件，有1个；②当前四项有三项为0时，第2，3，4项任取两项为0，第5，6，7项任取一项为0，共有C32·C31＝9(个)；③当前四项有两项为0时，则第2或3项为0，第5项一定为0，第6，7项有一项为0，共有C21·C21＝4(个)．综上，共有1＋9＋4＝14(个)．【答案】C考点一数列的概念与简单表示法30【解析】当m＝4时，数列共有8项，由题可知，a1＝0，a专题六数列专题六数列目录CONTENTS考点一数列的概念与简单表示法1考点二等差数列及其前n项和2考点四数列的综合应用4考点三

等比数列及其前n项和32目录考点一数列的概念与简单表示法1考点二等差数列及考点一数列的概念与简单表示法必备知识全面把握核心方法重点突破考法例析成就能力考点一数列的概念与简单表示法必备知识全面把握核心方法重必备知识全面把握1．数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．例如，①前后项之间形成固定关系的有序的一列数；②自变量仅取正整数，图像是离散点的特殊函数；③每一项都与其项数及某定值形成固定关系的一列数；④每一项与其对应的前n项和形成固定关系的一列数；⑤可以通过归纳的方法，找到表达式，并且对于每一项的检验都恒成立的一列数．考点一数列的概念与简单表示法必备知识全面把握1．数列的概念按照一定顺序排列的一列数称为35①图像法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．通项公式：如果数列{an}中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式.2．数列的表示方法{an}与an是两种不同的表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，是数列的一种简记形式；而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是“个体”与“整体”的从属关系．递推公式：如果从数列{an}的第2项起，任一项an与它的前一项an－1(或前n项和Sn)间的关系可以用某个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．考点一数列的概念与简单表示法5①图像法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．2．数列的36按项数分类：有穷数列，无穷数列．按项与项间的大小关系分类：递增数列，递减数列，常数列，摆动数列．3．数列的分类考点一数列的概念与简单表示法6按项数分类：有穷数列，无穷数列．3．数列的分类考点一数列37一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，因为它的定义域是N*或它的有限子集{1，2，…，n}，所以它的图像是一系列孤立的点，而不是连续的曲线．4．函数与数列的联系与区别考点一数列的概念与简单表示法7一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于38①已知数列为等差或等比数列，用等差、等比数列的公式、性质等解决；5．解决数列问题的一般方法③形似函数的数列，可以应用函数的方法，同时注意与函数的区别．②形似等差、等比的数列，可以联想、类比、派生、转化为等差、等比

数列；考点一数列的概念与简单表示法8①已知数列为等差或等比数列，用等差、等比数列的公式、性质等39核心方法重点突破方法1由an与Sn的关系求通项an数列{an}的前n项和Sn与an的关系为先通过an＝Sn－Sn－1(n≥2)和题目中的已知条件消去an或Sn，再构造等差数列或者等比数列求解．(1)若消去Sn，应利用已知递推公式，把n换成n－1得到另一个式子，两式相减即可求得通项．考点一数列的概念与简单表示法9核心方法重点突破方法1由an与Sn的关系求通项an(40(2)若消去an，只需把an＝Sn－Sn－1代入递推式得到Sn，Sn－1的关系，求出Sn后再利用an与Sn的关系求通项．在求解时一定要记住：(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.将n＝1时的表达式与n≥2时的表达式综合在一起，若a1适合n≥2时{an}的通项公式，则可以合并在一起，否则写成分段形式．方法1由an与Sn的关系求通项an考点一数列的概念与简单表示法10(2)若消去an，只需把an＝Sn－Sn－1代入递推式得41【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.又a1＝－1也适合上式，因此an＝4n－5(n∈N*)．例1

已知数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋b；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合上式；当b≠－1时，a1不适合上式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1(n∈N*)；当b≠－1时，an＝考点一数列的概念与简单表示法11【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1；例1已知数42【解析】当n＝1时，a1＝6；当n≥2时，由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－1)n(n＋1)，两式相减得nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)＝3n(n＋1)，所以an＝3n＋3，当n＝1时也成立，故an＝3n＋3.例2

数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)·(n＋2)(n∈N*)，则这个数列的通项公式an＝________．【答案】3n＋3考点一数列的概念与简单表示法12【解析】当n＝1时，a1＝6；例2数列{an}满足a43【解】(1)由S1＝A·2＋B＝a1＝5，S2＝A·4＋B＝a1＋a2＝9，得A＝2，B＝1.例3

在数列{an}中，a1＝5，a2＝4，数列{an}的前n项和Sn＝A·2n＋B(A，B为常数)．(1)求实数A，B的值；(2)求数列{an}的通项公式．(2)因为Sn＝2n＋1＋1，所以an＝当n＝1时，a1＝S1＝22＋1＝5；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1＋1－(2n＋1)＝2n.所以an＝考点一数列的概念与简单表示法13【解】(1)由S1＝A·2＋B＝a1＝5，S2＝A·4＋44方法2数列的单调性、最值、周期性等性质的应用(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法：①作差比较法：根据an+1-an的符号进行判断；②作商比较法：当{an}中各项都同号时，根据与1的大小关系进行判断；③结合相应函数的图像直观判断．(3)解决数列周期性问题的方法：根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期求值．(2)数列的最值通常利用函数最值的方法或者数列的单调性求解．考点一数列的概念与简单表示法14方法2数列的单调性、最值、周期性等性质的应用(1)45【解析】∵an＝且数列{an}是递增数列，则∴2＜a＜3，∴实数a的取值范围是(2，3)．【答案】(2，3)例4

已知数列{an}满足an＝且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是________．考点一数列的概念与简单表示法15【解析】∵an＝【答案】(2，3)例4已知数列{an46【解析】由任意连续三项的和都是15得an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，则an＝an＋3，所以a12＝a3＝5，且a2＋a3＋a4＝15，则a2＝9，所以a2018＝a3×672＋2＝a2＝9.例5

在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝________．【答案】9考点一数列的概念与简单表示法16例5在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意47例6

等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．【答案】－49考点一数列的概念与简单表示法17例6等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝048考法例析成就能力本考点是高考的热点，主要考查(3)利用数列的函数性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度有所下降．(2)由an与Sn的关系求通项公式；(1)由数列的递推关系求通项公式；考点一数列的概念与简单表示法18考法例析成就能力本考点是高考的热点，主要考查(3)利用49例1

[课标全国Ⅰ2018·14]记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________.考法1由an与Sn的关系求值【解析】方法一：∵Sn＝2an＋1(n≥1)，①∴Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)．②当n≥2时，①－②得an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.∴数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列．∴S6＝=-63考点一数列的概念与简单表示法19例1[课标全国Ⅰ2018·14]记Sn为数列{an}50方法二：由题知当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，∴Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴Sn＝2Sn－1－1.③构造Sn－λ＝2(Sn－1－λ)，∴Sn－λ＝2Sn－1－2λ，∴Sn＝2Sn－1－λ.④∵③④两式对应项相等，∴λ＝1.当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，∴S1－1＝－2.∴{Sn－1}是以S1－1＝－2为首项，2为公比的等比数列．∴Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，∴Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.【答案】－63考点一数列的概念与简单表示法20方法二：由题知当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)＋151例2

[课标全国Ⅱ2015·16]设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.【解析】∵an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.两边同时除以SnSn＋1，得＝－1.又∵＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，∴Sn＝－【答案】－考点一数列的概念与简单表示法21例2[课标全国Ⅱ2015·16]设Sn是数列{an}52例3

[课标全国Ⅲ文2017·17]设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．【解】(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)．两式相减得(2n－1)an＝2.所以an＝(n≥2)．又由题设可得a1＝2，满足an＝

，

从而{an}的通项公式为an＝.考点一数列的概念与简单表示法22例3[课标全国Ⅲ文2017·17]设数列{an}满足53考点一数列的概念与简单表示法例3

[课标全国Ⅲ文2017·17]设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和．23考点一数列的概念与简单表示法例3[课标全国Ⅲ文2054(1)求数列{an}的通项公式；(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值．例4

[四川2015·16]设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a