江苏省盐城市八校2024-2025学年高三上学期开学考试数学试题（解析版）

2024~2025学年第一学期高三年级考试数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数与导数.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据一元二次不等式的解法求出集合的取值范围，然后根据交集的概念即可求解.【详解】因为，所以.故选:B.2.已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据对数函数单调性，结合对数运算性质以及指数函数单调性即可比较出大小关系.【详解】因为，所以.故选C.3.函数的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性排除选项C，D；再利用特殊值排除选项B即可求解．【详解】∵，定义域为，又，可知函数为奇函数，故排除选项C，D；又由时，，，有，，可得；当时，，，有，，可得；故当时，，故排除选项B；而A选项满足上述条件，故A正确．故选:A．4.函数的一个零点所在的区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断.【详解】因为的定义域为，且在内单调递增，可知在内单调递增，且，所以函数的唯一一个零点所在的区间是.故选：B5.已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得在R上单调递增，即可得求解.【详解】当时，的对称轴为，故在上单调递增.函数在处连续，又是定义域为R的奇函数，故在R上单调递增.因为f-x=-fx又因为在R上单调递增，所以，解得.故选：D6.已知条件，条件，若p是q的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求解命题中涉及的不等式，根据题意可得相应集合的包含关系，列出不等式组，即可求得答案.【详解】由，得，所以，由，得，所以，因为p是q的必要而不充分条件，所以，则，解得，故选：C.7.在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为，则经过一定时间，即分钟后的温度满足称为半衰期，其中是环境温度.若，现有一杯的热水降至大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（）（参考数据：）A.8分钟 B.9分钟 C.10分钟 D.11分钟【答案】C【解析】【分析】依题意分别将各组温度数据代入表达式，得出方程组再利用对数运算法则即可求得结果.【详解】根据题意得，即；则，所以，可得，两边取常用对数得，故选：C.8.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，将问题转化为存在唯一的整数使得在直线下方，再借助导数探讨求解作答.【详解】令，，显然直线恒过点，则“存在唯一的整数，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线下方”，，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，则当时，，当时，，而，即当时，不存在整数使得点在直线下方，当时，过点作函数图象的切线，设切点为，则切线方程为：，而切线过点，即有，整理得：，而，解得，因，又存在唯一整数使得点在直线下方，则此整数必为2，即存在唯一整数2使得点在直线下方，因此有，解得，所以的取值范围是.故选：D【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标，求导并求出切线方程，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知集合，，则下列命题中正确的是（）A.若，则B若，则C.若，则D.若，则【答案】AB【解析】【分析】讨论，求集合B，在结合集合关系在各选项的条件下列不等式求的范围，由此可判断各选项.【详解】.当时，；当时，；当时，.对于选项A，若，则，，故正确.对于选项B，若，则，故，故正确.对于选项C，若，则，故，故错误.对于选项D，若，则，故错误.故选：AB.10.下列说法正确的是（）A.命题，，则命题的否定为，B.“”是“”成立的充要条件C.函数的最小值是D.“”是“函数的零点个数为2”成立的充要条件【答案】AC【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断A，根据必要条件的定义和不等式的性质判断B，设，结合对勾函数性质求函数的最小值，判断C，根据零点的定义，结合指数函数和对数函数图象判断D.【详解】对于A，，，故A正确；对于B，若，，则，所以“”不是“”成立必要条件，故B错误；对于C，设，则，，设，，由对勾函数的性质可得，函数在上单调递增，所以，当且仅当时取等号，所以当时，取最小值，最小值为，故C正确；对于D，令，则，当时，作出函数，的图象，由图可知函数的图象有两个交点，所以当时，函数的零点个数为2；当时，作出函数，的图象，由图可知函数，的图象有1个或2个或3个交点，所以当时，函数的零点个数为1或2或3，所以“”是“函数的零点个数为2”成立的充分不必要条件，故D错误.故选：AC.11.已知函数，则下列选项中正确的是（）A.函数的极小值点为B.C.若函数有4个零点，则D.若，则【答案】AC【解析】【分析】求导，利用导数判断的单调性和最值，可得的图象，进而可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，与有2个交点，结合的图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明.【详解】由题意可知：的定义域为，且，令，解得；令，解得；可知在内单调递减，在内单调递增，则，且当趋近于0或时，趋近于，可得函数的图象，如图所示：对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确；对于选项B：因为，且在内单调递增，所以，故B错误；对于选项C：令，可得，可知函数有4个零点，即与有4个交点，且的定义域为，且，可知为偶函数，且当时，原题意等价于当时，与有2个交点，由题意可知：，故C正确；对于选项D：设，则，可知在内单调递增，则，即，若，不妨设，则，且，且在内单调递增，则，所以，故D错误；故选：AC.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形；（2）构造新的函数；（3）利用导数研究的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的单调性，列出不等式，求解即可.【详解】根据题意，，解得，故实数的取值范围为.故答案为：.13.已知，，且，则的最小值为__________.【答案】##2.25【解析】【分析】由基本不等式“1”的妙用求解即可．【详解】因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.故答案为：.14.已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围是_________．【答案】【解析】【分析】作出函数的图象，运用数形结合法求解本题.【详解】设，由图可知，，解得，由二次函数的对称性可知，的解、满足，即且，所以，因为在上单调递增，所以，故的取值范围是．故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知命题：“，”为假命题，设实数的所有取值构成的集合为.（1）求集合；（2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）为假命题时，既可转化为关于的一元二次方程无解，然后利用判别式即可；（2）由是的必要不充分条件可得，然后分为空集和非空集两种情况讨论即可.【小问1详解】因为命题为假命题，故关于的一元二次方程无解，即，解得，故集合；【小问2详解】由是的必要不充分条件，可知，当时，既，解得，此时满足，当时，如图所示，故且等号不同时成立，解得，综上所述，的取值范围是.16.已知函数（且）.（1）当时，写出函数的单调区间，并用定义法证明；（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）增区间，减区间为；证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）求得的定义域，运用复合函数的单调性，结合对数函数和二次函数的单调性，可得所求单调区间，再由单调性的定义证明；（2）由二次函数的值域和对数函数的单调性，求得的最小值，解不等式，可得所求范围.【详解】（1）由可得，则的定义域为，，当时，的增区间为，减区间为.证明：设，的增区间为，减区间为，当时，设，可得，，即，可得在递增；设，可得，，即，可得在递减.（2）由，，可得，所以，即为，解得，即的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设是该区间内的任意两个值，且；（2）作差变形：即作差，即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论即取值---作差----变形----定号----下结论.17.已知函数.（1）若的图缘在点处的切线经过点，求；（2）为的极值点，若，求实数的取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即可求解作答.（2）利用极值点的意义，结合韦达定理、根的判别式列出不等式，求解作答.【小问1详解】函数，求导得，于是函数的图象在点处的切线方程为，即，而切线过点，因此，整理得，解得或，所以或.【小问2详解】由（1）知，方程，即有两个不等实根，则，解得，且，于是，由，得，解得，因此，所以实数的取值范围是.18.已知奇函数，函数的最大值为.（1）求实数的值；（2）求；（3）令，若存在实数，，当函数的定义域为时，值域也为，求实数，的值.【答案】（1）1；（2）；（3），.【解析】【分析】（1）由奇函数得到，解出a；（2）先判断出函数f(x)在为增函数，求出f(x)的范围，由，利用“轴动区间定（3）由（2）知，先求出的解析式，由在区间单调递增，分三种情况：①当，②当，③当时，由值域也为建立方程组求出实数，的值.【详解】解：（1）对于奇函数，由，得，故实数的值为1（2）由（1）有，因为在上单增，所以在上单增，由，所以在上单减，所以在上单增，所以函数f(x)在为增函数又由，，有由①当即，②当时，，③当时，，故有（3）由（2）知，，可得，必有由函数在区间单调递增，有如下三种情况：①当时，有，解得，符合题意②当时，有，解得，舍去③当时，有，解得，舍去由上知，.19.已知函数，且．（1）讨论的单调性；（2）比较与的大小，并说明理由；（3）当时，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2），理由见解析（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）分析题意，根据参数的不同范围，含参利用导数讨论单调性即可.（2）根据（1）可知，当时，，，代值进行比较即可.（3）设，则，分不同情况讨论，利用放缩法结合裂项相消法证明不等式即可.【小问1详解】易