广州高二数学水平测试试题(附答案)

2009学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷共4页.满分150分.考试用时120分钟.注一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合，则()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2．若直线与直线平行，则实数的值为()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．开始输入输出结束①是否3.已知开始输入输出结束①是否Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．4.已知向量,满足,=2,,则与的夹角大小是()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5.在一次射击训练中,某一小组10名成员的成绩如下表:环数7环以下7环8环9环10环人数023已知该小组的平均成绩为环,则的值为()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．6.某居民区的物业公司按月向居民收取卫生费,每月收费方法是:3人和3人以下的住户,每户收取5元;超过3人的住户,每超出1人加收元,相应收费系统的流程图如图1所示,则①处应填()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．图17.函数为自然对数的底数()Ａ．是奇函数Ｂ．是偶函数Ｃ．既是奇函数又是偶函数Ｄ．既不是奇函数也不是偶函数8．圆关于直线的对称圆的方程为()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．9.已知不等式组表示的平面区域为,则区域的面积为()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，现从这些运动员中抽取1个容量为的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量为()Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11.已知等差数列的首项为，公差为，则通项公式.12.在△中，角、、所对的边分别为、、，已知，则的值为.13.一个几何体的三视图如图2所示,那么这个几何体的表面积为.图214．已知，且三点共线，则的最小值为.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.15.(本小题满分12分)已知函数R.(1)求函数的最小正周期和最大值;(2)若为第一象限的角,且满足,求的值.16．(本小题满分12分)有四条线段，其长度分别为.（1）从这四条线段中任意取出两条，求所取出的两条线段的长度之和大于7的概率；（2）从这四条线段中任意取出三条，求所取出的三条线段能构成三角形的概率.17．(本小题满分14分)在长方体中，，截面为正方形.（1）求长方体的体积；（2）求证：平面.18.(本小题满分14分)已知R,函数(1)求的值;(2)证明:函数在上单调递增;(3)求函数的零点.19.(本小题满分14分)已知圆经过三点，从圆外一点向该圆引切线，为切点，且（为坐标原点）.(1)求圆的方程；（2）试判断点是否总在某一定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由.20.(本小题满分14分)已知二次函数在区间上的最小值为.(1)求的值;(2)记为数列的前项和,且N，点在函数的图象上,求的表达式.2009年度上学期广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共10小题，每题5分，满分50分.题号12345678910答案CABCBCADDB二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算.共4小题，每题5分，满分20分.11.12.13.14.三、解答题15.本小题主要考查三角函数和三角恒等变换等基本知识.满分12分.解:(1)∵函数R,∴函数的最小正周期为,最大值为1.……4分(2)∵,∴.……6分∵为第一象限角,∴.……8分∴……10分.……12分16.本小题主要考查古典概型等基本知识.满分12分.解：（1）从这四条线段中任意取出两条，共有6种不同的取法：，……2分其中两条线段的长度之和大于7的共有4种取法：，……4分∴所取出的两条线段的长度之和大于7的概率为.……6分（2）从这四条线段中任意取出三条，共有3种不同的取法：…8分其中能构成三角形的只有1种取法，……10分∴所取出的三条线段能构成三角形的概率为.……12分答：（1）所取出的两条线段的长度之和大于7的概率为；（2）所取出的三条线段能构成三角形的概率.17.本小题主要考查空间线面位置关系，几何体体积等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.(1)解:在直角三角形中,,,∴.……2分∵截面为正方形,∴.……4分∴长方体的体积=.……6分(2)证法一:∵为长方体,∴平面.∵平面,∴.……8分∵,∴四边形为正方形.……10分∴.……12分∵平面,平面,∴平面.……14分证法二:∵为长方体,∴平面.∵平面,∴平面平面.……8分∵,∴四边形为正方形.……10分 ∴.……12分∵平面平面,平面,∴平面.……14分18．本小题主要考查函数的性质、函数的零点等基本知识，考查运算求解能力和推理论证能力.满分14分.(1)解:当时,,∴.……2分(2)证明:在上任取两个实数,且,……3分则……4分.……5分∵,∴.∴,即.∴.……7分∴函数在上单调递增.……8分(3)(ⅰ)当时,令,即,解得.∴是函数的一个零点.……9分（ⅱ）当时,令,即.(※)当时,由(※)得,∴是函数的一个零点;……11分当时,方程(※)无解;当时,由(※)得,(不合题意,舍去).……13分综上所述,当时,函数的零点是和;当时,函数的零点是.……14分19．本小题主要考查直线和圆等基本知识，考查运算求解能力和抽象概括能力.满分14分.（1）解法一：设圆的方程为，……1分∵圆经过三点，∴……4分解得……7分∴圆的方程为.……8分解法二：设圆的方程为，……1分∵圆经过三点，∴……4分解得……7分∴圆的方程为.……8分解法三：∵，∴线段的垂直平分线方程为，……2分∵，∴线段的垂直平分线方程为即，……４分由解得圆心的坐标为.……6分故圆的半径.∴圆的方程为.……8分解法四：∵,,,……2分∴.∴△是直角三角形.……4分∵圆经过三点，∴圆是Rt△的外接圆.……6分∴圆的圆心的坐标为的中点，半径.∴圆的方程为.……8分（2）连接，则，……10分∵，且，∴，……12分化简得.∴点总在定直线上.……14分20．本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查运算求解能力和推理论证能力.满分14分.解：（1）.……1分①若，即，则当时，取得最小值，依题意得，解得或（舍去）.……3分②若即，则当时，取得最小