2025届高考数学二轮复习专题能力训练18直线与圆锥曲线理含解析

专题实力训练18直线与圆锥曲线专题实力训练第42页

一、实力突破训练1.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OEA.13 B.12答案:A解析:由题意,不妨设直线l的方程为y=k(x+a),k>0,分别令x=-c与x=0,得|FM|=k(a-c),|OE|=ka.设OE的中点为G,由△OBG∽△FBM,得12即ka2k(a-c故椭圆的离心率e=13,故选A2.已知倾斜角为30°的直线l经过双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点F1,交双曲线于A,B两点,线段ABA.y=±x B.y=±12C.y=±32x D.y=±5答案:A解析:如图,MF2为线段AB的垂直平分线,可得|AF2|=|BF2|,且∠MF1F2=30°,可得|MF2|=2c·sin30°=c,|MF1|=2c·cos30°=3c.由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,即有|AB|=|BF1|-|AF1|=|BF2|+2a-(|AF2|-2a)=4a,即有|MA|=2a,|AF2|=|MA|2+|MF2|2=由|AF2|-|AF1|=2a,可得4a2+c2-(3c-2a可得4a2+c2=3c2,即c=2a.故b=c2-a2=a,所以渐近线方程为3.假如与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()A.4 B.22 C.2 D.答案:C解析:设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2(2)24.(2024全国Ⅰ,理11)已知双曲线C:x23-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=(A.32 B.3 C.23 D答案:B解析:由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±33x所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°.不妨设∠OMN=90°,则|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos30°=3,所以|MN|=3.5.平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点答案:3解析:双曲线的渐近线为y=±bax.由y=b由y=-b∵F0,p2为△OAB的垂心,∴kAF·kOB即2b2pa2∴c2a26.(2024全国Ⅰ,理19)设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.解：(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.由已知可得,点A的坐标为1所以AM的方程为y=-22x+2或y=22(2)当l与x轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°,当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),则x1<2,x2<2,直线MA,MB的斜率之和为kMA+kMB=y由y1=kx1-k,y2=kx2-k,得kMA+kMB=2将y=k(x-1)代入x22+y2=1得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2所以x1+x2=4k22k2+1,则2kx1x2-3k(x1+x2)+4k=4k3-从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补,所以∠OMA=∠OMB.综上,∠OMA=∠OMB.7.如图,已知抛物线x2=y,点A-12,14,B32,94,抛物线上的点P(x,y)-12<(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|·|PQ|的最大值.解：(1)设直线AP的斜率为k,k=x2-1因为-12<x<32,所以直线AP斜率的取值范围是(-(2)联立直线AP与BQ的方程kx解得点Q的横坐标是xQ=-因为|PA|=1+k2x|PQ|=1+k2(xQ-x)=-所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3.令f(k)=-(k-1)(k+1)3,因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)2,所以f(k)在区间-1,12上单调递增因此当k=12时,|PA|·|PQ|取得最大值8.在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)经过点A-(1)求椭圆E的方程;(2)设椭圆E与y轴相交于A1,A2两点,不在y轴上的动点P在直线y=b2上运动,直线PA1,PA2分别与椭圆E相交于点M,N,证明:直线MN通过一个定点,且△FMN的周长为定值.解：(1)依据题意可得32a故椭圆E的方程为y24+(2)不妨设点A1(0,2),A2(0,-2),P(x0,4)为直线y=4上一点(x0≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).直线PA1方程为y=2x0x+2,直线PA2方程为y=6x点M(x1,y1),A1(0,2)的坐标满意方程组x可得x点N(x2,y2),A2(0,-2)的坐标满意方程组x可得x所以点M-6x03+x0所以直线MN的方程为y-2x02即y=-x02-96x0x+1又F(0,-1),B(0,1)是椭圆E的焦点,所以△FMN周长=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8.9.如图,点C,D是离心率为12的椭圆的左、右顶点,F1,F2是该椭圆的左、右焦点,点A,B是直线x=-4上的两个动点,连接AD和BD,分别与椭圆相交于E,F两点,且线段EF恰好经过椭圆的左焦点F1.当EF⊥CD时,点E恰为线段AD的中点(1)求椭圆的方程;(2)推断以AB为直径的圆与直线EF的位置关系,并加以证明.解：(1)∵当EF⊥CD时,点E恰为线段AD的中点,∴a+c=4-c.又e=ca=12,联立解得c=1,a=2.又a2=b∴b=3∴椭圆的方程为x24+(2)由题意可知直线EF不行能平行于x轴,设EF的方程为x=my-1,点E(x1,y1),F(x2,y2),由x24+y23=1,x=my-1,∴Δ=(-6m)2+36(3m2+4)>0,y1+y设点A(-4,yA),由A,E,D三点共线得yA=-6y1x1-yA+yB=-=-62=-62m·-9∴|yA-yB|=-=18|=186=6m设AB的中点为M,则点M的坐标为-4,yA+yB∴点M到直线EF的距离d=|-4-3m2+1|1+m2=故以AB为直径的圆始终与直线EF相切.二、思维提升训练10.(2024全国Ⅰ,理16)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若F答案:2解析:如图,由F1A=AB,得又|OF1|=|OF2|,得BF2∥OA,且|BF2|=2|OA|.由F1B·F2B=0,得F1则OA⊥F1A,|OB|=|OF1|=|OF2|.故∠BOF2=∠AOF1=2∠OF1B,得∠BOF2=60°.则ba=tan60°=所以e=ca=1+11.定长为3的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,动点P满意BP=2PA(1)求点P的轨迹曲线C的方程;(2)若过点(1,0)的直线与曲线C交于M,N两点,求OM·ON解：(1)设点A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),由BP=2PA得(x,y-y0)=2(x0-x,-y),即x因为x02+y02=9,所以32x2+(3y)2=所以点P的轨迹方程为x24+y2=(2)当过点(1,0)的直线为y=0时,OM·ON=(2,0)·(-2,0)当过点(1,0)的直线不为y=0时,可设为x=ty+1,点A(x1,y1),B(x2,y2).联立x24+y2=1,x=ty+1并化简,得(t由根与系数的关系得y1+y2=-2tt2+4,y1yOM·ON=x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2=(t2+1)·y1y2+t(y1+y2)+1=(t2+1)-3t2+4+t·-2又由Δ=4t2+12(t2+4)=16t2+48>0恒成立,所以t∈R,对于上式,当t=0时,(OM·ON)max综上所述,OM·ON12.设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E.(1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.解：(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC.所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|.又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16,从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4.由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2,由椭圆定义可得点E的轨迹方程为x24+y23(2)当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),由y得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0,则x1+x2=8k24k2+3,x所以|MN|=1+k2|x1-x2过点B(1,0)且与l垂直的直线m:y=-1k(x-1),A到m的距离为2所以|PQ|=242-2故四边形MPNQ的面积S=12|MN||PQ|=12可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,83).当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12.综上,四边形MPNQ面积的取值范围为[12,83).13.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,左、右焦点为F1,F2,点P,A,B在椭圆C上,且点A,B(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l经过点Q(2,2),且与椭圆C相交于不同的两点M,N,若|QM||QN|=163,推断直线l的斜率是否为定值?若是,恳求出该定值;若不是,请说明理由解：(1)设点A(xA,yA),P(xP,yP),则点B(-xA,-yA).可得kPA=yA-yPx又xA2a2则kPA·kPB=-b2a2=-14,又ca=32可得a2=4,b2=1,c2=3,故椭圆C的方程为x24+y2=(2)由题意可知直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y-2=k(x-2),将其代入x24+y2整理可得(1+4k2)x2+16k(1-k)x+16(1-k)2-4=0,则Δ=[16k(1-k)]2-4(1+4k2)[16(1-k)2-4]>0,得k>3设点M(x1,y1),N(x2