力法习题课及对称性的利用课件

力法习题课1、力法解超静定结构思路：确定结构超静定次数，将超静定结构中的多余约束去掉，代之以未知力，则原超静定结构变成在已知荷载和未知多余约束力共同作用下的静定结构（基本体系），然后应用原结构的变形协调条件，求解多余未知力。2、力法典型方程：副系数满足位移互等定理：主系数：»力法习题课1、力法解超静定结构思路：确定结构超静定次数，将超1例1：试确定图示结构的超静定次数。4次6次6次12次6次5次»9次2次12次例1：试确定图示结构的超静定次数。4次6次6次12次6次5次2例2：如图所示超静定结构，若用力法计算，试问：超静定次数是多少？如何选择基本结构？若去掉A铰得基本结构，则未知力如何表示？DEBCA解：（1）超静定次数2（n-1）6次超静定（2）基本结构选取去掉A铰即得力法基本结构»DEBCA（3）基本未知力表达方式注意：结构内部的未知力总是成对出现的，只有在支座处的未知力才以单个未知力形式出现。例2：如图所示超静定结构，若用力法计算，试问：超静定次数是3常数例3：应用“使单位未知力的影响范围局限于局部”的原则，对图示刚架结构选择合理的力法基本体系，指出力法典型方程中哪些系数和自由项等于零，并列出简化后的典型方程。解：超静定次数为5次；由4个单跨结构构件组合而成»常数常数常数例3：应用“使单位未知力的影响范围局限于局部”的原则，对4常数常数常数常数常数常数11111115常数常数常数常数常数常数111111155例4：求作多跨连续梁结构弯矩图。ABCDkN4m4m3m3m已知：，弹簧的弹性系数为[分析]这是一个2次超静定结构，B、C支座为弹性支座。在计算典型方程中系数和自由项时，可将弹簧视为杆件，要考虑内力虚功，此时多余约束力作用于弹簧上。若不将弹簧视为杆件，此时多余约束力作用于杆件上，且：

与多余未知力对应的弹簧要考虑变形协调而产生右端项。不与多余未知力对应的弹簧一般总是要视为杆件，考虑弹簧产生的内力虚功；6例4：求作多跨连续梁结构弯矩图。ABCDkN4m4m3m3m6kNABCD4m4m3m3m解：（1）选基本体系ABCD4m4m3m3m（2）典型方程10.250.57kNABCD4m4m3m3m解：（1）选基本体系ABCD4m7kNABCD4m4m3m3mABCD4m4m3m3m0.251/65/1240404515ABCD4m4m3m3m10.250.5»kNABCD4m4m3m3mABCD4m4m3m3m0.258kNkNABCD4m4m3m3m（3）绘制弯矩图34.9810.0219.535.25例5：图示结构同时承受荷载、温度变化及支座沉降作用，已知杆截面高度m，抗弯刚度，线胀系数，试求作弯矩图。9m4mm»kNkNABCD4m4m3m3m（3）绘制弯矩图34.98199m4mm解：（1）选择基本体系（2）列典型方程9m4m11151.875+1/91/9–1/9»9m4mm解：（1）选择基本体系（2）列典型方程9m4m11109m4m1111/4+1/9+1/91/41/99m4m11+1/91/9–1/9»9m4m1111/4+1/9+1/91/41/99m4m119m4m1111/4+1/9+1/91/41/9力法典型方程为：kNkN（3）绘制弯矩图9m4m10.385.1395.4866.75129m4m1111/4+1/9+1/91/41/9力法典型12例6：图示结构支座B发生支座沉降，已知mm，杆AC制造时长了0.001m，杆BCD制造时作成了半径为200m的圆弧曲线，试求截面D的角位移。ABCD3m2m4m解：对于制造误差引起的位移，其计算方法可仿照温度变化时的计算思路，仅需将温度变化时所引起的弯曲变形和轴向变形分别以制造误差引起的相应变形来代换即可。也可将制造误差理解为在局部荷载作用下产生了相应的局部应变，如AC杆的制造误差可视为在杆端平衡拉力作用下产生了伸长。同时考虑支座沉降影响时，位移公式为：例6：图示结构支座B发生支座沉降，已知1311计算单位荷载下的内力图代入位移计算公式得：=–0.0194（弧度）计算支座反力：11计算单位荷载下的内力图代入位移计算公式得：=–0.014例6：图示桁架结构中，杆CD制造时比设计值短了0.5cm，试求拼装后由此引起的各杆内力。已知各杆kN。3m3mABCD解：（1）选基本体系，切断制造误差杆件。（2）列力法典型方程令可求得各杆内力+1+1+1kN力法典型方程的含义是：基本体系在制造误差的作用使得截断处产生了分离，在X1的作用下使得截断处产生了接近，二者共同作用下截断处相对位移为0。13例6：图示桁架结构中，杆CD制造时比设计值短了0.5cm，试15§9-8结构对称性的利用对称结构是几何形状、支座、刚度都对称的结构EIEIEI1、对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。a）位于对称轴上的截面的位移，内力PPCuc=0、θc=0PPQC=0QCPC等代结构b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成定向支座。对称：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPCCP等代结构PPC对称：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPC对称：uc=0中柱：vc=0P等代结构c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。NCNCMC21§9-8结构对称性的利用对称结构是几何形状、支座、刚度都16PPC2EIEIEIEI2、对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。

a）位于对称轴上的截面的位移，

内力PPvc=0PPNC=0，MC=0QCPC等代结构b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆。c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变P等代结构P等代结构CPPC2EIPPC2EIEIEINCNCMC22PPC2EIEIEIEI2、对称结构在反对称荷载作用下，内力17EIEIEIEIQCQC由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力QC当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后再利用对称关系作出另半边结构的内力图。等代结构偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法2EIPPC2EIEIPPPCPP23EIEIEIEIQCQC由于荷载是反对称的，故C18例：绘制图示结构的内力图。↑↑↑↑↑↑↑EIEIEI6m6m23kN/m等代结构的计算103.581135MKkN·m198198103.581135kNm198103.581135kNm396207等代结构利用对称性计算要点：①选取等代结构；②对等代结构进行计算，绘制弯矩图；③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图；④非对称荷载分成对称和分对称荷载。EIEI2EIEIEI6m6m6m↑↑↑↑↑↑↑46kN/m24例：绘制图示结构的内力图。↑↑↑↑↑↑↑EIEIEI6m6m19在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。常见的无弯矩状态有以下三种：1）一对等值反向的集中力沿一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。－PM=02）一集中力沿一柱轴作用，只有该柱有轴力。－PM=0M=03）无结点线位移的结构，受结点集中力作用，只有轴力。MP=0MP=0Δ1P=0δ11>0X1=Δ1P/δ11=0M=M1X1+MP=0PPPPP无弯矩状态的判定：25在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下－PM20PPEI=常数l/2l/2l/2P/2P/2l/2P/2

l/2l/4P/2l/2l/4X1基本体系l/2X1=1P/2l/21Mp解:11x1+Δ1P=011=Δ1P=X1=先叠加等代结构的弯矩图，再由对称性得整体弯矩图。由杆端弯矩求杆端剪力，由结点平衡求杆端轴力。PEI=常数l/2l/2P/2P/2l/2P/221作图示刚架的弯矩图。EI=常数。PPPPPPABCPCBPl/8Pl/8Pl/8Pl/8PPPPl/2l/2l/2l/2ABCl/2l/2作图示刚架的弯矩图。PPPPPPABCPCBPl/8Pl/822例题：用力法计算图示结构并作M图。EI=常数。2kN4kN.m4m4m2m4m4kN.m4m4m4m4kN.m4kN.mX1X1=14MP4kN.m4解:11x1+Δ1P=0431111-=D-=dPX6444411=··=DPEIEI32564443424421111=úûùêëé··+····=dEIEI13341M图(kN.m)2kN2kN

例题：用力法计算图示结构并作M图。EI=常数。2kN4kN.23EI2EI1EI1PlhP/2P/2P/2P/2求图示对称刚架在水平荷载作用下的弯矩图。M=0－P/2P/2等代结构X1基本体系l/2l/2X1=1MPP/2Pl/2EIlPhEIlhPh1211182221=·=DEIlEIhl2312244+=EIlllEIlhl211113222122····+··=dlIhIk12=lPhkk2166+-=XP1111D-=d41626Phkk·++4166Phkk·+EI2EI1EI1PlhP/2P/2P/2P/2求图示对称刚2441626Phkk·++4166Phkk·+41918Ph4Ph2Ph2Phk很小弱梁强柱k很大强梁弱柱4Ph41920Phk=3荷载作用下，内力只与各杆的刚度比值有关，而与各杆的刚度绝对值无关。内力分布与各杆刚度大小有关，刚度大者，内力也大。lIhIk12=41626Phkk·++4166Phkk·+41918Ph425例：试用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。EI=CEAPPaaaaEI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2解：将荷载分为正对承和反对称两组正对称结点荷载作用下各杆弯矩为零反对称荷载作用取等代结构如下1、取基本结构；2、力法方程：=+EI=CEAP/2P/2P/2P/2P/2P/2等代结构00P/2P/2X1基本体系X1=1X1MP3、绘求系数自由项4、解方程：5、按绘弯矩图。1512715127M图a例：试用对称性计算图示刚架，并绘弯矩图。EI=CEAPPaa26力法习题课1、力法解超静定结构思路：确定结构超静定次数，将超静定结构中的多余约束去掉，代之以未知力，则原超静定结构变成在已知荷载和未知多余约束力共同作用下的静定结构（基本体系），然后应用原结构的变形协调条件，求解多余未知力。2、力法典型方程：副系数满足位移互等定理：主系数：»力法习题课1、力法解超静定结构思路：确定结构超静定次数，将超27例1：试确定图示结构的超静定次数。4次6次6次12次6次5次»9次2次12次例1：试确定图示结构的超静定次数。4次6次6次12次6次5次28例2：如图所示超静定结构，若用力法计算，试问：超静定次数是多少？如何选择基本结构？若去掉A铰得基本结构，则未知力如何表示？DEBCA解：（1）超静定次数2（n-1）6次超静定（2）基本结构选取去掉A铰即得力法基本结构»DEBCA（3）基本未知力表达方式注意：结构内部的未知力总是成对出现的，只有在支座处的未知力才以单个未知力形式出现。例2：如图所示超静定结构，若用力法计算，试问：超静定次数是29常数例3：应用“使单位未知力的影响范围局限于局部”的原则，对图示刚架结构选择合理的力法基本体系，指出力法典型方程中哪些系数和自由项等于零，并列出简化后的典型方程。解：超静定次数为5次；由4个单跨结构构件组合而成»常数常数常数例3：应用“使单位未知力的影响范围局限于局部”的原则，对30常数常数常数常数常数常数11111115常数常数常数常数常数常数1111111531例4：求作多跨连续梁结构弯矩图。ABCDkN4m4m3m3m已知：，弹簧的弹性系数为[分析]这是一个2次超静定结构，B、C支座为弹性支座。在计算典型方程中系数和自由项时，可将弹簧视为杆件，要考虑内力虚功，此时多余约束力作用于弹簧上。若不将弹簧视为杆件，此时多余约束力作用于杆件上，且：

与多余未知力对应的弹簧要考虑变形协调而产生右端项。不与多余未知力对应的弹簧一般总是要视为杆件，考虑弹簧产生的内力虚功；6例4：求作多跨连续梁结构弯矩图。ABCDkN4m4m3m3m32kNABCD4m4m3m3m解：（1）选基本体系ABCD4m4m3m3m（2）典型方程10.250.57kNABCD4m4m3m3m解：（1）选基本体系ABCD4m33kNABCD4m4m3m3mABCD4m4m3m3m0.251/65/1240404515ABCD4m4m3m3m10.250.5»kNABCD4m4m3m3mABCD4m4m3m3m0.2534kNkNABCD4m4m3m3m（3）绘制弯矩图34.9810.0219.535.25例5：图示结构同时承受荷载、温度变化及支座沉降作用，已知杆截面高度m，抗弯刚度，线胀系数，试求作弯矩图。9m4mm»kNkNABCD4m4m3m3m（3）绘制弯矩图34.981359m4mm解：（1）选择基本体系（2）列典型方程9m4m11151.875+1/91/9–1/9»9m4mm解：（1）选择基本体系（2）列典型方程9m4m11369m4m1111/4+1/9+1/91/41/99m4m11+1/91/9–1/9»9m4m1111/4+1/9+1/91/41/99m4m379m4m1111/4+1/9+1/91/41/9力法典型方程为：kNkN（3）绘制弯矩图9m4m10.385.1395.4866.75129m4m1111/4+1/9+1/91/41/9力法典型38例6：图示结构支座B发生支座沉降，已知mm，杆AC制造时长了0.001m，杆BCD制造时作成了半径为200m的圆弧曲线，试求截面D的角位移。ABCD3m2m4m解：对于制造误差引起的位移，其计算方法可仿照温度变化时的计算思路，仅需将温度变化时所引起的弯曲变形和轴向变形分别以制造误差引起的相应变形来代换即可。也可将制造误差理解为在局部荷载作用下产生了相应的局部应变，如AC杆的制造误差可视为在杆端平衡拉力作用下产生了伸长。同时考虑支座沉降影响时，位移公式为：例6：图示结构支座B发生支座沉降，已知3911计算单位荷载下的内力图代入位移计算公式得：=–0.0194（弧度）计算支座反力：11计算单位荷载下的内力图代入位移计算公式得：=–0.040例6：图示桁架结构中，杆CD制造时比设计值短了0.5cm，试求拼装后由此引起的各杆内力。已知各杆kN。3m3mABCD解：（1）选基本体系，切断制造误差杆件。（2）列力法典型方程令可求得各杆内力+1+1+1kN力法典型方程的含义是：基本体系在制造误差的作用使得截断处产生了分离，在X1的作用下使得截断处产生了接近，二者共同作用下截断处相对位移为0。13例6：图示桁架结构中，杆CD制造时比设计值短了0.5cm，试41§9-8结构对称性的利用对称结构是几何形状、支座、刚度都对称的结构EIEIEI1、对称结构在对称荷载作用下，内力、变形及位移是对称的。a）位于对称轴上的截面的位移，内力PPCuc=0、θc=0PPQC=0QCPC等代结构b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成定向支座。对称：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPCCP等代结构PPC对称：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPC对称：uc=0中柱：vc=0P等代结构c）偶数跨对称结构在对称荷载下等代结构取法：将对称轴上的刚结点、组合结点化成固定端；铰结点化成固定铰支座。NCNCMC21§9-8结构对称性的利用对称结构是几何形状、支座、刚度都42PPC2EIEIEIEI2、对称结构在反对称荷载作用下，内力、变形及位移是反对称的。

a）位于对称轴上的截面的位移，

内力PPvc=0PPNC=0，MC=0QCPC等代结构b）奇数跨对称结构的等代结构是将对称轴上的截面设置成支杆。c）偶数跨对称结构的等代结构将中柱刚度折半，结点形式不变P等代结构P等代结构CPPC2EIPPC2EIEIEINCNCMC22PPC2EIEIEIEI2、对称结构在反对称荷载作用下，内力43EIEIEIEIQCQC由于荷载是反对称的，故C截面只有剪力QC当不考虑轴向变形时，QC对原结构的内力和变形都无影响。可将其略去，取半边计算，然后再利用对称关系作出另半边结构的内力图。等代结构偶数跨对称结构在反对称荷载作用下，其等代结构的选法2EIPPC2EIEIPPPCPP23EIEIEIEIQCQC由于荷载是反对称的，故C44例：绘制图示结构的内力图。↑↑↑↑↑↑↑EIEIEI6m6m23kN/m等代结构的计算103.581135MKkN·m198198103.581135kNm198103.581135kNm396207等代结构利用对称性计算要点：①选取等代结构；②对等代结构进行计算，绘制弯矩图；③利用对称或反对称性作原结构的弯矩图；④非对称荷载分成对称和分对称荷载。EIEI2EIEIEI6m6m6m↑↑↑↑↑↑↑46kN/m24例：绘制图示结构的内力图。↑↑↑↑↑↑↑EIEIEI6m6m45在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下有时无弯矩、无剪力，只产生轴力。常见的无弯矩状态有以下三种：1）一对等值反向的集中力沿一直杆轴线作用，只有该杆有轴力。－PM=02）一集中力沿一柱轴作用，只有该柱有轴力。－PM=0M=03）无结点线位移的结构，受结点集中力作用，只有轴力。MP=0MP=0Δ1P=0δ11>0X1=Δ1P/δ11=0M=M1X1+MP=0PPPPP无弯矩状态的判定：25在不考虑轴向变形的前提下，超静定结构在结点集中力作用下－PM46PPEI=常数l/2l/2l/2P/2P/2l/2P/2

l/2l/4P/2l/2l/4X1基本体系l/2X1=1P/2l/21Mp解:11x1+Δ1P=011=Δ1P=X1=先叠加等代结构的弯矩图，再由对称性得整体弯矩图。由杆端弯矩求杆端剪力，由结点平衡求杆端轴力。PEI=常数l/2l/2P/2P/2l/2P/247作图示刚架的弯矩图。EI=常数。PPPPPPABCPCBPl/8Pl/8Pl/8Pl/8PPPPl/2l/2l/2l/2ABCl/2l/2作图示刚架的弯矩图。PPPPPPABCPCBPl/8Pl/848例题：用力法计算图示结构并作M图。EI=常数。2kN4kN.m4m4m2m4m4kN.m4m4m4m4kN.m4kN.mX1X1=14MP4kN.m4解:11x1+Δ1P=0431111-=D-=dPX6444411=·