第七单元：长方形和正方形（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学人教版

第=page11页，共=sectionpages33页第=page11页，共=sectionpages33页长方形和正方形(思维导图+知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析)思维导图思维导图知识梳理知识梳理【长方形的特征及性质】1、长方形特征：是一种平面图形，长方形的四个角都是直角，同时长方形的对角线相等．2、长方形的性质：（1）．长方形的4个内角都是直角；（2）．长方形对边相等；（3）．长方形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线），它至少有两条对称轴．对称中心是对角线的交点．（4）．长方形是特殊的平行四边形，长方形具有平行四边形的所有性质3、长方形的判定：（1）、定义：有一个角是直角的平行四边形是长方形（2）、定理1：有三个角是直角的四边形是长方形4、矩形的面积：S矩形＝长×宽＝ab．【正方形的特征及性质】1．定义：有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．性质：（1）边：两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直（2）内角：四个角都是90°；（3）对角线：对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；（4）对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）．（5）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质．（6）正方形是特殊的长方形．【周长的认识】定义：环绕有限面积的区域边缘的长度积分，叫做周长，也就是图形一周的长度。周长用字母C表示。

2、常用公式：

（1）三角形：C=a+b+c（abc为三角形的三条边）

（2）四边形：C=a+b+c+d（abcd为四边形的边长）

（3）长方形：C=2（a+b）（a为长，b为宽）

（4）正方形：C=4a（a为正方形的边长）

（5）多边形：C=所有边长之和。【长方形的周长】1、计算方法：（1）、周长＝长+宽+长+宽（2）、周长＝长×2+宽×2（3）、周长＝（长+宽）×2．【正方形的周长】正方形周长是围成正方形的边长总和，由于正方形的特征是4条边都相等，所以正方形周长＝边长×4，即用字母表示为c＝4a．典例分析典例分析【典例1】一根铁丝长20米，如果用它围成一个正方形，可以围成一个边长几米的正方形？如果用它围成一个宽4米的长方形，围成长方形的长是多少米？【答案】5米；6米【思路分析】用铁丝围成一个正方形，则正方形的周长就等于铁丝的长度。正方形的边长＝周长÷4，据此求出正方形的边长为20÷4米。用这根铁丝围成一个长方形，则长方形的周长就等于铁丝的长度。长方形的长＝周长÷2－宽，据此求出长方形的长为20÷2－4米。【详解】20÷4＝5（米）20÷2－4＝10－4＝6（米）答：可以围成一个边长为5米的正方形。围成的长方形的长是6米。【名师点评】熟练掌握长方形和正方形的周长公式：长方形的周长＝（长＋宽）×2，正方形的周长＝边长×4。解决类似问题时，应先明确用铁丝围成的长方形和正方形的周长均等于铁丝的长度，再进一步计算。【典例2】王爷爷要围一个长6米，宽3米的长方形小花园，四周围上篱笆，篱笆长多少米？如果一面靠墙，篱笆至少需要多长？【答案】18米；12米；【思路分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据求解篱笆的长度，如果花园的一面靠墙，求篱笆长度至少是多少米，让长方形的长边靠墙，这样篱笆的周长就减少1条长边的距离，据此解答。【详解】（3＋6）×2＝9×2＝18（米）18－6＝12（米）答：篱笆的长度是18米，如果一面靠墙，篱笆至少需要12米。【名师点评】本题考查长方形周长的应用，掌握长方形周长公式是解题的关键。【典例3】小明有4块长60厘米，宽20厘米的长方形木板（如图），小明打算用这4块木板拼成一块大的长方形大木板。有几种不同的拼接方法？拼出的每一个长方形的周长是多少？怎样连接周长最短？【答案】4种；520厘米，280厘米，320厘米，280厘米；第2种和第4种拼法周长最短【思路分析】将这四块长方形木板拼成一个大长方形，可以有以下几种拼法：第一种，拼成长60×4厘米，宽20厘米的长方形，如下所示：第二种，拼成长20×4厘米，宽60厘米的长方形，如下所示：第三种，拼成长60×2厘米，宽20×2厘米的长方形，如下所示：第四种，拼成长60＋20厘米，宽20×3厘米的长方形，如下所示：再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出各个长方形的周长，再比较解答。【详解】第一种拼法：（60×4＋20）×2＝260×2＝520（厘米）第二种拼法：（20×4＋60）×2＝140×2＝280（厘米）第三种拼法，（20×2＋60×2）×2＝160×2＝320（厘米）第四种拼法：（20×3＋60＋20）×2＝140×2＝280（厘米）280＜320＜520答：有4种拼法，每种拼法的长方形周长分别为520厘米，280厘米，320厘米，280厘米。第2种和第4种拼法周长最短。【点精】本题考查长方形的拼组问题，通过画图能帮助学生更好的理解题意，找出拼成长方形的全部拼法。熟练掌握长方形的周长公式：长方形的周长＝（长＋宽）×2。【典例4】为一个长方形花坛加围栏，花坛的长是9米，宽是6米，则围栏的长度至少是多少米？如果花坛的一面靠墙，那么花坛的围栏长度至少是多少米？【答案】30米，21米【思路分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入数据求解围栏的长度，如果花坛的一面靠墙，求花坛的围栏长度至少是多少米，让长方形的长边靠墙，这样围栏的周长就减少1条长的距离，据此解答。【详解】（9＋6）×2＝15×2＝30（米）30－9＝21（米）答：则围栏的长度至少是30米，如果花坛的一面靠墙，那么花坛的围栏长度至少是21米。【名师点评】本题考查长方形周长的应用，掌握长方形周长公式是解题的关键。【典例5】小红做手工裁纸，在一张边长为35厘米的正方形卡纸上剪去两个长为15厘米，宽为6厘米的长方形（如图），剩下的纸的周长是多少厘米？【答案】140厘米【思路分析】根据题意可知：在这个正方形卡纸中剪去两个长为15厘米，宽为6厘米的长方形，面积减少了但周长不变，根据正方形的周长公式：C＝4a，把数据代入公式解答。【详解】35×4＝140（厘米）答：剩下的纸的周长是140厘米。【名师点评】此题主要考查正方形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式，明确：在一个边长为35厘米的正方形卡纸上剪去两个长为15厘米，宽为6厘米的长方形，面积减少了但周长不变。高频考题高频考题1．用两个长是10厘米，宽是5厘米的长方形可以拼成一个长方形，也可以拼成一个正方形。它们的周长分别是多少厘米？2．一张长方形的纸，长30厘米，宽21厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形。正方形的周长是多少厘米？剩下的图形的周长是多少厘米？3．用两个长是8厘米，宽是4厘米的长方形分别拼成一个大长方形或一个正方形。拼成后的长方形或正方形的周长分别是多少？4．如图：在一个围墙边上围了一个正方形的篱笆和一个长方形的篱笆，它们的周长相等。正方形篱笆的边长是6米，长方形篱笆的长是8米，那么长方形篱笆的宽是多少米？5．有两根同样长的铁丝，其中一根围成了一个长7厘米，宽5厘米的长方形，另－根围成了一个正方形。这个正方形的边长是多少厘米？6．李爷爷想在长方形菜地的四周用栅栏围一圈，菜地的长是26米，宽是18米，这里有100米的栅栏，够用吗？7．一块长方形的菜地，长18米，宽9米，这块菜地一面靠墙，其他三面要围上竹篱笆，至少需要竹篱笆多少米？8．王爷爷家的一块一面靠墙的长方形菜地（如图），长19米，宽比长少3米，现在要给其它三面围上篱笆，至少要围多少米的篱笆？9．李伯伯要在墙边围一块长50米，宽20米的长方形地养鸡，这块地一边靠墙，另外三边用篱笆围，有两种围法可以选择（如图），哪一种围法用的篱笆少一些？少用多少米？10．一块长方形菜地，长25米，宽15米，如果在它的四周围成篱笆，篱笆长多少米？如果这块菜地有一面靠墙，围上篱笆至少长多少米？11．老师把同学们的数学作业制作成了一个展示墙。（1）展示墙长40分米，宽20分米。用花边装饰展示墙的四周，花边长多少米？（别忘了单位换算哦！）（2）如果每行贴12份作业，4行粘完，如果每行贴8份，能粘几行？12．小东在一张长20厘米，宽8厘米的长方形彩纸上剪下一个最大的正方形，这个正方形的周长是多少厘米？（先画出最大的正方形）13．王大爷想用篱笆围一块长6米，宽4米的长方形菜地。（一面靠墙）（1）当长方形的长这面靠墙，至少需要多长篱笆？（2）当长方形的宽这面靠墙，至少需要多长篱笆？14．把一块长10米，宽7米的长方形地分成两部分，一部分是最大的正方形，用来种西红柿，另一部分种黄瓜。在黄瓜地的四周围上篱笆，篱笆长多少米？15．一个正方形展示台的边长是90厘米，给它配一块与台面同样大的台布，这块台布的面积是多少平方分米？在它的四周围上一圈玻璃，至少需要多长的玻璃？16．一块长方形菜地一边靠墙（如图），长42米，宽18米，李叔叔给菜地围上篱笆，篱笆至少要多少米？17．一间房间的地面为长方形。现要用边长为80厘米的正方形瓷砖铺地，铺好后，从长的方向数有8块瓷砖，从宽的方向数有4块瓷砖。那么这间房间的地面的周长是多少分米？18．公园正方形花坛边长是15米，四周围了一圈不锈钢栏杆。

（1）花坛的面积是多少平方米？

（2）栏杆总长是是多少米？19．小明的爸爸在河边挖了一块长方形菜地，长8米，宽5米。他用篱笆把不靠河边的三面围了起来，至少得用多少米篱笆？（靠河边的一边较长）20．有一个长方形菜地，长是15米，宽是9米。一面靠墙，其他三面围竹篱笆（如图所示），竹篱笆有多少米？21．两根同样长的铁丝，一根围成了长方形，一根围成了正方形，围成的长方形的长是12厘米，宽是6厘米，围成的正方形的边长是多少？22．学校足球场的边线长90米，端线长45米，如果你沿着足球场的边线和端线走一圈，一共走了多少米？23．一块一面靠墙的长方形菜地（如图），长8米，宽4米，现在要给其它三面围上篱笆，至少要围多少米的篱笆？24．一张长方形纸，长20厘米，宽16厘米。从这张纸上剪下一个最大的正方形。正方形的周长是多少厘米？剩下的图形的周长是多少厘米？25．下面这个图形分别由两个同等大小的长方形木条拼成，已知长方形的长是15分米，求下图的周长是多少米？26．李叔叔用一根铁丝围成一个长12厘米的长方形，这根铁丝刚好可以改围成边长是10厘米的正方形，长方形的宽是多少厘米？27．李阿姨要在一块8分米，宽5分米的长方形桌布上剪下一个最大的正方形，所剩桌布的周长是多少？（先画图，再解答）28．小华家给长方形的院子装上了篱笆墙，由于门宽2米所以篱笆墙共长16米，而这个长方形的宽是长的一半。长和宽各是多少米？29．如图，李爷爷在后院用篱笆围了个长45分米、宽24分米的长方形菜地（其中一面靠墙）。李爷爷围这块菜地用了多长的篱笆？30．把两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来两个正方形的周长的和减少10厘米。原来一个正方形的周长是多少？第=page11页，共=sectionpages22页第=page11页，共=sectionpages22页答案解析答案解析1．长方形的周长50厘米；正方形的周长40厘米【思路分析】把长方形的两条宽拼在一起就能拼出一个长方形，长是20厘米、宽5厘米；把两条长边拼在一起就能拼出一个边长10厘米的正方形。由此分别计算周长即可。【详解】（10＋10＋5）×2＝25×2＝50（厘米）10×4＝40（厘米）答：长方形的周长是50厘米；正方形的周长是40厘米。【名师点评】明确拼成的长方形的长、宽或正方形的边长是多少是解答本题的关键。2．84厘米；60厘米；【思路分析】从一个长方形上剪去一个最大的正方形，则正方形的边长等于原长方形的宽，正方形的周长＝边长×4，依此计算出正方形的周长；剩下部分为长方形，用原来长方形的长减去长方形的宽计算出剩下的长方形的长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此计算出剩下部分的周长即可。【详解】如图所示：21×4＝84（厘米）30－21＝9（厘米）（9＋21）×2＝30×2＝60（厘米）答：正方形的周长是84厘米，剩下的图形的周长是60厘米。【名师点评】此题考查的是平面图形的分割，以及正方形和长方形的周长的计算，应熟记：长方形的周长＝（长＋宽）×2，正方形的周长＝边长×4。3．40厘米、32厘米【思路分析】根据题意可知，拼成的长方形的长是2个8厘米，宽是4厘米，拼成的正方形的边长是8厘米（图见详解），长方形的周长＝（长＋宽）×2，正方形的周长＝边长×4，依此进行计算。【详解】拼图如下：（8＋8＋4）×2＝（16＋4）×2＝20×2＝40（厘米）8×4＝32（厘米）答：拼成后的长方形的周长是40厘米，正方形的周长是32厘米。【名师点评】此题考查的是组合图形周长的计算，熟练掌握长方形和正方形的周长的计算，是解答此题的关键。4．5米【思路分析】在一个围墙边上围了一个正方形的篱笆和一个长方形的篱笆，它们的周长是3条边的长度，正方形篱笆的边长是6米，正方形篱笆长＝边长×3＝6×3＝18（米），又因为它们的周长相等，所以长方形篱笆长也为18米，长方形篱笆的长是8米，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，可得长方形篱笆的宽是（18－8）÷2米；据此解答。【详解】（3×6－8）÷2＝（18－8）÷2＝10÷2＝5（米）答：长方形篱笆的宽是5米。【名师点评】此题主要考查正方形、长方形周长公式的灵活运用，关键是熟记公式。注意：靠墙一边不用计入周长。5．6厘米【思路分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出长方形的周长，也就是铁丝的长度。再根据正方形的边长＝周长÷4，求出这个正方形的边长。【详解】（7＋5）×2＝12×2＝24（厘米）24÷4＝6（厘米）答：这个正方形的边长是6厘米。【名师点评】本题考查长方形和正方形周长公式的实际应用，关键是熟记公式。6．够用【思路分析】求所用栅栏的长度就是求这个长方形的周长，据此利用长方形的周长公式：周长＝（长＋宽）×2，代入数值计算即可。【详解】（米）答：有100米的栅栏够用。【名师点评】此题主要考查长方形周长的计算，根据公式解答即可。7．36米【思路分析】菜地的长边靠墙，使用的竹篱笆最少，竹篱笆的长度为菜地的长加2个宽的长度，据此即可解答。【详解】18＋9×2＝18＋18＝36（米）答：至少需要竹篱笆36米。【名师点评】要使竹篱笆最少，菜地的长边就要靠墙，这是解答本题的关键。8．51米【思路分析】当长方形的一条长靠墙时，围成的篱笆最少；先用19减去3，求出长方形的宽；再用1条长加上2条宽的长度，求出至少要围多少米的篱笆。【详解】19－3＝16（米）19＋2×16＝19＋32＝51（米）答：至少要围51米的篱笆。【名师点评】解答此题的关键是明确当长方形的一条长靠墙时，围成的篱笆最少。9．第一种围法；30米【思路分析】第一种围法，长边靠墙，篱笆长度为长＋2×宽。第二种围法，宽边靠墙，篱笆长度为宽＋2×长。再将两种围法用的篱笆长度比较大小，最后求出它们的差，即少用多少米。【详解】第一种围法：50＋2×20＝50＋40＝90（米）第二种围法：20＋2×50＝20＋100＝120（米）90米＜120米120－90＝30（米）答：第一种围法用的篱笆少一些，少用30米。【名师点评】本题考查长方形的周长公式的灵活运用，长边靠墙时，篱笆最短。宽边靠墙时，篱笆最长。10．80米；55米【思路分析】（1）根据长方形的周长公式C＝（a＋b）×2，把菜地的长25米，宽15米代入公式即可求出篱笆的长；（2）如果一面靠墙，要求篱笆至少所用的米数，也就是菜地的长边靠墙，需要的篱笆的米数最少；由此解答。【详解】（25＋15）×2＝40×2＝80（米）25＋15×2＝25＋30＝55（米）答：篱笆长80米；如果这块菜地有一面靠墙，围上篱笆至少长55米。【名师点评】此题主要考查长方形周长公式的实际应用；注意要求一面靠墙，篱笆至少长多少米，就是长边靠墙；由此解决问题。11．（1）12米；（2）6行【思路分析】（1）计算花边长也就是求长方形的周长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此计算，最后将单位化成米，10分米＝1米，依此换算。（2）先用12乘4计算出展示墙能展示作业的总份数，然后用展示墙能展示作业的总份数除以8即可，依此计算。【详解】（1）（40＋20）×2＝60×2＝120（分米）120分米＝12米答：花边长12米。（2）12×4＝48（份）48÷8＝6（行）答：如果每行贴8份，能粘6行。【名师点评】此题考查的是归总问题的计算，以及长方形的周长的计算，分米与米之间的换算，应熟练掌握。12．32厘米【思路分析】从长方形纸上剪下最大的正方形，则这个正方形的边长等于长方形的宽。根据正方形的周长＝边长×4解答。【详解】8×4＝32（厘米）答：正方形的周长是32厘米。【名师点评】解决本题的关键是明确最大正方形的边长等于长方形的宽。13．（1）14米（2）16米【思路分析】（1）当长方形的长这面靠墙，所需篱笆的长度等于这个长方形的一条长边与两条宽边的和；据此列式计算即可。（2）当长方形的宽这面靠墙，所需篱笆的长度等于这个长方形的两条长边与一条宽边的和；据此列式计算即可。【详解】（1）6＋4×2＝6＋8＝14（米）答：至少需要14米篱笆。（2）6×2＋4＝12＋4＝16（米）答：至少需要16米篱笆。【名师点评】此题主要考查长方形的周长公式的灵活运用，画图能更好的理解题意。14．20米【思路分析】篱笆的长＝（黄瓜地的长＋黄瓜地的宽）×2；其中，黄瓜地的长＝长方形地的宽，黄瓜地的宽＝长方形地的长－长方形地的宽。【详解】10－7＝3（米）（7＋3）×2＝10×2＝20（米）答：篱笆长20米。【名师点评】本题的重点是求出黄瓜地的宽是多少米，再根据长方形的周长公式进行计算。15．81平方分米；36分米【思路分析】先把单位进行换算，即90厘米＝9分米，那么台布的面积＝边长×边长，玻璃的长度＝边长×4，据此作答即可。【详解】90厘米＝9分米9×9＝81（平方分米）9×4＝36（分米）答：这块台布的面积是81平方分米，在它的四周围上一圈玻璃，至少需要36分米的玻璃。【名师点评】本题考查的是正方形的周长和面积的计算，注意单位的统一。16．78米【思路分析】一边靠墙，那么所需要的篱笆长度是其余三条边的长度之和，直接相加即可。【详解】42＋18＋18＝78（米）答：篱笆至少要78米。【名师点评】求这种不规则图形，可以从周长的定义入手，将一周的长度相加即可。17．192分米【思路分析】用80分别乘8和4计算出长方形的长和宽，长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此计算出这间房间的地面的周长，最后将单位化成分米即可，10厘米＝1分米，依此换算。【详解】80×8＝640（厘米）80×4＝320（厘米）（320＋640）×2＝960×2＝1920（厘米）1920厘米＝192分米答：这间房间的地面的周长是192分米。【名师点评】此题考查的是长方形的周长的计算以及分米、厘米的换算，应先分别计算出长方形的长、宽再解答。18．（1）225平方米（2）60米【思路分析】（1）根据正方形的面积公式：S＝a2代入数据进行解答；（2）根据正方形的周长公式：S＝4a代入数据进行解答。【详解】（1）15×15＝225（平方米）答：花坛的面积是225平方米。（2）15×4＝60（米）答：栏杆总长是60米。【名师点评】本题主要考查了学生对正方形周长和面积公式的灵活运用情况。19．18米【思路分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，靠河边的一边较长，即菜地长边靠河边，篱笆长度为长＋2×宽。【详解】5×2＋8＝10＋8＝18（米）答：至少得用18米篱笆。【名师点评】本题考查长方形周长公式的实际应用，关键是明确篱笆长度为长＋2×宽。20．39米【思路分析】根据题图可知，菜地的宽边靠墙，则竹篱笆的长度为2×长＋宽，据此解答即可。【详解】2×15＋9＝30＋9＝39（米）答：竹篱笆有39米。【名师点评】本题考查长方形周长公式的灵活运用。长方形的周长＝（长＋宽）×2。解决本题时应注意菜地一面靠墙，则竹篱笆的长度为剩下三边长度和。21．9厘米【思路分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此先计算出长方形的周长，然后用长方形的周长除以4即可。【详解】（12＋6）×2＝18×2＝36（厘米）36÷4＝9（厘米）答：围成的正方形的边长是9厘米。【名师点评】此题考查的是长方形的周长的计算，以及根据正方形的周长计算边长，应熟练掌握。22．270米【思路分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此求出足球场的周长，也就是沿着足球场走一圈的路程。【详解】（90＋45）×2＝135×2＝270（米）答：一共走了270米。【名师点评】熟练掌握长方形的周长公式，灵活运用公式解决问题。23．16米【思路分析】由图示可知，长方形菜地的长边靠墙，要给其它三面围上篱笆，则篱笆的长度为1条长边和2个宽边之和。【详解】4＋4＋8＝16（米）答：至少要围16米的篱笆。【名师点评】本题考查长方形周长的实际应用，明确靠墙一边不需要篱笆是解答此题的关键。24．64厘米；40厘米【思路分析】根据题意可知：从这张纸上剪下一个最大的正方形，所剪正方形的边长等于长方形的宽，根据正方形的周长公式：C＝4a，把数据代入公式即可求出正方形的周长；剩下部分还是长方形，长是16厘米，宽是4厘米，根据长方形的周长公式：C＝（a＋b）×2，把数据代入公式解答。【详解】16×4＝64（厘米）（20－16＋16）×2＝（4＋16）×2＝20×2＝40（厘米）答：正方形的周长是64厘米；剩下的