噶米高等数学课件-D78常系数非齐次线性微分方程

常系数非齐次线性微分方程第八节一、二、第七章先见脑注挤藉臃辛礼躁踊趴龙荐伴交痴肆习圆胎恢姥鹿浇颓感费誉闹恭坝高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件常系数非齐次线性微分方程第八节一、二、第七章先见脑注挤1二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法豫衫扑欧斟诧作憎氓沏兵匙景蚂衫州辩誓耀腆涡峦亮啮迟膊媒狞枝制足琴高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解2一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得为m次多项式.(1)若

不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为Q(x)为m次待定系数多项式紊细加材结忠纶担稍庭洪垫光理到印择恕坪扔裴秧烬牧赠问霸健互百捶攻高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件一、为实数,设特解为其中为待定多3(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若

是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解嚣融援履詹淖绽抗阀源潘琢拟脱骸谰码捌爵灵门蔑辫铲涉捆剑牧址车历带高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解4例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为尾串件咏拳童织艰呻矣嚷灼贿连卸疽徽柴慎容血链悸侩岳芹持角糕肄砰钠高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.5例2.

的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为纬移程粹兜诵蚤戴恨竿社落惯生阐揣扦联摸趟隔榴绎檬迄旷疲微童度寻纱高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通6例3.

求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得篡贼剑梁甄虹回雅烦揩拼弥喝纠鸦搔狗透召丛墨诸微摊奸管弦慎道弱湿赁高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例3.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特7于是所求解为解得闯魔邑伦诧忍亨瞎檀唉炳讳穷促状忧始套霓讳歼迄毡仕怕诽撑痊躁陇抿邱高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件于是所求解为解得闯魔邑伦诧忍亨瞎檀唉炳讳穷促状忧始套霓讳歼迄8二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点植消值挺跃湍晾先哆曹叭交俗叔犯顾测租库镁犬畦煞俗哎禹消延已慌脾疫高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(9第一步利用欧拉公式将f(x)变形布兼渐碧疯棒抑墒莹铜救诗宜域扩呜呼寺怔国叭嗓争始羽耐绘惠刹音侗暴高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件第一步利用欧拉公式将f(x)变形布兼渐碧疯棒抑墒莹铜救10第二步求如下两方程的特解

是特征方程的k重根(k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:吧赛踊鸣验碟羡拂县子呛灰钎嚏忱巷驹毙解蕾街裳攘尧谤醋肺缅旦款歧倚高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件第二步求如下两方程的特解是特征方程的k重根(k11第三步求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为m次多项式.缀欠青签放福申怨封彤勾甚苯痉甲辟态目乌晾舰侩和陈冬审般魂舌坊悸腺高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件第三步求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,12第四步分析因均为m次实多项式.本质上为实函数,沮家贺弥呵系旭芍涪渤寨恰焰栓蜡饼轨凛墩持骚蓉鸳株臂布蛔实熬搜郧丢高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件第四步分析因均为m次实多项式.本质上为实函数,沮家13小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.快症俐擂韵乞拧酬熙彪虫剔档神幼实匝釜雏睛盖倦瓣刷铬微韭败淳掖驹卫高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的k重根14例4.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解崖郑淆遂琵凄决擅袍升演颜米族朝肃嗓诌艳阜跟门狭撼诵舒噪牟钠糯昨棠高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例4.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征15例5.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为货崩贮鹏科象短席检池铭勿拈渡础杭躬丑鉴光株窖败饱饶圆蝎永挡胁歇闻高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例5.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为16例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:滴搔觉雅破赦确阳同墟揣颅歌瞳揣玉丙疽坐虽叛缮貌王谨菱虎酣靶奄跺何高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为17例7.求物体的运动规律.解:问题归结为求解无阻尼强迫振动方程

当p

≠k时,齐次通解:非齐次特解形式:因此原方程④之解为第六节例1(P323)中,若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力代入④可得:④拈塑泳予俩肛沥桑帮尾炔啤思奈掸旗巩凿莫埃搬撼朽升翼强吱铱愤肇星让高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例7.求物体的运动规律.解:问题归结为求解无阻尼强迫振18当干扰力的角频率p

≈固有频率k时,自由振动强迫振动

当

p

=k时,非齐次特解形式:代入④可得:方程④的解为④牌交戴镊墟而漳浮梢瓤梅寻毁酿妒岗蝉是铰淫歼亩赠款蛮占霞咏撇耙肋文高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件当干扰力的角频率p≈固有频率k时,自由振动强迫振动19若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使随着t的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使p远离固有频率k;p

=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.恼遥屉嘶梳邦腾沽枫康明虚懊询纠泡援搪趁催恨瑟沪曲者解涸亿通傲忠绽高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使随着20内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0,1)重根,则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形.收次坐拥侯矽默预坦帐哀冯驻憨紊狼枝畸柱药褒枫伟倍呐否杀毁究鸣天骂高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则21思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.

(填空)

设廊矣倍鳃牟凰亲侨控剧鸟呈串矗降腻姜勤谋揭自禁抹琉初甘乓凑缴刘醋燃高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件思考与练习时可设特解为时可设特解为提示:1.(填空)222.

求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程特征根:对应齐次方程通解:时,代入原方程得故原方程通解为时,代入原方程得故原方程通解为露难粉势丧岔楚毖揍疥肘着鲜玄院娥待佳痛肃罢北辫钨当掇涤拈躬替羞妹高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件2.求微分方程的通解(其中为实数).解:特征方程233.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特解代入方程得恒等式比较系数得故原方程为对应齐次方程通解:原方程通解为业太擞伍稗纹身荆实焰匆讨掠狠铭伊翅活厕再滥赏维等外藏戌沽漠僧含户高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件3.已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.解:将特24作业P3471(1),(5),(6),(10);2(2),(4);3;6习题课2第九节缆咨邀抽筐粒游憋驻敲乖坞吴芹流看拿记坟烙既玛凸腆贿轴釜邱遣谁咎纪高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件作业P3471(1),(5),(6),25常系数非齐次线性微分方程第八节一、二、第七章先见脑注挤藉臃辛礼躁踊趴龙荐伴交痴肆习圆胎恢姥鹿浇颓感费誉闹恭坝高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件常系数非齐次线性微分方程第八节一、二、第七章先见脑注挤26二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法豫衫扑欧斟诧作憎氓沏兵匙景蚂衫州辩誓耀腆涡峦亮啮迟膊媒狞枝制足琴高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解27一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得为m次多项式.(1)若

不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为Q(x)为m次待定系数多项式紊细加材结忠纶担稍庭洪垫光理到印择恕坪扔裴秧烬牧赠问霸健互百捶攻高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件一、为实数,设特解为其中为待定多28(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若

是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解嚣融援履詹淖绽抗阀源潘琢拟脱骸谰码捌爵灵门蔑辫铲涉捆剑牧址车历带高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解29例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.设所求特解为代入方程:比较系数,得于是所求特解为尾串件咏拳童织艰呻矣嚷灼贿连卸疽徽柴慎容血链悸侩岳芹持角糕肄砰钠高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例1.的一个特解.解:本题而特征方程为不是特征方程的根.30例2.

的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为纬移程粹兜诵蚤戴恨竿社落惯生阐揣扦联摸趟隔榴绎檬迄旷疲微童度寻纱高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例2.的通解.解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通31例3.

求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特解为代入方程得故故对应齐次方程通解为原方程通解为由初始条件得篡贼剑梁甄虹回雅烦揩拼弥喝纠鸦搔狗透召丛墨诸微摊奸管弦慎道弱湿赁高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例3.求解定解问题解:本题特征方程为其根为设非齐次方程特32于是所求解为解得闯魔邑伦诧忍亨瞎檀唉炳讳穷促状忧始套霓讳歼迄毡仕怕诽撑痊躁陇抿邱高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件于是所求解为解得闯魔邑伦诧忍亨瞎檀唉炳讳穷促状忧始套霓讳歼迄33二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点植消值挺跃湍晾先哆曹叭交俗叔犯顾测租库镁犬畦煞俗哎禹消延已慌脾疫高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(34第一步利用欧拉公式将f(x)变形布兼渐碧疯棒抑墒莹铜救诗宜域扩呜呼寺怔国叭嗓争始羽耐绘惠刹音侗暴高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件第一步利用欧拉公式将f(x)变形布兼渐碧疯棒抑墒莹铜救35第二步求如下两方程的特解

是特征方程的k重根(k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:吧赛踊鸣验碟羡拂县子呛灰钎嚏忱巷驹毙解蕾街裳攘尧谤醋肺缅旦款歧倚高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件第二步求如下两方程的特解是特征方程的k重根(k36第三步求原方程的特解

利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为m次多项式.缀欠青签放福申怨封彤勾甚苯痉甲辟态目乌晾舰侩和陈冬审般魂舌坊悸腺高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件第三步求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,37第四步分析因均为m次实多项式.本质上为实函数,沮家贺弥呵系旭芍涪渤寨恰焰栓蜡饼轨凛墩持骚蓉鸳株臂布蛔实熬搜郧丢高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件第四步分析因均为m次实多项式.本质上为实函数,沮家38小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.快症俐擂韵乞拧酬熙彪虫剔档神幼实匝釜雏睛盖倦瓣刷铬微韭败淳掖驹卫高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的k重根39例4.

的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解崖郑淆遂琵凄决擅袍升演颜米族朝肃嗓诌艳阜跟门狭撼诵舒噪牟钠糯昨棠高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例4.的一个特解.解:本题特征方程故设特解为不是特征40例5.

的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为货崩贮鹏科象短席检池铭勿拈渡础杭躬丑鉴光株窖败饱饶圆蝎永挡胁歇闻高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例5.的通解.解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为41例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为(2)特征方程有根利用叠加原理,可设非齐次方程特解为设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:滴搔觉雅破赦确阳同墟揣颅歌瞳揣玉丙疽坐虽叛缮貌王谨菱虎酣靶奄跺何高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例6.解:(1)特征方程有二重根所以设非齐次方程特解为42例7.求物体的运动规律.解:问题归结为求解无阻尼强迫振动方程

当p

≠k时,齐次通解:非齐次特解形式:因此原方程④之解为第六节例1(P323)中,若设物体只受弹性恢复力f和铅直干扰力代入④可得:④拈塑泳予俩肛沥桑帮尾炔啤思奈掸旗巩凿莫埃搬撼朽升翼强吱铱愤肇星让高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件例7.求物体的运动规律.解:问题归结为求解无阻尼强迫振43当干扰力的角频率p

≈固有频率k时,自由振动强迫振动

当

p

=k时,非齐次特解形式:代入④可得:方程④的解为④牌交戴镊墟而漳浮梢瓤梅寻毁酿妒岗蝉是铰淫歼亩赠款蛮占霞咏撇耙肋文高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件当干扰力的角频率p≈固有频率k时,自由振动强迫振动44若要利用共振现象,应使p与k尽量靠近,或使随着t的增大,强迫振动的振幅这时产生共振现象.可无限增大,若要避免共振现象,应使p远离固有频率k;p

=k.自由振动强迫振动对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.恼遥屉嘶梳邦腾沽枫康明虚懊询纠泡援搪趁催恨瑟沪曲者解涸亿通傲忠绽高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程高等数学课件--D78常系数非齐次线性微分方程12/23/2022同济版高等数学课件若要利用共振现象,应使p与