全国高考理科数学试题及辽宁

2011年一般高等学校招生全国一致考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必然自己的姓名、准考据号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．a为正实数，ai，则ai为虚数单位，2iA．2B．3C．2D．12．已知M，N为会合I的非空真子集，且M，N不相等，若NeIM，则MNA．MB．NC．ID．3．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AFBF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为3B．15D．7A．C．4444．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=2a，则baA．23B．22C．3D．25．从1，2，3，4，5中任取2各不同样的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”，事件B=“取到的2个数均为偶数”，则P（B︱A）=11A．B．8421C．D．526．履行右边的程序框图，假如输入的n是4，则输出的P是A．8B．5C．3D．217．设sin（+）=1sin2，则437117A．B．C．D．99998．如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则以下结论中不正确的是．．．A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角21x,x12的x的取值范围是9．设函数f(x)，则知足f(x)1log2x,x1A．[1，2]B．[0，2]C．[1，+]D．[0，+]10．若a，b，c均为单位向量，且ab0，(ac)(bc)0，则|abc|的最大值为A．21B．1C．2D．211．函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对随意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为A．（1，1）B．（1，+）C．（，1）D．（，+）12．已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=3，ASCBSC30，则棱锥S—ABC的体积为A．33B．23C．3D．1第Ⅱ卷本卷包含必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必然做答．第22题-第24题为选考题，考生依据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每题5分．x2y2ab上，C的焦距为4，则它的离心率13．已知点（2，3）在双曲线Ca2b21(0,0)：为．14．检查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），检查显示年收入x与年饮食支出y拥有线性有关关系，并由检查数据获得y对x的回归直线方程：?．由回归直线方程可知，家庭年收入每增添1万元，年饮食支出均匀增添y0.254x0.321____________万元．15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．216．已知函数f(x)=Atan（x+）（0,||），y=f(x)2的部分图像以以以下图，则f()．24三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知等差数列{an}知足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列an的前n项和．2n118．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1PD．2I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；II）求二面角Q—BP—C的余弦值．19．（本小题满分12分）某农场计划栽种某种新作物，为此对这类作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．采纳两大块地，每大块地分红n小块地，在总合2n小块地中，随机选n小块地栽种品种甲，其余n小块地栽种品种乙．（I）假定n=4，在第一大块地中，栽种品种甲的小块地的数量记为X，求X的散布列和数学期望；II）试验时每大块地分红8小块，即n=8，试验结束后获得品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）以下表：品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本均匀数和样本方差；依据试验结果，你以为应当栽种哪一品种？附：样本数据x1,x2,,xn的的样本方差s21[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]，此中x为n样本均匀数．320．（本小题满分12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小挨次为A，B，C，D．（I）设e1AD的比值；，求BC与2（II）当e变化时，能否存在直线l，使得BO∥AN，并说明原因．21．（本小题满分12分）已知函数f(x)lnxax2(2a)x．（I）讨论f(x)的单一性；（II）设a0，证明：当0x1时，f(1x)f(1x)；aaa（III）若函数yf(x)的图像与x轴交于A，两点，线段AB中点的横坐标为0，证明：f（x0）Bx0．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，假如多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延伸线与BC的延伸线交于E点，且EC=ED．I）证明：CD//AB；II）延伸CD到F，延伸DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程xcos在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），曲线C2的参ysin数方程为xacos（ab0，为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐ybsin标系中，射线l：θ=与C1，C2各有一个交点．当=0时，这两个交点间的距离为2，当=2时，这两个交点重合．（I）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值；（II）设当=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当=时，l与C1，C2的交点为A2，44B2，求四边形A1A2B2B1的面积．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x-2||x-5|．4（I）证明：3≤f(x)≤3；（II）求不等式f(x)≥x28x+15的解集．参照答案评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解答不同样，可依据试题的主要察看内容比较评分参照拟定相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超出该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4．只给整数分数，选择题不给中间分.一、选择题1—5BACDB6—10CADDB11—12BC二、填空题13．214．0.25415．2316．3三、解答题17．解：a1d0,（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得12d10,2a1解得a11,d1.故数列{an}的通项公式为an2n.5分an}的前n项和为Sn，即Sna2an,故S11，（II）设数列{n1a12n122Sna1a2an.2242n所以，当n1时，5Sna1a2a1anan1an222n12n11112n(42n1n)221(1n11)2nn22n2n.n所以Sn1.n2综上，数列{an}的前n项和Snn.12分n12n1218．解：如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴成立空间直角坐标系D—xyz.I）依题意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.则DQ(1,1,0),DC(0,0,1),PQ(1,1,0).所以PQDQ0,PQDC0.即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.6分（II）依题意有B（1，0，1），CB,0),1((12,BP.)1设n(x,y,z)是平面PBC的法向量，则nCB0,即x0,nBP0,x2yz0.所以可取n(0,1,2).mBP0,设m是平面PBQ的法向量，则mPQ0.可取m(1,1,1)所.以cosm,n15.5故二面角Q—BP—C的余弦值为

.12分5619．解：（I）X可能的取值为0，1，2，3，4，且P(X110),C8470P(XC41C4381),C8435P(XC42C42182),C8435P(XC43C4183),C8435P(X114).C8470即X的散布列为4分的数学希望为E(X)011821838412.6分7035353570（II）品种甲的每公顷产量的样本均匀数和样本方差分别为：x甲1(403397390404388400412406)400,8S甲1(32(3)2(10)242(12)20212262)57.25.88分品种乙的每公顷产量的样本均匀数和样本方差分别为：x乙1(419403412418408423400413)412,8S乙21(72(9)20262(4)2112(12)212)56.810分由以上结果能够看出，品种乙的样本均匀数大于品种甲的样本均匀数，且两品种的样本方差差别不大，故应当选择栽种品种乙.20．解：（I）由于C1，C2的离心率同样，故依题意可设C1:x2y21,C2:b2y2x21,(ab0)a2b2a4a2设直线l:xt(|t|a)，分别与C1，C2的方程联立，求得7A(t,aa2t2),B(t,ba2t2).4bae1时,b3a,分别用yA,yBAB22|BC|:|AD|2|yB|b2362|yA|a2.4IIt=0l.t0BO//ANBOkBOANkANba2t2aa2t2atbta,tab21e2a.a2b2e2|t|a,又0e1,所以1e21,解得2e1.e220e2lBO//AN22e1lBO//AN.12221If(x)的定义域为(0,),f(x)12ax(2a)(2x1)(ax1).xxia0,则f(x)0,所以f(x)在(0,).iia0,则由f(x)0得x1,ax(0,1)时,f(x)0,当x1时,f(x)0.aaf(x)在(0,1)(1,).4aaIIg(x)f(1x)f(1x),aag(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax,aa2a3x2g(x)1ax1ax2a1a2x2.0x1时,g(x)0,而g(0)0,所以g(x)0.a8故当0x11x)1x).8分a时，f(f(aa（III）由（I）可得，当a0时,函数yf(x)的图像与x轴至多有一个交点，故a0，进而f(x)的最大值为11)0.f(),且f(aa1不如设A(x1,0),B(x2,0),0x1x2,则0x1x2.a由（II）得f(2x1)f(11x1)f(x1)0.aaa进而x22x1,于是x0x1x21a2.a由（I）知，f(x0)0.12分22．解：I）由于EC=ED，所以∠EDC=∠ECD.由于A，B，C，D四点在同一圆上，所以∠EDC=∠EBA.故∠ECD=∠EBA，所以CD//AB.5分II）由（I）知，AE=BE，由于EF=FG，故∠EFD=∠EGC进而∠FED=∠GEC.连接AF，BG，则△EFA≌△EGB，故∠FAE=∠GBE，又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.所以∠AFG+∠GBA=180°.故A，B，G，F四点共圆10分23．解：（I）C1是圆，C2是椭圆.当0时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），由于这两点间的距离为2，所以a=3.当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），由于这两点重合，2所以b=1.（II