专题08几何图形中运动变化问题研究(解析版)

专题八：几何图形中运动变化问题研究【题型导引】题型一：动点问题动态型试题一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类试题，常见的运动对象有点动、线动、图动；其运动形式有平动、旋转、翻折、滚动等.动态型试题其特点是集几何、代数知识于一体，数形结合，有较强的综合性•题目灵活多变，动中有静，动静结合.（1）动中求静，即在运动变化中探索问题中的不变性； （2）动静互化，抓住“静”的瞬间，找出导致图形或变化规律发生改变的特殊时刻；同时在运动变化的过程中寻找不变性及变化规律.题型二：动线问题动线问题主要和旋转变换结合，在处理此类问题上要注意进行转化，化动为静，利用变换的性质解答即可。题型三：动面问题面的转动问题注意转化为静态问题来研究，转动后的与之前的在性质上形成新的图形，结合图形特点进行解答。【典例解析】类型一：动点问题例题1:（2019?湖南衡阳？3分）如图，在直角三角形ABC中，/C=90°,AC=BC,E是AB的中点，过点E作AC和BC的垂线，垂足分别为点D和点F,四边形CDEF沿着CA方向匀速运动，点C与点A重合时停止运动，设运动时间为t，运动过程中四边形CDEFW^ABC的重叠部分面积为S.则S关于t的函数图象大致为（）•••△ABC是等腰直角三角形,ABC中，/C=90°,AC=BC,•/EF±BC,ED丄AC,•••四边形EFCD是矩形，•••E是AB的中点，1 1EF=—ACDE=-BC,2 2EF=ED,•四边形EFCD是正方形，设正方形的边长为a,1如图1当移动的距离va时，S=正方形的面积-△EE'H的面积=a2- t2;212122当移动的距离〉a时，如图2,S=Saach=_(2a-1)=_t-2at+2a,22S关于t的函数图象大致为C选项，故选：C.技法归纳：解答此类问题的策略可以归纳为三步：“看” “写” “选”.(1)“看”就是认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点 (时刻)是特殊点(时刻)，这是准确解答的前提和关键；(2)“写”就是计算、写出动点在不同路段的函数解析式，注意一定要注明自变量的取值范围，求出在特殊点的函数数值和自变量的值； (3)“选”就是根据解析式选择准确的函数图象或答案，多用排除法。首先，排除不符合函数类形的图象选项，其次，对于相同函数类型的函数图象选项，再用自变量的取值范围或函数数值的最大和最小值进行排除，选出准确答案.类型二：动线问题例题2:如图，直线I的解析式为y=—x+4，它与x轴，y轴分别相交于A,B两点.平行于直线I的直线m从原点0出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴，y轴分别相交于MN两点,设运动时间为t秒(0<t<4).求A,B两点的坐标；用含t的代数式表示△MON勺面积S1；⑶以MN为对角线作矩形OMPN记厶MPN^AOAB重合部分的面积为S,①当2<t<4时，试探究S与t之间的函数关系式;②在直线m的运动过程中，当5②在直线m的运动过程中，当5t为何值时，S2为AOAB面积的16?(2)TMN/AB,「.ON=OB=1，二OM=0N=t S=；OMON=；t2;ONOB 2 2⑶①当2<t<4时，易知点P在厶⑶①当2<t<4时，易知点P在厶OAB的外面，则设点P的坐标为(t,t),F点的坐标满足x=t,y=-t+4,即F(t,4-1)，同理E(4-1,t)，则PF=PE=|t—(4—t)|=2t—4,所以S2=Sampn—Sapef=Saom—1Sapef=t2TOC\o"1-5"\h\z2 1 32—2PE-PF=2t—2(2t—4)(2t—4)=-2t+8t—8;12 5 1 5 厂 厂②当0<t<2时，S2=2t=1gX2X4X4=2，解得11=—5<0,t2=5>2,两个都不合题意，舍去；当3 2 5 7 7 52<t<4时，S2=— +8t—8=2，解得13=3, 14=3，综上得，当t=3或t=3时，S2为△ OAB的面积的代.技法归纳：解答此类题先要画出各个关键时刻的图形，再由“动”变“静”设法分别求解•用分类思想画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮助我们理清思路，突破难点.类型三：动面问题例题3:如图1,在Rt△ABC中，/A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上，AD=AE连接DC点M,P,N分别为DE,DCBC的中点.(1)观察猜想图1中，线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;

⑵探究证明把厶ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MNBD,CE,判断△PMN勺形状，并说明理由;(3)拓展延伸把厶(3)拓展延伸把厶ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.【解析】：(1)PM=PNPMLPN详解:••【解析】：(1)PM=PNPMLPN详解:•••点P,N是DCBC的中点,•••PN//BD,PN=；BD•••点P,M是CDDE的中点,•••PM//CE,PM= •/AB=AC,AD=AE,•BD=CE,•••PM//CE,•PM=PIN•/PN//BD DPN=ZADCT•PM=PIN•••/DPM=ZDCAI/BAC=90°, ADO/ACD=90°,•••/MP=/DPW/DPN=/DCAbZADC=90°,•PMLPN;49(3)2详解：如图，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形,•MN最大时，△PMN的面积最大，•DE//BC且DE在顶点A上面,MN最大=AWAN连接AMAN,心ADE中,AD=AE=4,/DAE=90°,AM=22,在Rt△ABC中，AB=AC=10,AN=52,MN最大=22+52=72,• pmn最大=*pM=1X*mN=4x(7寸2)2=49.技法归纳：认真观察几何图形，彻底弄清楚动点从何点开始出发，运动到何点停止，整个运动过程分为不同的几段，何点（时刻）是特殊点（时刻），这是准确解答的前提和关键。【变式训练】1.如图，AB是半径为1的OO上两点，且OMOB点P从点A出发，在OO上以每秒一个单位长度的速度匀速运动，回到点A运动结束，设运动时间为x（单位：x），弦BP的长为y，那么下列图象中可能表示y【答案】D【解析】分两种情形讨论当点 P顺时针旋转时，图象是③，当点 P逆时针旋转时，图象是①，由此即可解决问题•当点P顺时针旋转时，图象是③，当点P逆时针旋转时，图象是①，点P在BC点P在BC上运动（不与重合），过点P作PQLEP,交CD于点Q,贝UCQ的最大值为4B、C【答案】4【解答】解：•••/BEP亡BPE=90°,/QPC+ZBPE=90°,•••/BEP=/CPQ又/B=/C=90°,•••△BPE^ACQP•丄二丄…卜「一「设CQ=y,BP=x，贝UCP=12-x.••g丿，化简得y=-L(x2-12x),12-yy 9整理得y=-丄(x-6)2+4,g所以当x=6时，y有最大值为4.故答案为4.3.(2019?湖北省咸宁市？3分)如图，先有一张矩形纸片 ABCDAB=4,BC=8,点MN分别在矩形的边AD,BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P,点D落在G处，连接PC,交MN于点Q连接CM下列结论：CQ=CD四边形CMPN是菱形；P,A重合时，MN=2 ";厶PQM的面积S的取值范围是3<SW5.BXBX【解答】解：如图1,G•/PM//CN•••/PMN=ZMNC•••/MNC=ZPNM•••/PMN=ZPNMPM=PN•/NC=NP,PM=CN•/MP//CN•四边形CNPM是平行四边形，•/CN=NP,•四边形CNPM是菱形,故②正确；CP丄MN,/BCP=ZMCP/MQ=/D=90°,•/CP=CP,若CQ=CD贝yRt△CMQR^CMD/DCI\=ZQCM=ZBCP=30°,这个不一定成立,故①错误；点P与点A重合时，如图2,NI：设BNkx，贝UANkNC=8-xNI：设BNkx，贝UANkNC=8-x,在Rt△ABN中，A£+BN=AN,即42+x2=(8-x)2,解得x=3,•••CN=8-3=5,AC=y'：・一，QN二QcE-cq'二农,MN=2QN=2故③正确；当MN过点D时，如图3,wrDNBi此时，CN最短，四边形CMPN勺面积最小，则S最小为S=7竣歆冋寺®知,当P点与A点重合时,CN最长，四边形CMPN勺面积最大，则S最大为S=5X4=5•4WS<5,故④错误.故答案为：②③.4.如图，在△ABC中，AB=AC,点E在BC上移动（点E不与点B,C重合），满足/DEF/B,且点E,F分

别在边BCAC上.(1)求证：△BDE^ACEF⑵当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分/DFC【解析】⑴证明：T【解析】⑴证明：TAB=AC,•••/B=ZC,•••/B+ZBDEFZBED=ZDEH/FEO•••/DEF=ZB,•/BDE=ZCEF•△BEDE⑵解：•••△BDE^ACEF•-CF=EF，/BED180°BDE^ACEF;•••点•••点E是BC的中点，•BE=CECE_DECF=EF，又tZDEF=ZC,「.ADEF^AECF,•ZEFD=ZCFE•-FE平分ZDFCCDDA上5.(江苏泰州，第25题12分)如图，正方形ABCD的边长为8cm,E、F、GH分别是CDDA上的动点，且AE=BF=CG=DH(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；(3)求四边形EFGH®积的最小值.[【解析】(1)证明：•••四边形ABCD是正方形，•••/A=ZB=ZC=ZD=90,AB=BC=CD=DA•/AE=BF=CG=DHAH=BE=CF=DGI AE-EF-CG-DH在厶AEH△BFE△CGF^D^DHG中，'/"二/用二/匸二上。,AH—BE-CF-DG△AEH^^BFE^ACGF^ADHG(SAS,EH=FE=GF=QHZAEH玄BFE•四边形EFGH是菱形，•••/BEF+ZBFE=90,/BEF+ZAEH=90,ZHEF=90,•四边形EFGH是正方形；(2)解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心(ACBD的交点)；理由如下:连接ACEG交点为0;如图所示：•••四边形ABCD是正方形，AB//CDZOAEZ0CGrL0AE-LQCQ在厶AOE^n^COG中,区二/,AE-CG△AOE^ACOG(AAS,OA=OC即即O为AC的中点，•••正方形的对角线互相平分,•••O为对角线ACBD的交点，即0为正方形的中心；(3)解：设四边形EFGH面积为S,设BE=xcm贝UBF=(8-x)cm根据勾股定理得： eF'=BE2+BF2=x2+(8-x)2222•S=x+(8-x)=2(x-4)+32,•/2>0•S有最小值，当x=4时，S的最小值=32,•四边形EFGH面积的最小值为32cm2.6..(2018•济宁)如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是边AD,BC的中点，连接DF,过点E作EHLDF,垂足为H,EH的延长线交DC于点G.(1)猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；⑵过点H作MN/CD分别交AD,BC于点M,N.若正方形ABCD勺边长为10，点P是MN上一点，求△PDC的周长的最小值.【解析】⑴CF=2DG.证明：•••四边形ABCD是正方形,AD=BC=CDAD//BC/ADC=90°.•••E,F分别是边ADBC的中点，111DE=2ADCF=?BC•DE=CF=^CD ADC=90°,EHLDF,

•••/CDH/ED「90°,/DEG-ZED「90°,「./DEG=ZCDF,/•tan/DEG=tan/CDF,DGCF1…DE=CDT2，…CF=2，•CF=2DG.GCLJM0/—一—一NQE/FAR⑵解：如图，在NB上取一点Q使NQ=NC连接DQ交MN于点P,连接PC•/MIN/CDCDLBC•MNLBC又•••NQ=NCPC=PQ•PC-PC=PD-PQ=DQ.由“两点之间，线段最短”知，此时 PD-PC最小.又TCD=10,△PDC的周长的最小值为PD-PC-CD=DQb10.易知ZMEH^ZMHbZCDF•-tan/MEH^tan/MHbtan/CDF刚MHMD1 沁即ME=2MHMH=2MD设MD=t，MEMH2则MH=2t，ME=4t，•DE=5t，•CD=2DE=10t=10，t=1，•CQ=2DM=2.在Rt△CDQ^，由勾股定理得DQ=CD+CQ= 10如图2,若a=60°，请补全图形，再过点如图2,若a=60°，请补全图形，再过点C作CF丄AE于点F，然后探究线段CF，AEBE之间的数将厶PDC周长的最小值为226-10.7.(2019?湖北十堰？10分)如图〔，△ABC中，CA=CBZACB=a，D ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到△CBE点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D,E三点在同一直线上.填空：ZCDE=_180 (用含a的代数式表示)；并证明你的结论;—2—并证明你的结论;(3)若a=90°，AC=5、.2，且点G满足ZAGB=90°，BG=6，直接写出点C到AG的距离.画)【解答】解：(1)v将厶CAD绕点C按逆时针方向旋转角a得到△CBE•△ACD^ABCE/DCE=a•••Ct>CE180故答案为:2故答案为:2180(2)AE=BE+亠3理由如下：如图,•••将△CAD•••将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角£•△ACD^ABCE•AD-BE,CD=CE,/DCE=60°•△CDE是等边三角形，且CF丄DE•DF=EF=^CF3•/AE=AD+DF+EF•AE=BE+乙3CF3(3)如图，当点G在AB上方时，过点C作CE±AG于点E,•••/ACB=90°,AC=BC=5「2,•••/CAB=ZABC=45°,AB=10•••/ACB=90°=ZAGB•••点C,点G,点B,点A四点共圆•••/AGC=ZABC=45°，且CE丄AG•••/AGC=ZECG=45°CE=GE•/AB=10,GB=6，/AGB=90°AG=8•/AC2=AE2+CE2•••(5.2)2=(8-CE)2+cU,•CE=7(不合题意舍去)，CE=1若点G在AB的下方，过点C作CF丄AG同理可得：CF=7•••点C到AG的距离为1或7.8.如图1,一架长48.如图1,一架长4m的梯子AB斜靠在与地面OMI垂直的墙壁ONh,梯子与地面所成的角(1)求AO与BO的长；⑵若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC：BD=2:3，试计算梯子顶端a为60度.A下滑了多少米?②如图3，当A点下滑到A'点，B点向右滑行到B'点时，梯子AB的中点P也随之运动到P'点，若/POP=15°，试求AA'的长.图2cos=15°，试求AA'的长.图2cos60°=4X1=2(m),NAO=AB-sin60=4X乎=2*3(m),所以BO=2m;AO=23m;⑵①设AC=2x,BD=3x,在Rt△COD中,OC=23—2x,OD=2+3x,CD=4m,根据勾股定理有oC+oD=cD,•••(2 3—2x)2+(2+3x)2=42,「.13x2+(12—83)x=0,厂 8疵—12-xm0,..13x+12—8寸3=0,…x=-'13—m,•AC=2x•AC=2x=163—2413m.所以梯子顶端A沿NO下滑了竿严m.②TP点和P点分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△AOB的斜边AB'的中点,PA=PQP'A'=P'O,•••/PAO=ZAOP/P'AO=ZAOP,/P'AO-ZPAO=ZAOP—ZAOP/P'AO-ZPAO=ZPOP=15°,又tZPAO=30°,.ZP'AO=45°,•AO=•AO=AB'-cos45=4X=22(m),⑵⑵如图（2）, 若AB^AC试求CD与BE的数量关系 （用含a的式子表示）;⑶如图（3），将（2）中的线段BC绕点C逆时针旋转（a+45°），得到线段FC连接EF,交BC于点O,设厶COE的面积为$,△COF的面积为S2,求|-（用含aS2证明：（1）由折叠的性质可知，点 B,B'的式子表示）•/ACE=ZBCE.ZCEB=ZCEB=90°:.CE垂直平分BB,•BE=B'E=-BB,2，BAB=ZBAC=90°.又•••/BBA+ZB'BA=ZBBA+ZACE=90°,ZBAB=ZBAC•ZB'BA=ZACD在厶ABB和厶ACD中,AB=AC,ZB'BA=ZACD•△ABB◎△ACD•-BB=CD•CD=2BE;⑶易得ZCEB=90°,ZACE=ZECBvZABC=2a•ZACB=90°—2a,「・ZECB=-ZACB=45°2a.由旋转知，ZBCF=45°+a,•••ZEC&ZEC+ZBC「90°,.・.ZBEC+ZFCE=180°,•••CF//BE,「.ZEBO=ZFCQZBEO=ZCFO•△BE3ACFOCf=FO在Rt△BEC中，sinZECB=BCZECB=45°—a,CFFO BC•sin(45°—a)=BC设点C到EF的距离为h,1一EO・hnttS1 2 EO则一= =—=—S2 1 FOCFBC2FO-hBEBES=sin(45°—a)•(2)由(1)得，B'B=2BEZBAB=ZBAC=90°,ZB'BA=ZACD•△ABBACD•""CD=AC,•-CD=ACt BB' AB' 2BEAB55在Rt△ABC中，tan/ABC=tan2a=ACAB，CD2BEtan2a,■-CD=2BE・tan2a；EE分别在边AB,10.(2019?浙江丽水？12分)如图，在等腰BC上，将线段ED绕点E按逆时针方向旋转如图1,若AD=BD,点E与点C重合，已知点G为AF的中点.①如图2，若AD=BDCE=2,求DG的长.Rt△ABC中，/ACB=90°,AB=142，点D90°得到EF.AF与DC相交于点O.求证：BD=2DO②若AD=6BD,是否存在点E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求试说明理由.CE的长；若不存在,【解答】⑴证明：如图1,vCA=CB/ACB=90°,BD=AD,•••CDLABCD=AD=BD,•/CD=CF,「.AD=CF,•••/ADC=ZDC=90°,•AD//CF,•四边形ADFC是平行四边形，•OD=OC•BD=2OD⑵①解：如图2,作DT±BC于点T,FFUBC于H.由题意：BD=AD=CD=7.2,BC=2BD=14,•/DTXBC,•••BT=TC=7,VEC=2,「.TE=5,•••/DTE=ZEHiDE「90°,•••/DET+ZTDE=90°,/DETVFEH=90°,「./TDE=ZFEH•/ED=EF,."DTE^AEHF(AAS)•FH=ET=5,•••/DDBE/DFE=45°,.B,D,E,F四点共圆，•/DBF+ZDEF=90°,•/DBF=90°,•//DBE=45°,•/FBH=45°,•//BHF=90°,•/HBF=ZHFB=45°,BH=FH=5,•BF=5,2,•//ADCfZABF=90°,.DG/BF,•/AD=DB•AG=GF,•DG=1BF=51.22A共线,作DTLBC于点T,FH!BC于H.设EC=x.1_•/AD=6BD•BD=丄AB=2^2,7•/DTLBC,/DBT=45°,•DT=BT=2,DTE^AEHF•EH=DT=2,•BH=FH=12-x,

•••FH//AC.••匹空」21L2XTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"'.■: x1