博师教育2023届高三上学期第一次考试数学理科试题

博师教育2023届高三上学期第一次考试数学理科试题学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知集合人={4x2-2x-3<0},8={y|24y44},则4口8=( )A.0 B.(2,41C.[2,3) D.(3,4].已知i为虚数单位，若??(，”eR)是实数，则|m+2i|=()A.2 B.-2 C.V5 D.->/5.已知q,e2是单位向量，a=et-2e2.b=3e[+e^,若£_l坂，则q,e2的夹角的余弦值为()D.B.P(A)+P(B)<1D.D.B.P(A)+P(B)<1D.P(4)+P(B)>15 2.若A,8为互斥事件，则A.尸(A)+P(8)<1C.P(A)+P(8)=15.已知命题P：5.已知命题P：*)eR,3siru;)+4cosa;)=4\/2,命题g:VxeR.已 ,则下列命题中为真命题的是（）a.p^qD.TP").定义在R上的函数满足：①f(O)=O,②f(x)+f(l-x)=l,③/g卜;/(x)且04为4&41时，/(^)</(^),则/(；)+/]£!等于.已知三棱柱ABC-A4G的6个顶点全部在球。的表面上，AB=AC,N8AC=120。，三棱柱ABC-A4C的侧面积为8+46,则球。表面积的最小值是()A.4万()A.4万B.164D.321~T~.某学校开展劳动实习，将两名男生和两名女生分配到两个农场，每个农场需要两人，则两名女生被分配到不同农场的概率为（.以Qr为始边作钝角a,角a的终边与单位圆交于点尸（士,%）,将角a的终边顺时yr针旋转2得到角夕.角夕的终边与单位圆相交于点。（今,必），则％-X的取值范围为（）.古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（%>0且kwl）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点A（-1,O）,8（2,0）,圆C:（x-2）2+（y-/n）2= 在圆上存在点尸满足TOC\o"1-5"\h\z|/利=20网，则实数机的取值范围是（ ）11.已知函数/（x）=V-W+2x+l,则曲线y=〃x）过坐标原点的切线方程为（）A.y=x B.y=2x C.y=3x D.y=4x2 212.已知双曲线C:[-1=l（a>0力>0）的左、右焦点分别为g,尸2,过抵的直线CTh"与C的左支相交于P,Q两点，若4/•而+3匝•转l=0,NQK鸟+NQP6=180。，则双曲线C的离心率为（ ）9 7A.- B.- C.y/2 D.5/3二、填空题.若函数/（x）=〃re'-x2+2x（，〃<0）在（0,1）上有极值点，则机的取值范围为.已知/（X）的定义域为R,若函数满足/（%）=%，则称与为f（x）的一个不动点，有下列结论：①/(x)=2x-3的不动点是3；②/&)=，存在不动点；③若函数f(x)为奇函数，则其存在奇数个不动点；若f(x)为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若f(x)为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若f(x)存在不动点，则f(7(x))也存在不动点，以上结论正确的序号是..已知点A(-2,0),P为圆(x-2)2+V=4上的动点，则线段AP中点的轨迹方程为.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底8在同一水平面内的两个观测点C与O.现测得/BCD=75。，4QC=60。，CD=loV2m，并在点C测得塔顶A的仰角夕为3伊，则塔高AB为m.三、解答题.已知等差数列｛4｝的前"项和为S"，4=4,S3=6.⑴求数列｛4｝的通项公式；(2)保持数列｛4｝中各项先后顺序不变，在q与4T(k=l,2,...)之间插入》个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列｛〃,｝,记色｝的前〃项和为7.，求q22的值..某公司加班加点生产口罩，防护服，消毒水等防疫物品.在加大生产的同时，该公司狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个,将其质量指标值分成以下六组：[40,50),[50,60),[60,70) [90,100],得到如下频率分布直方图.

(2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数和中位数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01)..如图，在四棱锥尸一ABCD中，底面A8CD为正方形，且侧棱办_1_底面A8C3,必=240=4.E,F,H分别是B4,PD,4B的中点，点G在线段PO上，且PGPD!\PGPD!\(1)当儿=之时，证明：G”〃平面BEE(2)当三棱锥F—EG”的体积为，时，求2的值.2 220.已知"，鸟分别是椭圆C:二+与=l(a>b>0)的左、右焦点，点尸一尸2在直线a~b"/:y="+机的同侧，且点F1,尸2到直线/的距离分别为4,d2.2 2(1)若椭圆C的方程为卷+q=l,直线/的方程为y=x-Ji?,求4•4的值，并判断直线/与椭圆C的公共点的个数：(2)若直线/与椭圆C有两个公共点，试求4•4所需要满足的条件；(3)结合(1)和(2),试写出一个能判断直线/与椭圆C有公共点的充要条件(不需要证明)..已知函数/(x)=2e*+or-l.(1)讨论函数/(x)的单调性；⑵当a=3时，设函数g(x)=/(x)+xJx2,若斗+々20,求证：g(±)+g(w)22..在极坐标系中，曲线的极坐标方程为20cos［。+2)+1=0,以极点为坐标原Y—0COSCt点，极轴为X轴正半轴，建立直角坐标系，曲线G的参数方程为r-\(a为y=，3sina参数).(1)写出G的直角坐标方程和Q的普通方程；,、11(2)已知点P(0,l),G与G相交于A、B两点，求两-丽的值•.已知关于x的不等式|》-1|-|》+2闫山+2|有解.(1)求实数，〃的取值范围；(2)设M是m的最大值,若a>l,b>\,ol>且(a-l)(b-l)(c-l)=M,求证:abc>8.参考答案：C【分析】解不等式求得集合A,由此求得ACIB.【详解】x2-2x-3=(x-3)(x+l)<0,所以A={x|-l<x<3},所以AIB=[2,3).故选：CC【分析】先对复数兽(meR)化简，然后由其为实数可求出用，从而可求出|%+2i|■aaa■l+mi(l+〃?i)(l+i)l-ml+/n.【详解】/,♦、“•、l-i + 2 2+tr>i 1-I-m因为兽是实数，所以一=0,解得m=-l,l-i 2所以加+2i|=|-l+2i|=«.故选：CD【分析】根据平面向量数量积的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.【详解】由题意知同=同=1，• /• *\/c・ ■*\ ・2 •2 •ab=\ex—2e21-(+e21=0=>3e)-2e2-5et-e2=0,——.) /—.―A即e「e2=g,所以cos(q仁)=《.故选：D.B【详解】因为A,B互斥，但A,B不一定对立，所以P(A)+P(8)41B【分析】判断出命题PM的真假后结合复合命题真假判断原则可得正确的选项.【详解】对于命题。，因为3sinx+4cosx=5sin(x+。)，其中tans=§,而5sin(x+3)45<4/，故3sinx+4cosx=4&无解，故命题。为假命题.对于命题夕，因为对任意xeR,总有j=1,故命题《为真命题.故,p八q、pvf、r(pvq)均为假命题，-1PAq为真命题，故选：B.B【分析】将x=0代入〃x)+/(l-x)=l求得/■⑴，根据=求得了(：}分

别令x=;和T求得吗卜呜）=?由呜＞《卜也）可求得《上进而得到结果.【详解】由"x)+/(l-x)=l得：/(0)+/(1)=1,又/(0)=0 =1由哈卜Y（x）得一扑？⑴弓故选8故选8【点睛】本题考查根据抽象函数的性质求解函数值的问题；解决此类问题通常采用特殊值的方式，代入已知关系式中，采用构造的方式，通过自变量的关系求得具体的函数值.B【分析】设三棱柱ABC-ABG的高为人，AB^AC=a,根据题意得出M=4,设△ABC的外接圆半径为「、球。的半径为R,根据勾股定理得出炉的表达式，结合基本不等式即可得出结果.【详解】设三棱柱48C-ABC的高为〃，AB=4C=a.因为N8AC=120°,所以BC=Ca,则该三棱柱的侧面积为（2+6）"=8+46，故必=4.设aABC设aABC的外接圆半径为则“2sin2c设球。的半径为H,则於“+⑶-=/+々=当+久24（当且仅当人=20时，等号成V2） 4"4立），故球。的表面积为4万R22167r.故选：BA【分析】由分组分配的方法可确定总体的分配方法数和女生分配到不同农场的方法数，根据古典概型概率公式可求得结果.

【详解】将两名男生和两名女生分配到两个农场，每个农场需要两人，共有C；=6种分配方法；其中两名女生被分配到不同农场的情况有=4种；.•・所求概率片评.o3故选：A.D【解析】根据三角函数的定义得占=cosa,ae[],T),x2=cos^a-y^,进而得=cos(a-q)-cosa,再结合三角恒等变换和三角函数的性质得当-% .【详解】解：根据三角函数的定义得％=cosa,a由于角a的终边顺时针旋转?得到角夕，故夕=a-?,所以W=cos,=cosa——，所以£-X=COS-cosa=—sincr——cosa所以£-X=COSa 因为呵]4所以呜4故选：D.a 【点睛】本题考查三角恒等变换，三角函数的定义，是中档题.D【分析】设p(x,y),根据|网=2归网求出点尸的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解.【详解】设P(x,y),因为点4(-L0),8(2,0),|R4|=2|PB|,所以J(x+l)，y2=2^(x-2)2+y2EPx2+/-6x+5=0,所以(x-3)2+9=4,可得圆心(3,0),半径R=2,由圆(7:(*-2)2+(>-机)2=；可得圆心0(2即)，半径r=g,因为在圆C上存在点尸满足|川=2|「耳，

所以圆(x-3)2+V=4与圆C:(x-2)2+(y-⑹2=；有公共点，所以2—gwJ(3-2『+%242+g,整理可得：^<l+/n2<y,解得：@4加4立1,2 2所以实数机的取值范围是冬浮,故选：D.C【分析】设切点为(，/-/+2.+1),利用导数写出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出r的值，即可得出所求切线的方程.【详解】设切点为(r——『+2r+l),r(x)=3/-2x+2,则切线斜率为r⑺=3+2,所以，所求切线方程为y-(/"+2z+l)=(3/-2/+2乂》一)，将原点坐标代入所求切线方程可得2/-*_1=0,即”-1乂2/+，+1)=0,解得/=1,因此，所求切线方程为y=3x.故选：C.A【分析】根据题意和平面向量数量积的定义与双曲线的定义可得归用=内图=2〜QQ QO= \QF2\=^c-ja,利用余弦定理求出COSNEPK'COSNQEG结合N6P6+NQ6K=18O°整理计算即可.【详解】如图，由N^PK+NQ耳g=180°,/尸耳鸟+/。耳鸟=180°,得cos/月尸鸟+cosNQ写入=0,

所以|「闻=|耳闾=2c,由双曲线的定义，得|p闾-阀|=北，|弧|一|。制=幼,有I叫=2c-2a,又4加而+3松而=0,则4|号制号同cosNP/工=3|西|用cosNP/工,所以4斤卜3|阿，得3|=/叫=3_1，所以四=2a+2m|。，在和△仔;g中，由余弦定理，得“产,=!"日".上理工(小2a产+府”2|尸耳||耳玛| 2(2c-2a)x2ccosNQFR=叱|2+|斗||cosNQFR=叱|2+|斗||2_|。吠f2|。耳|玛玛|(2c-2a)2+4c2-4c2r'2(2c-2a)x2c9整理，得7c2一16碇+9片=0,解得cp或c=a(舍去),oc9所以双曲线的离心率为e=£=J.a7故选：A.(-2,0)【解析】由函数/(x)=ge'-x2+2x(/n<0)在(0,1)上有极值点，可得/'(x)=%e，-2x+2(m<0)在(01)上有零点，再利用零点存在性定理列不等式求解即可.【详解】因为/'(x)=zn,e*-x?+2x(,W<0),所以/'(x)=/n,e*-2x+2(m<0),因为函数/(x)=%•e*-x)+2x(m<0)在(0,D上有极值点，所以/'(x)=/n-e*-2x+2(m<0)在(0,1)上有零点，因为丫=%，(％<0),>=-2彳+2在(0,1)上都递减，[f(0)=/n+2>0所以【，,、A，解得一2Vm<0.[/(1)=me<0故答案为：(-2,0).①⑤【分析】①直接求解即可判断；②利用导数证e，>x;③④取特殊函数〃x)=l进行判断：⑤根据定义可得：〃/(%))=/(%)=%.【详解】①，(x)=2x-35ljx=3,①正确：②构建g(x)=e*-x贝!|g'(x)=e*-l令g，(x)>0则x>0，g(x)在(y,0)上递减，在(0,+8)上递增，则g(x)2g(0)=l>0e*>x即/(x)=e，不存在不动点，②不正确：③f(x)=l为偶函数，显然f(x)只有一个不动点；③不正确；(f(x)=x为奇函数，显然f(x)有无数个不动点)④八幻=1为周期函数，显然f(x)只有一个不动点；④不正确；⑤若f(x)存在不动点，设为％,即•••/(/(%))=/(%)=%，则A/。))也存在不动点，⑤正确.故答案为：①⑤.15.》2+y2=i【分析】设所求点为M(x,y),尸(X。,几)，将点P的坐标代入已知圆的方程得至M/-2y+y：=4,然后通过中点坐标公式求出与,外,进而代入(毛-2)2+尤=4,化简即可得到答案.【详解】设AP的中点为M(x,y),夕(知几)，所以(％-2)2+乂=4,而_/一2x= ((-2(+2, ；n/；]=；v，所以(2x+2-2)2+(2y)2=4nf+y2=i,即4P中点的轨迹方程为：x2+y2=1.故答案为：/+丁=1.10【分析】在△BCD中，求得NC8£>=45',由正弦定理得到BC=loG,再在直角RTaABC中，得到AB=5Ctan/ABC,即可求解.【详解】在△BCD中，因为ZBCD=75。,ZBDC=60°,可得ZCBD=180-75-60=45”，由正弦定理，可得BcJO&sin.foG，sin45°在直角RSABC中，可得AB=BCtan乙ABC=10x/3x—=10.3即塔高AB为10(m).故答案为：10.(l)a„=n(neN")(2)2067【分析】(1)利用等差数列通项公式和前〃项和的基本量进行运算即可.(2)由题意计算出4在｛2｝中对应的项数，然后利用分组求和即可.设｛4｝的公差为d,由已知得q+3d=4,3q+3d=6.解得q=l,d=l.所以a“因为4与4*i(&=1,2,...)之间插入2”个1，所以4在｛仇｝中对应的项数为〃=&+2、22+23+…+2*t=&+^——=2k+k-2,当％=10时，2*+Jt-2=2'°+10-2=1032<2022,当&=11时，2*+jI-2=2"+11-2=2048+11-2=2057>2022,所以a|O=4<B2，a\l=^2057>且々033=々034="，=&O22=L因此—。+(2022-1。)江智叽2012=55+2012=2067.18.(1)0.030(2)平均数为71,中位数为73.33【分析】(1)由频率分布直方图中所有频率之和为1求得优；(2)由同一组中的数据用该组区间中点值乘以频率相加得平均值，求出频率0.5对应的值即得中位数.由10x(0.010+0.015+0.015+6+0.025+0.005)=1,得桁=0.030,所以直方图中m的值是0.030.平均数为7=45x0.1+55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71，因为0.1+0.15+0.15=0.4<0.5,0.1+0.15+0.15+0.3=0.7>0.5,所以中位数在第4组，设中位数为〃，则0.1+0.15+0.15+0.03(〃-70)=0.5,220解得〃=子=73.33,所以可以估计该企业所生产口罩的质量指标值的平均数为71,中位数为73.33.(1)证明见解析;(2)2=]或.【分析】(1)取AE中点M,根据面面平行的判定定理可O O得平面〃平面BEF,根据面面平行的性质即可证明：(2)由得=2可得SA£rc=|1-22|Sg=|1-22|,根据等体积法可求解•【详解】解：(1)证明：依题意，当三时，G为尸。中点，PD4取AE中点连接MG,MH,"：E,尸分别是布，PO的中点，，所〃A。，又G,M分别是OF,AE的中点，...MG〃所〃仞，：MGu平面BEF,EFu平面BEF,，MG〃平面BEF,同理，M,“分别是AE,AB的中点，/.MH//EB,:MH<Z平面BEF,u平面BEF,：.〃平面BEF,又“:MGcMH=M,MG,M〃u平面,二平面M//G〃平面BEF,,：GHu平面MHG,：.GHH平面BEF；⑵嚼=4,.•.罢=”2礼/.5^=|1-22|5^=|1-22|,•，VF-EGH=VH-EFG=^AH-4由=g|1-2勾=看,解得或0]O O(1)44=3；1个公共点；

（3）4・44从，证明见解析.【分析】（1）直接由点到直线的距离公式求出&•4,联立直线与椭圆方程，由A判断交点个数即可；（2）先由点到直线的距离公式表示出&•4，联立直线与椭圆方程，由A>0解得m2<a2k2+b2,进而求出4的范围即可;（3）直线/与椭圆。有公共点的充要条件是4 先由点到直线的距离公式表示出联立直线与椭圆方程，有公共点等价于ANO,解得病4a*2+从，进而求出4・出的范围即可；即可证明.（1）由题意知：耳（-3,0）,玛（3,0）,直线/的方程为x-y-Ji?=0,则4=与叫=壮，/=与妈./1=9=3；Vl+l Vl+l Vl+lV1+1 2联立直线与椭圆方程（123-得5丁-8>/11¥+48=0,A=（-8x/15）2-4x5x48=0,故y=X-V15直线/与椭圆C有1个公共点；⑵由题意知：E（-c,o），K（c,o）,直线/的方程为H-y+m=0,点A，K在直线/：y=去+"?+训d{-d2+训d{-d2=热.媳二十消联立直线与椭圆方程x2y2—+—=1a2b2得y=kx+ni(a2k2+b2^x2-b2crhnx+a2m2-a2b2=0,由直线/与椭圆。有两个公共点，可得△=（2〃2加）一4x（/女2+/72）乂（〃2小2_4?2）=4々2/（〃2/一加2+从）>（）,即a2k2-m2-^-b2>0,BP^2<a2k2+b2,-； < ；公+1k2+\(3)直线/与椭圆C有公共点的充要条件是4・44从，证明如下:, “,,\-； < ；公+1k2+\(3)直线/与椭圆C有公共点的充要条件是4・44从，证明如下:, “,,\-kc+ni\kc+n\ni1-k2c由(2)知"『二讨联立直线与椭圆方程(2 2工21=]5得(/公+从卜2+2/叱+。2加2_/6=0,直线/与椭圆y=kx-\-mC有公共点,^a2k2+6)x^a2m2-a2b2)=4a2b2^a2k2-m2+b2)>0,即c^k2-m2+b2>0>即1W/*+从，故4.4=m2-k2c2a2k2+b2-k2c2b2k2+b2 < 公+1 /+ik2+l21.(1)见解析(2)证明见解析【分析】(1)对函数求导后，分和。<0两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间,(2)由g'(x)>0,可得由X)在R上单调递增,令Mx)=g(x)+g(-x),利用导数可求得A(x)min=A(0)=2,从而得g(x)+g(-x)N2,再由g(x)在R上单调递增结合占2-七，得g(xjNg(-9),从而可证得结论(1)f'(x)=2e*+a,xeR.当“20时，f'(x)>0,〃x)单调递增.当a<0时，令/。)>0,得x>ln/(X)在I-00,In上单调递减，在In,+00|上单调递增.mi2-k2c2a2k2+b2-k2c2b2k2+b2当。=3时，g(x)=2er+3x-l+x3-x2,xeR,g")=2e，+3+3*2-2x=2e，+3(x-g)+g>0,；•g(x)在R上单调递增.令/i(x)=g(x)+g(-x),贝I」h'(x)=2e*-2e~x-4x,令r(x)=h'(x),则t'(x)=2e*+2e-Jt-4>2>/4-4=0,.."'(x)在R上单调递增.又"(0)=0,.•.当xe(0,+co)时，h'(x)>0,Mx)单调递增,当xe(T»,0)时，h'(x)<0,〃(x)单调递减.人(x)111bl=A(0)=2,：,g(x)+g(-x)>2.；为+七20,/.x,>-x2,：.g(^)>g(-x2),；•ga)+g(N)2g(T2)+g(W)N2,从而得证【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，解题的关键是合理构造函数〃(x)=g(x)+g(-x),