质点与刚体力学-习题课件

质点与

刚

体

力

学主讲：左武魁 （习题课）质点与刚体力学主讲：左武魁 （习题课）1运动方程运动参量与运动方程运动参量与2若运动方程为

一、已知运动方程求运动参量则速度为加速度为——依次求导或或运动方程与运动参量若运动方程为一、已知运动方程求运动参量则速度为加3则速度二、已知及起始条件求运动方程1.变加速运动运动方程2.匀加速运动则速度运动方程或或运动方程与运动参量则速度二、已知及起始条件求运动方程4一、物体受力分析1.选“对象”，画示力图；2.选坐标系，列方程；直线运动——选加速度或运动方向为坐标轴正方向；曲线运动——选切向和法向为两坐标轴正方向；斜面运动——选斜面及其法向为两坐标轴正方向；3.解方程，整理结果；先符号运算，再数字运算；最后对解进行讨论。二、解题方法步骤受力分析与解题方法步骤一、物体受力分析1.选“对象”，画示力图；2.选坐标系，5习1.10(P48)解：一质点在

x

y平面上运动，运动函数为x

=

2t

,y

=

4t2-8。（1）求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求

t1=1s和

t2=2s时质点的位置、速度和加速度。(1)在运动方程中消去t,可得轨道方程为y=x2-8轨道曲线为一抛物线。(2)因故知t=1s时，故知t=2s时，各量单位均为同际单位制单位。yxo(0,-8)(-2.8,0)(2.8,0)习1.10(P48)解：一质点在xy平面上运动6已知质点在xy

平面内运动，运动函数为x

=

Rcos

t，

y=Rsin

t,R和为常量。（1）规道方程rRv故知规道为一半径为R的圆，即质点作圆周运动。例1.1(P22)求：（1）质点的运动规道；任一时刻质点的位矢、速度和加速度。（2）解：（2）位矢其中xyo速度已知质点在xy平面内运动，运动函数为x=Rcos7例1.1(P22)xyorvR（2）位置矢量解：速度加速度加速度的大小例1.1(P22)xyorvR（2）位置矢量解：速8习2.22(P114)在与速率成正比的阻力的影响下，一个质点具有加速度a，其大小为-0.

2

v。求需多长时间才能使质点的速率减小到原来的一半。解：解得故有依题意即注意：（1）v=v0+at——概念错误！（2）t+t0=-5(ln

v+c)——不要用不定积分方法求解。两边积分得=-5lnv=5ln2=

3.47(s)习2.22(P114)在与速率成正比的阻力的影响下9习2.25(P115)直升机每片旋翼长5.97m，旋翼以400r/min的转速旋转时，求其根部所受拉力是其重力的几倍？（旋翼按宽度一定、厚薄均匀的薄片计）解：0Bdrrr设旋翼材料密度为，截面积为S。此质元所受的拉力故旋翼根部所受拉力方向指向根部。解得沿棒长取r轴，在棒上任取dr

距o为r

，故则dr的质量习2.25(P115)直升机每片旋翼长5.9710动量角动量与动量角动量与11（角动量定理角动量守恒定律）一、力矩二、质点的角动量三、角动量定理

或四、角动量守恒定律L=rPsinφ=rmvsinφ动量与角动量oφVmr（积分式）（微分式）当M=0

时L=恒矢量M=Frsinφ（角动量定理角动量守恒定律）一、力矩二、质点的12练习1——运动质点的角动量o1.运动质点的角动量的定义L=rmVVL=rPsinφ=rmvsinφ若一质量为m的小球作圆周运动，若圆周半径为

r

，则当小球速率为V时，其对圆心O的角动量2.rrV——瞬时关系若一质量为m的小球作匀速直线运动，则小球对任一固定点的角动量矢量保持不变。3.oVmmrφ1L=rPsinφ=rmvsinφd——例3.15（P160）=dmVφφ练习1——运动质点的角动量o1.运动质点的角动量的定义L=13习3.25(P174)一质量m

=

2200kg的汽车以v=60km/h的速度沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路d

=

50m的一点的角动量多大？对公路上任一点的角动量多大？L=rPsinφ=rmvsinφoVmrd=dmVφ解：对公路一侧距公路距公路d

=

50m的一点：L=rmvsinφ=50

22006010003600=1.8310(kgm2/s)对公路上的任一点：L=dmV=0习3.25(P174)一质量m=2200kg的汽车以14守恒定律守恒定律15三、机械能守恒定律若

A外+A非保内=0则EP1+Ek1=EP2+Ek2四、能量守恒定律守恒定律一个封闭系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是保持不变的。它只能从一种形式转化为另一种形式，或从系统内的此一物体传给另一物体。（1）明确系统；（2）明确势能零点。注意：一、动量守恒定律则二、角动量守恒定律当M=0

时L=恒矢量三、机械能守恒定律若A外+A非保内=0则EP116——动量守恒与角动量守恒的对比。摆一旦偏离铅直位置，合外力（矩）即不为零!一单摆摆球质量为

M、摆长为

L

，一质量为m的子弹以水平速率

V0

击中摆球并嵌于球中。求球和子弹一起开始运动时的速率。V(M+m)gmV0=(m+M)V分析：碰撞中系统受合外力矩为零，角动量守恒。LmV0=(m+M)L2ωV0LmV0=L(m+M)V或注意：水平分量为零，故水平方向动量守恒。TMoLm碰撞中系统所受合外力的垂直分量不为零，(P170思3.9)例3.4(P139)——动量守恒与角动量守恒的对比。摆一旦偏离铅直位置，合外力（17例5.11（P273）——动量守恒与角动量守恒的对比。杆一旦偏离铅直位置，合外力（矩）即不为零!一质量为M、长为L的木杆悬挂在O点，一粒质量为m的子弹以速率V0

沿水平方向击中杆的下端并嵌于杆中。求嵌入后杆角速度的大小。MgmV0注意：MoLoLmg碰撞中系统受合外力矩合外力在水平方向分量不为零，故系统水平方向动量不守恒！F垂直F水平为零，角动量守恒。——杆可以传递切向力！碰撞中系统所受合外力的水平分量是否为零？分析：例5.11（P273）——动量守恒与角动量守恒的对比。杆一18长为L、质量为M的均匀杆，一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。一质量为m的子弹以水平速度v0

，射入杆的下端并嵌于其中。求杆和子弹开始一起运动时的角速度。例5.11(P273)L解：因子弹射入杆并和杆一起运动所经历的时间极短，故杆的位置基本不变。选子弹和杆为系统，则碰撞过程中解得——系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒。（系统在水平方向动量是否守恒？为什么？）——用角动量守恒长为L、质量为M的均匀杆，一端挂在一个水平光滑轴上而静止19例5.9(P269)R0M一质量为M、半径为R的定滑轮上绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处磨擦，求物体m

由静止下落高度h

时的速度v

和此时滑轮的角速度ω。hω——用机械能守恒定律解例5.6解：取m

初始位置为势能零点，则将

、代入前式整理得：解得：例5.9(P269)R0M一质量为M、半径为R的定滑轮20习5.19(P288)一长为L=

0.40m、质量为M=1.0kg的均匀细杆，上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一质量为m=8.0g的子弹以水平速率v=200m/s射入杆中而不复出。射入点在轴下d=3L/4处。求：（2）求杆的最大偏转角。md（1）子弹停在杆中时杆的角速度；(M)解：（1）子弹击中杆瞬间，相对于悬点O，M+m系统所受合外力矩为0，对O轴角动量守恒。o故有习5.19(P288)一长为L=0.40m、质量为M21习5.19(P288)（2）求杆的最大偏转角。m（1）子弹停在杆中时杆的角速度；M解：（1）o求：=8.89s-1（2）d对M+m+地球系统，=94º18´由机械能守恒定律得习5.19(P288)（2）求杆的最大偏转角。m（1）22转动惯量转动定律与转动惯量转动定律与23已知：解：例5.2(P258)在环上任取一质量元dm(相应长度为dl)如图，则求：均匀圆环质量为m

，半径为R。圆环对垂直于环面的中心轴的转动惯量。Rmod

mdl=m

R2已知：解：例5.2(P258)在环上任取一质量元dm240Bx例5.4(p259)已知：解：沿棒长取x轴，在棒上任取dx距o为x，则dx的质量dxx求：均匀细棒OB质量为

m

，长度为

l。棒对通过端点o并与棒垂直的轴的转动惯量。0Bx例5.4(p259)已知：解：沿棒长取x轴，在棒25例5.4-1(p259)已知：解：沿棒长取x轴，o为原点，在棒上任取dx

距o为x，则dx的质量ABodxxx求：均匀细棒

AB质量为

m，长度为

l。棒对通过中点o并与棒垂直的轴的转动惯量。例5.4-1(p259)已知：解：沿棒长取x轴，o为原26例5.6(P263)R0M一质量为M

半径为R的定滑轮上绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m

的物体而下垂。忽略轴处磨擦，求物体m由静止下落高度h

时的速度hωm和此时滑轮的角速度。 分析：对m：对M：mg–T=maa=R

α对M和m：T1T2mg例5.6(P263)R0M一质量为M半径为R的定滑轮上27例5.6(P263)解：R0MT1T2mghya令T1=T2=T则有分别对M和m作示力图，则（1）T1=T2联立以上三式，解得mg–T=maa=R

α{故已知：M、R、m、h,求：v、ωω例5.6(P263)解：R0MT1T2mghya令T128例5.6(P263)解：R0MT1T2mghya令T1=T2=T则有分别对M和m作示力图，则（1）T1=T2联立以上三式，解得mg–T=maa=R

α{故已知：M、R、m、h,求：v、ωω例5.6(P263)解：R0MT1T2mghya令T129再见再见30质点与

刚

体

力

学主讲：左武魁 （习题课）质点与刚体力学主讲：左武魁 （习题课）31运动方程运动参量与运动方程运动参量与32若运动方程为

一、已知运动方程求运动参量则速度为加速度为——依次求导或或运动方程与运动参量若运动方程为一、已知运动方程求运动参量则速度为加33则速度二、已知及起始条件求运动方程1.变加速运动运动方程2.匀加速运动则速度运动方程或或运动方程与运动参量则速度二、已知及起始条件求运动方程34一、物体受力分析1.选“对象”，画示力图；2.选坐标系，列方程；直线运动——选加速度或运动方向为坐标轴正方向；曲线运动——选切向和法向为两坐标轴正方向；斜面运动——选斜面及其法向为两坐标轴正方向；3.解方程，整理结果；先符号运算，再数字运算；最后对解进行讨论。二、解题方法步骤受力分析与解题方法步骤一、物体受力分析1.选“对象”，画示力图；2.选坐标系，35习1.10(P48)解：一质点在

x

y平面上运动，运动函数为x

=

2t

,y

=

4t2-8。（1）求质点运动的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求

t1=1s和

t2=2s时质点的位置、速度和加速度。(1)在运动方程中消去t,可得轨道方程为y=x2-8轨道曲线为一抛物线。(2)因故知t=1s时，故知t=2s时，各量单位均为同际单位制单位。yxo(0,-8)(-2.8,0)(2.8,0)习1.10(P48)解：一质点在xy平面上运动36已知质点在xy

平面内运动，运动函数为x

=

Rcos

t，

y=Rsin

t,R和为常量。（1）规道方程rRv故知规道为一半径为R的圆，即质点作圆周运动。例1.1(P22)求：（1）质点的运动规道；任一时刻质点的位矢、速度和加速度。（2）解：（2）位矢其中xyo速度已知质点在xy平面内运动，运动函数为x=Rcos37例1.1(P22)xyorvR（2）位置矢量解：速度加速度加速度的大小例1.1(P22)xyorvR（2）位置矢量解：速38习2.22(P114)在与速率成正比的阻力的影响下，一个质点具有加速度a，其大小为-0.

2

v。求需多长时间才能使质点的速率减小到原来的一半。解：解得故有依题意即注意：（1）v=v0+at——概念错误！（2）t+t0=-5(ln

v+c)——不要用不定积分方法求解。两边积分得=-5lnv=5ln2=

3.47(s)习2.22(P114)在与速率成正比的阻力的影响下39习2.25(P115)直升机每片旋翼长5.97m，旋翼以400r/min的转速旋转时，求其根部所受拉力是其重力的几倍？（旋翼按宽度一定、厚薄均匀的薄片计）解：0Bdrrr设旋翼材料密度为，截面积为S。此质元所受的拉力故旋翼根部所受拉力方向指向根部。解得沿棒长取r轴，在棒上任取dr

距o为r

，故则dr的质量习2.25(P115)直升机每片旋翼长5.9740动量角动量与动量角动量与41（角动量定理角动量守恒定律）一、力矩二、质点的角动量三、角动量定理

或四、角动量守恒定律L=rPsinφ=rmvsinφ动量与角动量oφVmr（积分式）（微分式）当M=0

时L=恒矢量M=Frsinφ（角动量定理角动量守恒定律）一、力矩二、质点的42练习1——运动质点的角动量o1.运动质点的角动量的定义L=rmVVL=rPsinφ=rmvsinφ若一质量为m的小球作圆周运动，若圆周半径为

r

，则当小球速率为V时，其对圆心O的角动量2.rrV——瞬时关系若一质量为m的小球作匀速直线运动，则小球对任一固定点的角动量矢量保持不变。3.oVmmrφ1L=rPsinφ=rmvsinφd——例3.15（P160）=dmVφφ练习1——运动质点的角动量o1.运动质点的角动量的定义L=43习3.25(P174)一质量m

=

2200kg的汽车以v=60km/h的速度沿一平直公路开行。求汽车对公路一侧距公路d

=

50m的一点的角动量多大？对公路上任一点的角动量多大？L=rPsinφ=rmvsinφoVmrd=dmVφ解：对公路一侧距公路距公路d

=

50m的一点：L=rmvsinφ=50

22006010003600=1.8310(kgm2/s)对公路上的任一点：L=dmV=0习3.25(P174)一质量m=2200kg的汽车以44守恒定律守恒定律45三、机械能守恒定律若

A外+A非保内=0则EP1+Ek1=EP2+Ek2四、能量守恒定律守恒定律一个封闭系统经历任何变化时，该系统的所有能量的总和是保持不变的。它只能从一种形式转化为另一种形式，或从系统内的此一物体传给另一物体。（1）明确系统；（2）明确势能零点。注意：一、动量守恒定律则二、角动量守恒定律当M=0

时L=恒矢量三、机械能守恒定律若A外+A非保内=0则EP146——动量守恒与角动量守恒的对比。摆一旦偏离铅直位置，合外力（矩）即不为零!一单摆摆球质量为

M、摆长为

L

，一质量为m的子弹以水平速率

V0

击中摆球并嵌于球中。求球和子弹一起开始运动时的速率。V(M+m)gmV0=(m+M)V分析：碰撞中系统受合外力矩为零，角动量守恒。LmV0=(m+M)L2ωV0LmV0=L(m+M)V或注意：水平分量为零，故水平方向动量守恒。TMoLm碰撞中系统所受合外力的垂直分量不为零，(P170思3.9)例3.4(P139)——动量守恒与角动量守恒的对比。摆一旦偏离铅直位置，合外力（47例5.11（P273）——动量守恒与角动量守恒的对比。杆一旦偏离铅直位置，合外力（矩）即不为零!一质量为M、长为L的木杆悬挂在O点，一粒质量为m的子弹以速率V0

沿水平方向击中杆的下端并嵌于杆中。求嵌入后杆角速度的大小。MgmV0注意：MoLoLmg碰撞中系统受合外力矩合外力在水平方向分量不为零，故系统水平方向动量不守恒！F垂直F水平为零，角动量守恒。——杆可以传递切向力！碰撞中系统所受合外力的水平分量是否为零？分析：例5.11（P273）——动量守恒与角动量守恒的对比。杆一48长为L、质量为M的均匀杆，一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置。一质量为m的子弹以水平速度v0

，射入杆的下端并嵌于其中。求杆和子弹开始一起运动时的角速度。例5.11(P273)L解：因子弹射入杆并和杆一起运动所经历的时间极短，故杆的位置基本不变。选子弹和杆为系统，则碰撞过程中解得——系统所受合外力矩为零，系统角动量守恒。（系统在水平方向动量是否守恒？为什么？）——用角动量守恒长为L、质量为M的均匀杆，一端挂在一个水平光滑轴上而静止49例5.9(P269)R0M一质量为M、半径为R的定滑轮上绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处磨擦，求物体m

由静止下落高度h

时的速度v

和此时滑轮的角速度ω。hω——用机械能守恒定律解例5.6解：取m

初始位置为势能零点，则将

、代入前式整理得：解得：例5.9(P269)R0M一质量为M、半径为R的定滑轮50习5.19(P288)一长为L=

0.40m、质量为M=1.0kg的均匀细杆，上端用光滑水平轴吊起而静止下垂。今有一质量为m=8.0g的子弹以水平速率v=200m/s射入杆中而不复出。射入点在轴下d=3L/4处。求：（2）求杆的最大偏转角。md（1）子弹停在杆中时杆的角速度；(M)解：（1）子弹击中杆瞬间，相对于悬点O，M+m系统所受合外力矩为0，对O轴角动量守恒。o故有习5.19(P288)一长为L=0.40m、质量为M51习5.19(P288)（2）求杆的最大偏转角。m（1）子弹停在杆中时杆的角速度；M解：（1）o求：=8.89s-1（2）d对M+m+地球系统，=94º18´由机械能守恒定律得习5.19(P288)（2）求杆的最大偏转角。m（1）52转动惯量转动定律与转动惯量转动定律与53已知：解：例5.2