概率论课件-特征函数

第四章特征函数§4.1一维特征函数的定义及其性质§4.2多维随机变量的特征函数§4.3母函数第四章特征函数§4.1一维特征函数的定义及其性质§4.2§4.1一维特征函数的定义及其性质一、定义及例二、性质三、特征函数与矩的关系四、反演公式及惟一性定理§4.1一维特征函数的定义及其性质一、定义及例二、性质随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征，一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具，既能与分布函数一一对应，但比分布函数具有更好的分析性质。欧拉公式随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征，欧拉公式2.复随机变量的数学期望若复随机变量为其中X,Y均为实随机变量,则Z的数学期望定义为2.复随机变量的数学期望若复随机变量为其中X,Y均一、定义及例定义4.1.1

设X是定义在概率空间上的随机变量,它F

的分布函数为,称的数学期望为X的特征函数.有时也称为分布函数的特征函数,其中记X的特征函数为,在不会引起混乱的情况下简写为1.特征函数的定义一、定义及例定义4.1.1设X是定义在概率空间一、定义及例定义4.1.1

设X是定义在概率空间上的随机变量,它F

的分布函数为,称的数学期望为X的特征函数.有时也称为分布函数的特征函数,其中记X的特征函数为,在不会引起混乱的情况下简写为1.特征函数的定义一、定义及例定义4.1.1设X是定义在概率空间3.特征函数的计算(1)离散型(2)连续型X的特征函数就是x的函数的期望，此时的函数是由X构造出来的复值随机变量的期望。3.特征函数的计算(1)离散型(2)连续型X例4.1.1

设随机变量X服从退化分布,即求X

的特征函数.例4.1.1设随机变量X服从退化分布,即求X的特征函例4.1.2

设随机变量X服从参数为p的0-1分布(两点分布),求其特征函数.例4.1.2设随机变量X服从参数为p的0-1分布(两点例4.1.3

设随机变量X服从参数为n,p的二项分布,求其特征函数.例4.1.3设随机变量X服从参数为n,p的二项分布,例4.1.4

设随机变量X服从参数为的泊松分布,求其特征函数.例4.1.4设随机变量X服从参数为的泊松分布,例4.1.5

设随机变量X服从的均匀分布,求其特征函数.当t=0时，例4.1.5设随机变量X服从的均例4.1.6

设随机变量X服从参数为的指数分布,求其特征函数.例4.1.6设随机变量X服从参数为的指数分布,二、特征函数的性质性质4.1.1

随机变量X的特征函数满足:性质4.1.2

设X

的特征函数为,则的特征函数为二、特征函数的性质性质4.1.1随机变量X的特征函性质4.1.3

随机变量X

的特征函数在R上一致连续.性质4.1.4

随机变量X

的特征函数是非负定的,即对任意正整数n,任意复数,以及有波赫纳-辛钦定理若函数连续,非负定且,则必为特征函数.性质4.1.3随机变量X的特征函数在R三、特征函数与矩的关系定理4.1.1

设随机变量X的n

阶矩存在,则X

的特征函数的k阶导数存在,且三、特征函数与矩的关系定理4.1.1设随机变量X的四、反演公式及唯一性定理定理4.1.2(反演公式)

设随机变量X的分岂有此理函数和特征函数分别为和,则对于的任意连续点和,有若记(4.1.8)则(4.1.8)等价于四、反演公式及唯一性定理定理4.1.2(反演公式)设四、反演公式及唯一性定理(4.1.8)连续点:不连续点:

反演公式四、反演公式及唯一性定理(4.1.8)连续点:不连续推论1(惟一性定理)

分布函数及恒等的充分必要条件为它们的特征函数及恒等.推论2

设随机变量X

的特征函数于R

上绝对可积,则X

为具有密度函数的连续型随机变量,且推论1(惟一性定理)分布函数及例设随机变量X

的特征函数求随机变量X

的密度函数.例设随机变量X的特征函数求随机变量X的密度函数.定理4.1.3

设X

为取整数值及0的随机变量,其概率函数为其特征函数为则定理4.1.3设X为取整数值及0的随机变量,其概率函例设X为只取0到n的整数的离散型随机变量,且其特征函数为求随机变量X

的分布律.例设X为只取0到n的整数的离散型随机变量,且其特征函数为§4.2多维随机变量的特征函数一、定义及例二、二维随机变量特征函数的性质三、相互独立随机变量和的特征函数§4.2多维随机变量的特征函数一、定义及例二、二维随机一、定义及例定义4.2.1

设(X,Y)是一个二维随机变量,其分布函数为为任意实数,记称为的特征函数.连续型:

一、定义及例定义4.2.1设(X,Y)是一个二维随一、定义及例定义4.2.1

设(X,Y)是一个二维随机变量,其分布函数为为任意实数,记称为的特征函数.离散型:

其中一、定义及例定义4.2.1设(X,Y)是一个二维随例4.2.1

设二维随机变量的分布列为求二维随机变量的特征函数．例4.2.1设二维随机变量的分布列为求二维随机变例4.2.2

设二维随机变量求二维随机变量的特征函数．例4.2.2设二维随机变量求二维随机变量的特征n

维随机变量的特征函数:定义设有n维随机变量则称为n

维随机变量的特征函数.n维随机变量的特征函数:定义设有n维随机变量则二、二维随机变量特征函数的性质性质4.2.1设随机变量的特征函数为，则有(1)且对任意(2)(3)于实平面上一致连续；(4)其中分别为Ｘ及Ｙ的特征函数．二、二维随机变量特征函数的性质性质4.2.1设随机变量性质4.2.2

设皆为常数,为二维随机变量,则随机变量的特征函数为例4.2.4设二维随机变量求二维随机变量的特征函数．性质4.2.2设性质4.2.3

两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的特征函数恒等.性质4.2.4

设随机变量的特征函数为为任意常数,则的特征函数为性质4.2.3两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们例4.2.5

设二维随机变量求分布.

例4.2.5设二维随机变量求定理4.2.1

随机变量服从二维正态分布的充分必要条件是X

与Y

的任一线性组合服从一维正态分布.其中a,b,c为任意常数,且a,b不全为0.定理4.2.2

设为二维随机变量,存在,则其特征函数的偏导数存在,且定理4.2.1随机变量服从二维正态例4.2.6

设二维随机变量求分布.

例4.2.6设二维随机变量求三、相互独立随机变量的特征函数定理4.2.3

n

个随机变量相互独立的充分必要条件为的特征函数三、相互独立随机变量的特征函数定理4.2.3n个随则Y的特征函数为推论设为n

个相互独立的随机变量,令则Y的特征函数为推论设例4.2.7

设为n

个相互独立且均服从参数为p

的0-1分布,证明例4.2.8

设X与Y相互独立,且证明:例4.2.7设例4.2.9

设X与Y相互独立,且证明:例4.2.10

设X与Y相互独立,且证明:例4.2.9设X与Y相互独立,且证明:例4.2.第四章特征函数§4.1一维特征函数的定义及其性质§4.2多维随机变量的特征函数§4.3母函数第四章特征函数§4.1一维特征函数的定义及其性质§4.2§4.1一维特征函数的定义及其性质一、定义及例二、性质三、特征函数与矩的关系四、反演公式及惟一性定理§4.1一维特征函数的定义及其性质一、定义及例二、性质随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征，一般并不能通过它来确定随机变量的分布函数。引进一个工具，既能与分布函数一一对应，但比分布函数具有更好的分析性质。欧拉公式随机变量的数字特征只反映随机变量取值某些方面的特征，欧拉公式2.复随机变量的数学期望若复随机变量为其中X,Y均为实随机变量,则Z的数学期望定义为2.复随机变量的数学期望若复随机变量为其中X,Y均一、定义及例定义4.1.1

设X是定义在概率空间上的随机变量,它F

的分布函数为,称的数学期望为X的特征函数.有时也称为分布函数的特征函数,其中记X的特征函数为,在不会引起混乱的情况下简写为1.特征函数的定义一、定义及例定义4.1.1设X是定义在概率空间一、定义及例定义4.1.1

设X是定义在概率空间上的随机变量,它F

的分布函数为,称的数学期望为X的特征函数.有时也称为分布函数的特征函数,其中记X的特征函数为,在不会引起混乱的情况下简写为1.特征函数的定义一、定义及例定义4.1.1设X是定义在概率空间3.特征函数的计算(1)离散型(2)连续型X的特征函数就是x的函数的期望，此时的函数是由X构造出来的复值随机变量的期望。3.特征函数的计算(1)离散型(2)连续型X例4.1.1

设随机变量X服从退化分布,即求X

的特征函数.例4.1.1设随机变量X服从退化分布,即求X的特征函例4.1.2

设随机变量X服从参数为p的0-1分布(两点分布),求其特征函数.例4.1.2设随机变量X服从参数为p的0-1分布(两点例4.1.3

设随机变量X服从参数为n,p的二项分布,求其特征函数.例4.1.3设随机变量X服从参数为n,p的二项分布,例4.1.4

设随机变量X服从参数为的泊松分布,求其特征函数.例4.1.4设随机变量X服从参数为的泊松分布,例4.1.5

设随机变量X服从的均匀分布,求其特征函数.当t=0时，例4.1.5设随机变量X服从的均例4.1.6

设随机变量X服从参数为的指数分布,求其特征函数.例4.1.6设随机变量X服从参数为的指数分布,二、特征函数的性质性质4.1.1

随机变量X的特征函数满足:性质4.1.2

设X

的特征函数为,则的特征函数为二、特征函数的性质性质4.1.1随机变量X的特征函性质4.1.3

随机变量X

的特征函数在R上一致连续.性质4.1.4

随机变量X

的特征函数是非负定的,即对任意正整数n,任意复数,以及有波赫纳-辛钦定理若函数连续,非负定且,则必为特征函数.性质4.1.3随机变量X的特征函数在R三、特征函数与矩的关系定理4.1.1

设随机变量X的n

阶矩存在,则X

的特征函数的k阶导数存在,且三、特征函数与矩的关系定理4.1.1设随机变量X的四、反演公式及唯一性定理定理4.1.2(反演公式)

设随机变量X的分岂有此理函数和特征函数分别为和,则对于的任意连续点和,有若记(4.1.8)则(4.1.8)等价于四、反演公式及唯一性定理定理4.1.2(反演公式)设四、反演公式及唯一性定理(4.1.8)连续点:不连续点:

反演公式四、反演公式及唯一性定理(4.1.8)连续点:不连续推论1(惟一性定理)

分布函数及恒等的充分必要条件为它们的特征函数及恒等.推论2

设随机变量X

的特征函数于R

上绝对可积,则X

为具有密度函数的连续型随机变量,且推论1(惟一性定理)分布函数及例设随机变量X

的特征函数求随机变量X

的密度函数.例设随机变量X的特征函数求随机变量X的密度函数.定理4.1.3

设X

为取整数值及0的随机变量,其概率函数为其特征函数为则定理4.1.3设X为取整数值及0的随机变量,其概率函例设X为只取0到n的整数的离散型随机变量,且其特征函数为求随机变量X

的分布律.例设X为只取0到n的整数的离散型随机变量,且其特征函数为§4.2多维随机变量的特征函数一、定义及例二、二维随机变量特征函数的性质三、相互独立随机变量和的特征函数§4.2多维随机变量的特征函数一、定义及例二、二维随机一、定义及例定义4.2.1

设(X,Y)是一个二维随机变量,其分布函数为为任意实数,记称为的特征函数.连续型:

一、定义及例定义4.2.1设(X,Y)是一个二维随一、定义及例定义4.2.1

设(X,Y)是一个二维随机变量,其分布函数为为任意实数,记称为的特征函数.离散型:

其中一、定义及例定义4.2.1设(X,Y)是一个二维随例4.2.1

设二维随机变量的分布列为求二维随机变量的特征函数．例4.2.1设二维随机变量的分布列为求二维随机变例4.2.2

设二维随机变量求二维随机变量的特征函数．例4.2.2设二维随机变量求二维随机变量的特征n

维随机变量的特征函数:定义设有n维随机变量则称为n

维随机变量的特征函数.n维随机变量的特征函数:定义设有n维随机变量则二、二维随机变量特征函数的性质性质4.2.1设随机变量的特征函数为，则有(1)且对任意(2)(3)于实平面上一致连续；(4)其中分别为Ｘ及Ｙ的特征函数．二、二维随机变量特征函数的性质性质4.2.1设随机变量性质4.2.2

设皆为常数,为二维随机变量,则随机变量的特征函数为例4.2.4设二维随机变量求二维随机变量的特征函数．性质4.2.2设性质4.2.3

两个二元分布函数恒相等的充分必要条件是它们的特征函数恒等.性质4.2.4

设随机变量的特征函数为为任