高等数学-课件-31

第一节不定积分的概念及其线性法则第三章一元函数积分学第一节不定积分的概念第三章一元函数积分学

本节要点

本节通过原函数引出了不定积分的概念，并得到不定积分的简单性质.一、原函数与不定积分二、不定积分的计算本节要点本节通过原函数引出了不定积分的概念，并得到一、原函数与不定积分1.原函数在第二章关于求导的问题中提出，已知，求的导数。而现在的问题是已知,求满足的这类问题就是求原函数问题.一、原函数与不定积分1.原函数在第二章关于求定义1如果在区间

上的可导函数的导函数为或则称函数为在区间上的一个原函数.，即对任一，都有定义1如果在区间上的可导函数例1所以是的一个原函数；所以为的一个原函数；

因为

因为例1所以是由于所以是在的一个原函数；由于所以是在

我们知道，对函数而言，如果导函数存在的话，导函数是唯一的，但某个函数的原函数是否唯一呢？为此，先引入:原函数存在定理

如果函数在区间上连续,则在区间上存在可导函数，使得对任一,都有即连续函数一定有原函数存在.此定理将在定积分内容中讨论。我们知道，对函数而言，如果导函数存在的话，导函原函数所以如果是的原函数,则也是的原函数.由于其中为任意常数，如果也是的原函数,即，则

为任意常数，所以，任意两个原函数之间只差一个常数。而且任意一个原函数可以表示为所以如果是的原函数,则2.不定积分

由上面的讨论，可得到如下定义：定义2在区间上，函数的带有任意常数的原函数称为在区间上的不定积分，记作其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式称为积分变量。2.不定积分由上面的讨论，可得到如下定义：定如果是的一个原函数，则的不定积分可表示为如果是的一个原函数，由于表示的任意一个原函数，所以又由于是的一个原函数，所以由于表示例2由定义，不难得到下面的：由于例2由定义，不难得到下面的：由于高等数学--课件-31为连续函数，但其原函数却不能用初等函数来表示;注2定义在区间上的连续函数一定存在原函数，但其原函数不一定能用初等函数来表示；例如函数注1在不定积分表达式中最后的常数不能漏掉，加上任意常数表示不定积分，不加任意常数表示某一个原函数。为连续函数，但其原函数却不能用初等函数来表示;注2定注3在区间内存在原函数的函数不一定是连续函数，例如函数:存在间断点，但在存在原函数注3在区间内存在原函数的函数不一定是连续函数，存例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.解设此曲线的方程为由题设得关系即，是的一个原函数，因即且曲线过(1,2),即代入曲线方程得故所求曲线的方程为例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切

函数的原函数的图形称为的积分曲线。上例中的原函数为在常数取不同值时，可得不同的积分曲线。函数的原函数的图形称为3.基本积分公式

是常数；特别3.基本积分公式是常数；特别高等数学--课件-31高等数学--课件-31二、不定积分的计算

由原函数与不定积分的定义可得到如下不定积分的性质:性质设函数及的原函数存在，则其中为任意常数.这就是不定积分的线性运算性质。二、不定积分的计算由原函数与不定积分的定义可得到如下

用基本积分表和线性运算性质可以计算一些简单函数的不定积分。例4求积分解先将展开，然后再利用积分公式及运算法,则:用基本积分表和线性运算性质可以计算一些简单函数的不定例5求积分解先将展开，然后再利用积分公式及运算法,例5求积分解先将求出的不定积分可以通过求导来验证其是否正确。求出的不定积分可以通过求导来验证其是否正确。例6求积分解例6求积分解例7求积分解例7求积分解例8求积分解将积分拆成两项的和，可得例8求积分解将积分拆成两项的和，可得例9求积分解分子部分减1加1项后,分解被积表达式，得

例9求积分解分子部分减1加1项后,分解被例10求积分解分子部分减1加1项后,分解被积表达式，得

例10求积分解分子部分减1加1项后,分解高等数学--课件-31例11求积分解利用三角公式例11求积分解利用三角公式例12求积分解利用半角公式例12求积分解利用半角公式例13求积分解由倍角公式则例13求积分解由倍角公式例14求积分解由倍角公式则例14求积分解由倍角公式高等数学--课件-31学习动物精神11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味地接受工作的交付，只能学到工作方法的皮毛，能思考应变的人，才会学到方法的精髓。学习动物精神11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不学习动物精神12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共事者的负担，也让你更具人缘。学习动物精神12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么谢谢大家！谢谢大家！学习动物精神11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味地接受工作的交付，只能学到工作方法的皮毛，能思考应变的人，才会学到方法的精髓。学习动物精神11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不学习动物精神12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共事者的负担，也让你更具人缘。学习动物精神12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么谢谢大家！谢谢大家！学习动物精神11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味地接受工作的交付，只能学到工作方法的皮毛，能思考应变的人，才会学到方法的精髓。学习动物精神11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不学习动物精神12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共事者的负担，也让你更具人缘。学习动物精神12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么谢谢大家！谢谢大家！第一节不定积分的概念及其线性法则第三章一元函数积分学第一节不定积分的概念第三章一元函数积分学

本节要点

本节通过原函数引出了不定积分的概念，并得到不定积分的简单性质.一、原函数与不定积分二、不定积分的计算本节要点本节通过原函数引出了不定积分的概念，并得到一、原函数与不定积分1.原函数在第二章关于求导的问题中提出，已知，求的导数。而现在的问题是已知,求满足的这类问题就是求原函数问题.一、原函数与不定积分1.原函数在第二章关于求定义1如果在区间

上的可导函数的导函数为或则称函数为在区间上的一个原函数.，即对任一，都有定义1如果在区间上的可导函数例1所以是的一个原函数；所以为的一个原函数；

因为

因为例1所以是由于所以是在的一个原函数；由于所以是在

我们知道，对函数而言，如果导函数存在的话，导函数是唯一的，但某个函数的原函数是否唯一呢？为此，先引入:原函数存在定理

如果函数在区间上连续,则在区间上存在可导函数，使得对任一,都有即连续函数一定有原函数存在.此定理将在定积分内容中讨论。我们知道，对函数而言，如果导函数存在的话，导函原函数所以如果是的原函数,则也是的原函数.由于其中为任意常数，如果也是的原函数,即，则

为任意常数，所以，任意两个原函数之间只差一个常数。而且任意一个原函数可以表示为所以如果是的原函数,则2.不定积分

由上面的讨论，可得到如下定义：定义2在区间上，函数的带有任意常数的原函数称为在区间上的不定积分，记作其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式称为积分变量。2.不定积分由上面的讨论，可得到如下定义：定如果是的一个原函数，则的不定积分可表示为如果是的一个原函数，由于表示的任意一个原函数，所以又由于是的一个原函数，所以由于表示例2由定义，不难得到下面的：由于例2由定义，不难得到下面的：由于高等数学--课件-31为连续函数，但其原函数却不能用初等函数来表示;注2定义在区间上的连续函数一定存在原函数，但其原函数不一定能用初等函数来表示；例如函数注1在不定积分表达式中最后的常数不能漏掉，加上任意常数表示不定积分，不加任意常数表示某一个原函数。为连续函数，但其原函数却不能用初等函数来表示;注2定注3在区间内存在原函数的函数不一定是连续函数，例如函数:存在间断点，但在存在原函数注3在区间内存在原函数的函数不一定是连续函数，存例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.解设此曲线的方程为由题设得关系即，是的一个原函数，因即且曲线过(1,2),即代入曲线方程得故所求曲线的方程为例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切

函数的原函数的图形称为的积分曲线。上例中的原函数为在常数取不同值时，可得不同的积分曲线。函数的原函数的图形称为3.基本积分公式

是常数；特别3.基本积分公式是常数；特别高等数学--课件-31高等数学--课件-31二、不定积分的计算

由原函数与不定积分的定义可得到如下不定积分的性质:性质设函数及的原函数存在，则其中为任意常数.这就是不定积分的线性运算性质。二、不定积分的计算由原函数与不定积分的定义可得到如下

用基本积分表和线性运算性质可以计算一些简单函数的不定积分。例4求积分解先将展开，然后再利用积分公式及运算法,则:用基本积分表和线性运算性质可以计算一些简单函数的不定例5求积分解先将展开，然后再利用积分公式及运算法,例5求积分解先将求出的不定积分可以通过求导来验证其是否正确。求出的不定积分可以通过求导来验证其是否正确。例6求积分解例6求积分解例7求积分解例7求积分解例8求积分解将积分拆成两项的和，可得例8求积分解将积分拆成两项的和，可得例9求积分解分子部分减1加1项后,分解被积表达式，得

例9求积分解分子部分减1加1项后,分解被例10求积分解分子部分减1加1项后,分解被积表达式，得

例10求积分解分子部分减1加1项后,分解高等数学--课件-31例11求积分解利用三角公式例11求积分解利用三角公式例12求积分解利用半角公式例12求积分解利用半角公式例13求积分解由倍角公式则例13求积分解由倍角公式例14求积分解由倍角公式则例14求积分解由倍角公式高等数学--课件-31学习动