《幂函数》课件及同步练习

3.3

幂函数第三章函数概念与性质3.3幂函数第三章函数概念与性质1课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=

的图象；2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y2数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；4.数据分析：比较幂函数大小；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。

数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示幂函数；3问题1：函数y=2x,y=x2,这两个函数有什么区别？问题1：函数y=2x,y=x2,这两个函数有什么区别？4问题引入：函数的生活实例问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=

。问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S=

，

问题3：如果正方体的边长为b，那么正方体的体积是V=

，

问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c=

，

问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=

w这里p是w的函数a²这里S是a的函数b³这里V是b的函数这里c是S的函数这里v是t的函数t-1km/s

若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是:y=x²y=x³y=xy=x问题引入：函数的生活实例问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬5以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1。上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。

y=x

y=x2

y=x3

y=x1/2

y=x-1以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；上述问题中涉6它们有以下共同特点：(1)都是函数；(3)均是以自变量为底的幂；(2)指数为常数.一.幂函数定义一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.(1)为常量,.定义说明(2)中前面的系数为1.(3)定义域没有固定,与的值有关.它们有以下共同特点：(1)都是函数；(3)均是以自变量为底7

式子

名称

ax

y指数函数:y=ax

幂函数:y=xa

底数指数指数底数幂值幂值幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数名称8判断下列函数是否为幂函数。(1)y=x4(3)y=-x2(2)y=2x2(6)y=x3+2

牛刀小试判断下列函数是否为幂函数。(1)y=x4(3)y=9幂函数图象与性质：xy0RRR[0,+∞）RR[0,+∞）[0,+∞）均为增函数奇函数奇函数偶函数非奇非偶函数定义域：值域：奇偶性：在(0,+∞)上的单调性：xy0xy0xy011111111幂函数图象与性质：xy0RRR[0,+∞）RR[0,+∞）[10定义域：y0x{x|x≠0}{y|y≠0}奇函数减函数值域：在（0,+∞）上的单调性：奇偶性：11定义域：y0x{x|x≠0}{y|y≠0}奇函数减函数值域1111xy0y=xy=x2y=x3y=x-1(1)图像都过点（1，1)；(2)y=x、y=x3、y=x-1是奇函数，y=x2是偶函数；(3)在第一象限内，当α>0时是增函数，当α<

0时是减函数；(4)在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。11xy0y=xy=x2y=x3y=x-1(1)图像都过点12

解:设f(x)=xα,将代入,得总结:

理解并掌握形如y=xα的形式就是幂函数。

例1:已知幂函数的图象过点,试求出此函数的解析式.解:设f(x)=xα,将13证明:证明:14达标检测达标检测15《幂函数》课件及同步练习16《幂函数》课件及同步练习17《幂函数》课件及同步练习18《幂函数》课件及同步练习19《幂函数》课件及同步练习20小结：

知识：幂函数的概念、图像和性质。

方法：（1）

用待定系数法求幂函数的解析式；（2）用函数的单调性比较两个幂的大小：

①同指数不同底数的，用幂函数的单调性。

小结：21《3.3

幂函数》同步练习《3.3幂函数》同步练习22阅读课本89-90页，思考并完成以下问题1.幂函数是如何定义的？2.幂函数的解析式具有什么特点？3.常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。阅读课本89-90页，思考并完成以下问题23知识清单知识清单24《幂函数》课件及同步练习25《幂函数》课件及同步练习26《幂函数》课件及同步练习27题型分析举一反三题型一幂函数的概念例1

函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.题型分析举一反三题型一幂函数的概念例1函28解题方法（判断一个函数是否为幂函数）

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.解题方法（判断一个函数是否为幂函数）291.如果幂函数y=(m2-3m+3)

的图象不过原点,求实数m的取值.

解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.1.如果幂函数y=(m2-3m+3)30题型二幂函数的图象与性质

例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为

(

)A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案:A解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.题型二幂函数的图象与性质例2已知函数y=xa,y31解题方法（幂函数图像与性质）1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可知2a>2b>2c,又函数y=2x在R上是增函数,于是a>b>c.2.对于函数y=xα(α为常数)而言,其图象有以下特点:(1)恒过点(1,1),且不过第四象限.(2)当x∈(0,1)时,指数越大,幂函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);当x∈(1,+∞)时,指数越大,幂函数的图象越远离x轴(简记为“指大图高”).(3)由幂函数的图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y=x-1或y=,y=x3)来判断.(4)当α>0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是增函数;当α<0时,幂函数的图象在区间(0,+∞)上都是减函数.解题方法（幂函数图像与性质）321.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象,则下列结论正确的是(

)A.n<m<0 B.m<n<0C.n>m>0

D.m>n>0解析:画出直线y=x0的图象,作出直线x=2,与三个函数图象交于点(2,20),(2,2m),(2,2n).由三个点的位置关系可知,n<m<0.故选A.答案:A1.如图所示,曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第33题型三利用幂函数的单调性比较大小

例3比较下列各组中两个数的大小:题型三利用幂函数的单调性比较大小例3比较下列各组中两34《幂函数》课件及同步练习35解题方法（比较幂函数大小）1.比较幂大小的三种常用方法

2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题比较大小的两个实数必须在同一函数的同一个单调区间内,否则无法比较大小.解题方法（比较幂函数大小）2.利用幂函数单调性比较大小时要注36[跟踪训练三]1.A.b<a<c

B.a<b<cC.b<c<a

D.c<a<b∴a>b,a<c,∴b<a<c.答案:A[跟踪训练三]A.b<a<c B.a<b<c∴a>b,a<c373.3

幂函数第三章函数概念与性质3.3幂函数第三章函数概念与性质38课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=

的图象；2、结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质；3、通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力．课程目标1、理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y39数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示幂函数；2.逻辑推理：常见幂函数的性质；3.数学运算：利用幂函数的概念求参数；4.数据分析：比较幂函数大小；5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，利用幂函数性质、图像特点解决实际问题。

数学学科素养1.数学抽象：用数学语言表示幂函数；40问题1：函数y=2x,y=x2,这两个函数有什么区别？问题1：函数y=2x,y=x2,这两个函数有什么区别？41问题引入：函数的生活实例问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数p=

。问题2：如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S=

，

问题3：如果正方体的边长为b，那么正方体的体积是V=

，

问题4:如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c=

，

问题5：如果某人ts内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v=

w这里p是w的函数a²这里S是a的函数b³这里V是b的函数这里c是S的函数这里v是t的函数t-1km/s

若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是:y=x²y=x³y=xy=x问题引入：函数的生活实例问题1：如果张红购买了每千克1元的蔬42以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；（2）均是以自变量为底的幂；（3）指数为常数；（4）自变量前的系数为1。上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数。

y=x

y=x2

y=x3

y=x1/2

y=x-1以上问题中的函数有什么共同特征？（1）都是函数；上述问题中涉43它们有以下共同特点：(1)都是函数；(3)均是以自变量为底的幂；(2)指数为常数.一.幂函数定义一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.(1)为常量,.定义说明(2)中前面的系数为1.(3)定义域没有固定,与的值有关.它们有以下共同特点：(1)都是函数；(3)均是以自变量为底44

式子

名称

ax

y指数函数:y=ax

幂函数:y=xa

底数指数指数底数幂值幂值幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数名称45判断下列函数是否为幂函数。(1)y=x4(3)y=-x2(2)y=2x2(6)y=x3+2

牛刀小试判断下列函数是否为幂函数。(1)y=x4(3)y=46幂函数图象与性质：xy0RRR[0,+∞）RR[0,+∞）[0,+∞）均为增函数奇函数奇函数偶函数非奇非偶函数定义域：值域：奇偶性：在(0,+∞)上的单调性：xy0xy0xy011111111幂函数图象与性质：xy0RRR[0,+∞）RR[0,+∞）[47定义域：y0x{x|x≠0}{y|y≠0}奇函数减函数值域：在（0,+∞）上的单调性：奇偶性：11定义域：y0x{x|x≠0}{y|y≠0}奇函数减函数值域4811xy0y=xy=x2y=x3y=x-1(1)图像都过点（1，1)；(2)y=x、y=x3、y=x-1是奇函数，y=x2是偶函数；(3)在第一象限内，当α>0时是增函数，当α<

0时是减函数；(4)在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。11xy0y=xy=x2y=x3y=x-1(1)图像都过点49

解:设f(x)=xα,将代入,得总结:

理解并掌握形如y=xα的形式就是幂函数。

例1:已知幂函数的图象过点,试求出此函数的解析式.解:设f(x)=xα,将50证明:证明:51达标检测达标检测52《幂函数》课件及同步练习53《幂函数》课件及同步练习54《幂函数》课件及同步练习55《幂函数》课件及同步练习56《幂函数》课件及同步练习57小结：

知识：幂函数的概念、图像和性质。

方法：（1）

用待定系数法求幂函数的解析式；（2）用函数的单调性比较两个幂的大小：

①同指数不同底数的，用幂函数的单调性。

小结：58《3.3

幂函数》同步练习《3.3幂函数》同步练习59阅读课本89-90页，思考并完成以下问题1.幂函数是如何定义的？2.幂函数的解析式具有什么特点？3.常见幂函数的图象是什么？它具有哪些性质？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。阅读课本89-90页，思考并完成以下问题60知识清单知识清单61《幂函数》课件及同步练习62《幂函数》课件及同步练习63《幂函数》课件及同步练习64题型分析举一反三题型一幂函数的概念例1

函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,试确定m的值.分析:由f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数,且当x>0时是增函数,可先利用幂函数的定义求出m的值,再利用单调性确定m的值.解:根据幂函数的定义,得m2-m-5=1,解得m=3或m=-2.当m=3时,f(x)=x2在(0,+∞)上是增函数;当m=-2时,f(x)=x-3在(0,+∞)上是减函数,不符合要求.故m=3.题型分析举一反三题型一幂函数的概念例1函65解题方法（判断一个函数是否为幂函数）

判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即:(1)系数为1;(2)指数为常数;(3)后面不加任何项.反之,若一个函数为幂函数,则该函数必具有这种形式.解题方法（判断一个函数是否为幂函数）661.如果幂函数y=(m2-3m+3)

的图象不过原点,求实数m的取值.

解:由幂函数的定义得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2;当m=1时,m2-m-2=-2,函数为y=x-2,其图象不过原点,满足条件;当m=2时,m2-m-2=0,函数为y=x0,其图象不过原点,满足条件.综上所述,m=1或m=2.1.如果幂函数y=(m2-3m+3)67题型二幂函数的图象与性质

例2已知函数y=xa,y=xb,y=xc的图象如图所示,则a,b,c的大小关系为

(

)A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案:A解析:由幂函数的图象特征,知c<0,a>1,0<b<1.故c<b<a.题型二幂函数的图象与性质例2已知函数y=xa,y68解题方法（幂函数图像与性质）1.本题也可采用特殊值法,如取x=2,结合图象可