自动控制原理：线性控制系统的时域分析方法2

3.5.2线性系统稳定条件反馈系统稳定的充分必要条件是：系统传递函数的所有闭环极点（特征根）均有负的实部。系统稳定的充分必要条件是系统传递函数的所有闭环极点（特征根）位于s平面的左半开平面。S平面3.5.3劳斯稳定判据

——无需求解特征根稳定的必要条件1.劳斯稳定判据给出特征根具有负的实部的必要条件是：特征方程式中各系数同号且不缺项。控制系统特征方程式=03.5.3劳斯稳定判据特征方程：ansn+an-1sn-1+an-2sn-2+…+a1s+a0=0劳斯表：Snanan-2an-4an-6sn-1an-1an-3an-5an-7sn-2(an-1.an-2-an.an-3)/an-1b2b3…SS0a02.劳斯表可用一正数乘或除某一整行，结论不变3.5.3Routh-Hurwitz稳定判据特征方程：D(s)

=

ansn+an-1sn-1+an-2sn-2+…+a1s+a0=0劳斯判据：D(s)具有正实部根的个数，等于劳斯表第一列中元素符号变化的次数。2.系统稳定的充要条件为：劳斯表第一列元素的符号不变化例4:(3-5-2)已知系统框图，确定使系统稳定时K的取值范围。解闭环传递函数和特征方程为1.劳斯表任一行中第一个元素为零，其余元素不全为零。

列劳斯表时用一个小正数代替零元素继续列表。例如系统的特征方程为第一列元素符号改变两次，有两个正实部根，系统不稳定。两种特殊情况2.劳斯表任一行中所有元素均为零。此时方程中存在一对大小相等、符号相反的实根，或一对纯虚根，或对称于s平面原点的共轭复根。

列表时先用全零行的上一行构成辅助方程（阶次为偶数，它的根就是这些特殊根）。再将辅助方程对s求导，用求导后的方程系数代替全零行。例如系统的特征方程为

劳斯表为：

劳斯表第一列元素符号相同，故系统不含正实部的根，而含一对纯虚根，可由辅助方程解出，为。(s1全0行的处理)系统有极点实部=0，其余实部均负，则临界稳定例5:(3-5-3)已知系统的特征方程为根据辅助方程求特征根。解劳斯表为第一列元素符号改变一次，有一个正实部根，系统不稳定。可根据辅助方程课堂实练3.6.1误差的基本概念H(s)=1时，偏差信号就是误差信号。H(s)1，则先求稳态偏差，再求误差信号。误差与偏差误差信号E1(s)=稳态偏差除以H(s)，即E1(s)=E(s)/H(s)被控量期望值Cr(t)定义：偏差信号e(t)=0时的被控量的值Cr(t)。E(s)=0，则C(s)=Cr(s)G1(s)H(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)Y(s)F(s)R(s)-H(s)Cr(s)=03.6.1误差的基本概念计算误差目的：如何选择控制器，以便减小输入信号引起的稳态误差、抑制扰动对系统的影响线性系统，若R(s)和F(s)都存在，则用叠加原理求总的偏差。G1(s)H(s)G2(s)R(s)E(s)C(s)Y(s)F(s)3.6.2利用终值定理求稳态误差终值定理：

求稳态误差，通常只求稳态误差终值e1ss()条件：若存在，或的全部极点（原点除外）具有负实部，则稳态误差稳态偏差例3-6-1r(t)=t,f(t)=-1(t)，求稳态误差终值。解单位负反馈，误差就是偏差。sE(s)的极点就是系统的闭环极点，用劳斯判据可知系统是稳定的，即sE(s)极点全具负实部，可用终值定理：3.6.3给定作用下的稳态误差计算讨论给定输入信号作用下产生的稳态误差H(S)G(S)R(S)E(s)C(s)根据终值定理：单位负反馈系统系统的型别v

系统的型别数v：是开环传递函数G(s)H(s)所含s=0的极点的个数，亦所含积分环节的数目，亦系统偏差信号对参考输入信号的闭环传函e(s)中s=0的零点的个数。v反映了系统跟踪参考输入信号的能力(故按v数值对系统分型)3.6.3给定作用下的稳态误差计算1.单位阶跃输入作用下的稳态误差稳态位置误差系数0型系统称为有差系统（对单位负反馈系统）静态误差系数法3.6.3给定作用下的稳态误差计算2.单位斜坡输入作用下的稳态误差稳态速度误差系数（对单位负反馈系统）静态误差系数法3.6.3给定作用下的稳态误差计算3.单位加速度输入作用下的稳态误差稳态加速度误差系数减小或消除参考输入信号的稳态误差的方法：提高系统开环放大系数K和系统型别数。（对单位负反馈系统）静态误差系数法参考输入的稳态偏差(汇总)（对单位负反馈系统）静态误差系数法系统的型别数：是开环传递函数G(s)H(s)所含s=0的极点的个数，亦所含积分环节的数目3.6.3给定作用下的稳态误差计算例3-6-2单位负反馈系统的开环传递函数，求输入时的稳态误差终值。解：因输入为斜坡函数信号，

又是1型单位负反馈稳定系统。3.6.3给定作用下的稳态误差计算例3-6-3单位负反馈系统的开环传递函数求输入时的稳态误差终值。解：因输入为斜坡函数信号，又是1型单位负反馈稳定系统。3.6.3给定作用下的稳态误差计算课堂实练：系统如图，求当输入r(t)=3t2时的稳态误差。解：1）判断系统的稳定性写出特征方程R(S)E(s)C(s)劳斯表：S313s242s15/2S02因系统稳定，故可用终值定理。3.6.3给定作用下的稳态误差计算课堂练习：系统如图，求当输入r(t)=3t2时的稳态误差。2）写出误差E(s)。可直接用静态误差系数法求取。因输入是加速度函数信号，故R(S)E(s)C(s)又r(t)=3t2=6t2/2单位加速度函数例3-6-4单位负反馈系统的开环传递函数为求r(t)=1(t)，r(t)=t时的稳态误差。解该系统是稳定的，系统为零型系统。例3-6-5单位负反馈系统的开环传递函数为分别求出

时的稳态误差终值。解用劳斯稳定判据可知闭环系统是稳定的。1）输入阶跃信号，2）输入斜坡信号3