备战2023年重庆数学中考二轮复习知识点10解直角三角形（解析版）

精练10-解直角三角形I.如图，某辆自行车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方8处在平行于地面的水平线上，测得AB=54cm,AC,BC与A8的夹角分别为45°与60°.（1）求点C到A8的距离（结果保留一位小数）.（参考数据：&F.4,诋=1.7）作 于点 则/CMA=NCMB=90°,（2）若点C到地面的距离CD为30cvn,坐垫中轴E与点B的距离BE为4cm（坐垫E可按轴线BC上下伸缩调节）.茜茜根据自己身高比例，坐垫E（参考数据：&F.4,诋=1.7）作 于点 则/CMA=NCMB=90°,D 【解答】解：过点C'：ZCAM=45",ZCfiA/=60°,：.AM=CM,BM=―—,tan60"\"AB=54(cm),CM+―—=54,tan60°.,.点C到AB的距离为35.1.,.点C到AB的距离为35.1cm；D•.•坐垫E到地面的距离为70cm时，乘坐该自行车最舒适,

...点E到AB的距离为70-30-35.1=4.9(cm),过点E作硒于点N,贝l]EN=4.9(cm),NENB=9Q°,•:NEBN=NCBM=60°,：.BE=——•弋5.8(cm)sin60°V3_2■:原BE为4cm,，需将BE调长5.8-4=1.8(cm).2.某小区拟建设地下停车库入口，将原步行楼梯入口AC改造为斜坡AO.已知入口高A8=3m,坡面AC的坡度i=l：I,新坡面坡角NAOB=30°.(1)求斜坡底部增加的长度CO为多少米？(保留根号)(2)入口处水平线AE=5m,地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌EF,EF1.BD,EF=Q.5m.若一辆高度为2米的货车沿斜坡AO驶入车库，行进中是否会碰到广告牌的下端尸？请说明理由.(参考数据：加F.4,73^1.7)【解答】解：⑴I•坡面AC的坡度i=l：1,：.AB：BC=l：1,：.BC=AB=3m,ZADB=30°,...tan/AO8=_^=tan30°=返，BD 3:.BD=MAB=3Mm),：.CD=BD-BC=(373-3)(zn),答：斜坡底部增加的长度CO为(3百-3)米：(2)若一辆高度为2米的货车沿斜坡AO驶入车库，行进中不会碰到广告牌的下端凡理由如下：如图，延长EF交AO于G,过F作FHJ_A。于H,由题意得：NAEG=90°,AE//BD,：.ZEAG=ZADB=30a,

VtanZEAG=^-=tan30° AE=5m,TOC\o"1-5"\h\zAE 3.•.EG=V^.AE=.W^(w),3 3\o"CurrentDocument"：.FG=EG-EF=^H--0.5=(5VS--A)(m),3 3 2在RtAFGH中，NFGH=90°-NE4G=90°-30°=60°,sinZFGH=l^-=sin60°=近，FG 2:.FH='J^-FG=^-X(SV3___1)=立-近-2.075(/n)>2m,2 2 3 2 2 4••若一辆高度为2米的货车沿斜坡AD驶入车库，行进中不会碰到广告牌的下端F.3.如图，在同一剖面内，小明在点4处用测角仪测得居民楼的顶端厂的仰角为27°,他水平向右前进了30米来到斜坡的坡脚B处,沿着斜坡BC上行25米到达C点，用测角仪测得点尸的仰角为54°,然后，水平向右前进一段路程来到了居民楼的楼底E处，若斜坡BC的坡度为3：4,请你求出居民楼的高度.（测角仪的高度忽略不计，计算结果精确到01米.）参考数据：sin27--0.45,tan27°七0.51,sin54°心0.81,tan54°-1.38)AO于点G,AO于点G,。于点H,居民楼1【解答】解：如图，过点C作CG_L得矩形CGHE,:.CE=GH,CG=EH,在RtZ\BCG中，BC=25米，CG：BG=3：4,...CG=EH=15米，8G=20米,A B GH0在rsfh中，AH=AB+BC+GH=3O+2O+G〃=50+CE,VZMG=27",，FH=A”・tan27°,：.EF+\5^(50+CE)X0.51,在RtZSFCE中，；NFCE=54°,.,.EF=CEXtan54°=1.38CE,...L38CE+152(50+C£)X0.51,解得ce=12区L,87.,•EA1.38CEF6.7(米)，居民楼EF的高度约为16.7米.4.如图，在某海域内有一小岛P,在以P为圆心，半径r为6&海里的圆形海域内有暗礁，一轮船自东向西航行，它在A处测得小岛尸位于北偏西45°的方向上，当这艘轮船行驶4海里后到达8地，此时观测小岛P位于B地北偏西30°的方向上.(1)求A、P之间的距离；(结果精确到0.1海里，参考数据：我F.41,76^2.45)(2)该轮船由B地继续向西行驶(473-4)海里到达C地，此时观测小岛P位于C地北偏西15°的方向上，同时接到总部通知，由于突发状况，该轮船必须驶离东西航线并沿北偏西某航向行驶，那么该轮船由C处开始沿北偏西至少多少度的方向航行才能避开小岛P周围的暗礁安全通过这一海域？西NB40=45°,AB=4海里，设尸O=x海里，则4O=x海里，：.BD=AD-AB=(x-4)海里,在RtZXPB。中，VBD=PDtan30°,-4=&x,3：.x=2(3+V3),:.PA=«1PD=Mx=*^+2F}%13.4(海里)，答：A,P之间的距离约为13.4海里；(2)因为r-PD=6如-2(3+百)=6&-6-2百--1V0,所以无触礁的危险；设轮船无触礁危险的新航线为射线CH,作PELCH,垂足为E,当P到CH的距离PE=S历海里时，有sin/PCE=Fl,PC设C£)=y海里，TBC=(45/3-4)海里，

在RtZ\P8O中，PD=2(3+V3)海里，ZBPD=30°,：.BD=PDtan30°,.,.v+4a/3-4=2(3+V3)X近,3解得y=6-2a，：.CD=(6-2V3)海里，•••pc=VpD2+DC2=7(6+2V3)2+(6-2>/3)2=4^，.•.sinNPC£=f5_=^^=近，PC4V62/.ZPCE=60°,，60°+15°=75°,...该轮船由C处开始沿北偏西至少75度的方向航行才能避开小岛P周围的暗礁安全通过这一海域.5.如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在A处测得小岛C在北偏东70°方向，2小时后渔船到达B处，测得小岛C在北偏东45°方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁.（参考数据：sin70°-0.94,cos70°*0.34,tan70°—2.75,（1）求8处距离小岛C的距离（精确到0.1海里）：（2）为安全起见，渔船在8处向东偏南转了25°继续航行，通过计算说明船是否安全？（1）如图，过点（1）如图，过点C作CNL4。于M,CN_LBE于N,由题意得，NCAO=90°-70°=20°,ZCBD=90°-45°=45°,AB=14X2=28海里，■:NCBD=45°,在Rt/XCAM中，VtanZACA/=M,CM

•,.tan70°=28+CMtCM解得CM^\6,在RtABCA/中，BC=yf^CM=16如%22.6（海里），答：8处距离小岛C的距离约为22.6海里；（2）在RtZXBCN中，ZCBN=45°+25°=70°,BC=16&海里,；.CN=BC,sinNCBN165/2X0.94-21.2（海里），•,-21.2>20,二能安全通过，答：能安全通过.首钢滑雪大跳台是世界上首个永久性的单板大跳台,首钢滑雪大跳台是世界上首个永久性的单板大跳台,其优美的造型，独特的设计给全球观众留下深刻的印象，大跳台场地分为助滑区、起跳台、着陆坡和终点区域4个都分，现将大跳台抽象成如图的简图，尸C表示运送运动员上跳台的自动扶梯，C。表示助滑区，口△£>£：//表示起跳台，E8表示着陆坡.已知NC初=60°,ZEBF=30°,在助滑区。处观察到顶点C处的仰角是30°,且自动扶梯的速度是2mk,运送运动员到达跳台顶端C点处需要30秒，BE=24m,DE//BF,CA、（1）（1）求大跳台AC的高度是多少米（结果精确到0.1团）(2)首钢滑雪大跳台主体结构采用装配式钢结构体系和预制构件，“助滑区”和“着陆坡”赛道面宽35米，面板采用10mm耐候钢，密度为7850依/万),求铺装“助滑区”和“着陆坡”赛道的耐候钢总重量是多少吨(结果精确到1吨).(V2^L41,遥=1.73)【解答】解：(1)根据题意可知：AC=2X30=60(w),答：大跳台AC的高度是60米；(2)如图，过点。作。MLC4于点M,得矩形AMDG,矩形。得矩形AMDG,矩形。GNE,在RtAACF中，CF=60m,乙CFA=60°,.,.4C=CF,sin60Q=60X叵=30如(m),2在RtZXEBN中，NEBN=3Q°,BE=24m,：.EN=l-BE=\2m,2：.AM=DG=EN=12m,：.CM^AC-AM=(3(h/3-12)m,'：DE//BF,...NC£)M=NE=30°,：.CD=2CM=2(30百-12)=60百-24七79.8m，；.耐候钢的体积=79.8*35义10一2+24X35X1(/2=36.33(m3),二耐候钢总重量=36.33X7850七285190(吨).答：赛道的耐候钢总重量约为285190吨.7.5G时代，万物互联.互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，助力数字经济发展，共建智慧生活.网络公司在改造时，把某一5G信号发射塔MN建在了山坡BC的平台CD上，已知山坡BC的坡度为1：2.4.眼睛距地面1.6米的小明站在A处测得塔顶M的仰角是37°.向前步行6米到达8处，再延斜坡8c步行6.5米至平台点C处，测得塔顶M的仰角是50°.若A.B、C、£)、M、N在同一平面内，且A、B和C、D、

N分别在同一水平线上.（1）求平台CO距离地面的高度；（2）求发射塔MN的高度.（结果精确到0.1米.参考数据：sin37°^0.6,cos37°”0.8,tan37°弋0.75,sin50°g0.77,cos50°^0.64,tan50"弋1.20）【解答】（【解答】（1）解：如图，过点Q作于尸，过点尸作于尸，过点尸作FEJ_MN于E,•山坡BC的坡度为1：2.4,BC=6.5米,设CG=x,则8G=2.4x,二/+(2.4x)2=6.52,解得x=皂，2:.CG=HN==米,8G=6米，2(2)解：；CG=〃N=5米，BG=6米，2：.AG=12米，由题意知NMQ尸=37°,ZMFE=50°,设E尸=a米，则PQ=4〃=(a+12)(米)，Vtan500=鸣”20,EF••ME='1.2。,

Vtan37°=亚=0.75,PQ：.MP=3.（a+12）,4ME+EN+NH=MP+PH,二1.2。+1.6+&=3（a+2）+1.6,24解得4=期米，9，MN=1.2a+1.6-18.9（米）.8.如图，为了测量陶行知纪念馆A8的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD,测得纪念馆顶端A点的仰角NAOE=51°,然后他沿着坡度i=l：2.4的斜坡b走了6.5米到达点凡再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点正(结果精确到0.1,参考数据：sin51°-0.78,cos51°-0.63,ta据1°-1.23)(1)求点。到纪念馆AB的水平距离；(2)求纪念馆AB的高度约为多少米？C【解答】解：(1)延长AB交水平线于点M,过下作FN_LCM于N,延长OE交AM于〃，则四边形HMCO为矩形，.•.〃M=CO=1.5米，DH=CM,•斜坡CF的坡度i=l：2.4,•FN_1••—>CN2.4:.CN=2AFN,VCF=6.5米，:.BM=FN=25（米），CN=6（米），尸=4米，

：.DH=CM=6+4=\0（米），答：点D到纪念馆AB的水平距离为10米;（2）在 中，DH则AH=OH・tan/4OE=10Xtan51°*12.3（米），：.AB=AM-：.AB=AM-BM=AH+HM-BA/=12.3+1.5-2.5««11.3（米），但因冬奥燃起的冰雪消费热潮仍在持续中国滑雪场、冰雪产业正在逐步形成.如图，是某度假村兴建的专业滑雪场地，小南在观景台A处向前走15米到达观景点B处，测得滑雪场顶端E的仰角为22°,沿着坡度为1：2.4的斜坡走了26米到达坡底C处，然后往前走93米到达滑雪场底端。处.A、B、C、。、E、M、N在同一平面内，EDLMD,BN1.MD,AMLMD,AB//MD.（参考数据：sin220-0.37,cos22°弋0.93,tan22°40.40）（1）求观景台4处到坡底C的水平距离CM；（2）求滑雪场顶端E到C£＞的距离EO的长（结果精确到1米）.交OE于交OE于F,【解答】解：（1）延长ABVEDIA/D,BN上MD,AM1MD,AB//MD,.".AM//BN//FD,BFA.EF,，四边形AMNB和四边形BNDF是平行四边形,/.°AMNB和□BNDF是矩形,在RtZ\BCN中，典=_A_,BC=26,B»+C*=Bd,CN2.4设BN=x,CN=2.4x,：.x1+(2.4x)2=262,解得：x=10,工BN=10,CN=24,•..四边形AMNB是矩形，4B=15,：.MN=AB=15,：.CM=MN+CN=15+24=39(米)，答：观景台A处到坡底C的水平距离CM为39米；(2)•.•四边形BN£＞尸是矩形，BN=10,C£)=93,CN=24,；.FD=BN=IO,BF=DN=CN+CD=24+93=117,在RtZ\BEF中，tan/EBF=EE.=tan22°,BF：.EF=BF'tan22°:^117X0.40=46.8,：.ED=EF+FD=56.S^51(米).答：滑雪场顶端E到CD的距离ED的长约为57F.10.如图，梯形ABC。是一个拦河坝的截面图，坝高5米，背水坡40的坡度为1：1.2.为了提高河坝抗洪能力，防汛指挥部决定加固河坝，若坝顶CO加宽1米，新的背水坡E尸的坡角a为30°,河坝总长400米.（1）求大坝底端A尸需加宽多少米？（精确到0.1米，参考数据：百“1.73,&41.41）（2）某工程队每天加固150立方米，工程队能否在30天内完成河坝加固？（体积=底面积X高）则四边形E//GQ为矩形，：.HG=ED=\米，•.•坡AO的坡度为1：1.2,0G=5米，•,.AG=5X1.2=6米，：.AH=AG-GH=6-1=5（米），在RtZXEFH中，ZF=30°,.•.FH=_^L=-^-=5百心8.65（米），tanFV3_3C.AF^FH-AH=S.65-5=3.65^3.7（米），答：大坝底端AF需加宽约为3.7米：（2）需加固的土方量为：lx（1+3.7）X5X400=4700（立方米），2工程队每天加固150立方米，工程队30天内完成的土方量为：150X30=4500（立方米），V4500<4700,工程队不能在30天内完成河坝加固，是安装热水器的侧面示意图.已知屋面AE的倾斜角NE4O为22°,长为3米的真空管A8与水平线AO的夹角为37°,安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米.（1）真空管上端8到水平线A。的距离.（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）.（参考数据：sin37°生巨，cos37°tan37°gS,sin22°*旦，cos22°七至，5 5 4 8 16

tan22°40.4）图1tan22°40.4）图1图2【解答】解：（1）过B作BFLAD于F.在RtZ\ABF中，sin/BAF=典，AB则BF=ABsin/BAF=3sin37°-3xS=1.8（米）5答：真空管上端8到AO的距离约为1.8米；（2）在Rlz^AB尸中，cos/84F=空，AB贝I]AF=ABcosNB4F=3Xcos37°七2.25（米），'：BFLAD,CDLAD,BC//FD,二四边形8尸DC是矩形.：.BF=CD,BC=FD,VEC=0.5米，：.DE=CD-CE=1.3米，在RtZXEA。中，AD则AO=——55——&Jj_1=3.25（米），tanZEAD0.4：.BC=DF^AD-AF=3.25-2.25«=1.0（米）,答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为1.0米.99°图2 12.如图所示，已知BC是水平面，AB.AD.CD是斜坡.AB的坡角为42°,坡长为200米，A。的坡角为60