自动控制原理4课件

2022/12/22自动控制原理--根轨迹法1§1.绪论部分

由第三章可知，闭环极点完全决定了系统的稳定性，闭环极点和零点则决定了系统的品质。所以，如能确定闭环极点在S平面上的位置，则对控制系统的性能分析则意义重大。由于闭环极点是特征方程的根，随着特征方程阶数的增大，求解困难（试探求法）。而开环传函由简单环节串联组成，零极点易确定，若能用开环极零点确定闭环极点在S平面的位置，并通过调节开环极零点位置改善闭环极零点位置，将使问题更加简单。该方法为：

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法1§1.绪论部分2022/12/22自动控制原理--根轨迹法2

根轨迹法：根据开环极零点分布，当系统某参数由零变到无穷大，绘制出闭环特根在S平面上的相应的变化轨迹，由此来分析，系统的暂态响应，参数对暂态响应的影响，以及系统的综合与校正。这是一种图解方法。2022/12/20自动控制原理--根轨迹法2根轨迹2022/12/22自动控制原理--根轨迹法3§2.根轨迹法的基本概念与绘制条件

基本概念

根轨迹的绘制条件

根轨迹的分类

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法3§2.根轨迹法2022/12/22自动控制原理--根轨迹法4一、基本概念特征方程：s²+2s+k*=0特征根：例1：单位反馈二阶系统2022/12/20自动控制原理--根轨迹法4一、基本概念特2022/12/22自动控制原理--根轨迹法5

欠阻尼-1-jK*-1-1+jK*-1（1，+∞）↑临界阻尼-1-11过阻尼S2右移〈0S1左移〈0（0，1）↑-200响应闭开S2S1K*2022/12/20自动控制原理--根轨迹法5欠阻尼-1-2022/12/22自动控制原理--根轨迹法6结论：

1、开环传函参数K*影响着闭环极点的分布。

2、随着K*的增大，系统响应经历着过阻尼、等阻尼、欠阻尼。

3、K*与闭环极点，一一对应，进而可分析系统稳定性及其它各项性能指标。2022/12/20自动控制原理--根轨迹法6结论：2022/12/22自动控制原理--根轨迹法7二、根轨迹的绘制条件

特征方程：１＋Ｗk(s)=0

根轨迹方程：Ｗk(s)=-1（＊）凡满足（＊）式的s都是根轨迹上的点，反之，根轨迹上的点也都满足（＊）式。（曲线与方程一一对应关系）则绘制其根轨迹条件应为：

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法7二、根轨迹的绘2022/12/22自动控制原理--根轨迹法8

代入（＊）式根：s=δ+jω则有

若用１、幅值条件：２、相角条件：注意：2022/12/20自动控制原理--根轨迹法8代入（＊）式2022/12/22自动控制原理--根轨迹法9

S

L3l1L2L1

β3α1β2β1-P2-Z1-P1P0

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法92022/12/22自动控制原理--根轨迹法10

根轨迹以根轨迹放大系数Kg绘制p110,例4--1或Ⅱ若则根轨道放大倍数与开环放大倍数的关系为：2022/12/20自动控制原理--根轨迹法10根轨迹以2022/12/22自动控制原理--根轨迹法11

主根轨迹：0<=Kg<∞的根轨迹（180°根轨迹）辅根轨迹：-∞<=Kg<0的根轨迹广义根轨迹：以除Kg外的某一其它系统参数绘制的根轨迹零度根轨迹：幅角条件是±360的根轨迹根轨迹族：几个系统参数同时变化构成的的根轨迹§3.根轨迹的绘制法则一、根轨迹分类：2022/12/20自动控制原理--根轨迹法11主根轨迹：2022/12/22自动控制原理--根轨迹法12二、绘制根轨迹的一般法则(*)1根轨迹的起始点和终止点2根轨迹数和它的对称数3实轴上的根轨迹4分离点和会合点5根轨迹的渐近线

6根轨迹出射角和入射角7根轨迹与虚轴交点8根轨迹的走向9放大系数求取值10分离角与会合角

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法12二、绘制根轨2022/12/22自动控制原理--根轨迹法131.根轨迹的起始点和终止点

起点

Kg=0，由根轨迹方程(↓)可知起点应从开环极点（或s=-pj）开始

终点

Kg=∞，同理，终点应在s=-zi（开环零点处），有多少个开环极点就有多少个起点，零点也一样，只不过由于n-m＞0，所以零点将有n-m个在无穷远处．2022/12/20自动控制原理--根轨迹法131.根轨迹的2022/12/22自动控制原理--根轨迹法14２.根轨迹数（分支数）和它的对称数分支数等于开环极点数n（特征方程阶数）．由实系数特征方程知，特征根不是实根，就是共轭复根，故根轨迹一定对称于实轴．2022/12/20自动控制原理--根轨迹法14２.根轨迹数2022/12/22自动控制原理--根轨迹法15

３.实轴上的根轨迹由轴上某个区段，若它的右侧开环零极点总数为奇数，则该区段为一根轨迹分支由辐角条件可知：特征根S左侧开环零极点对开环传函的幅角没有贡献P112，而右侧的每个开环零极点都引起180°的辐角变化，所以右侧零极点总数为奇数个时恰好能满足辐角条件。2022/12/20自动控制原理--根轨迹法15３.实轴上2022/12/22自动控制原理--根轨迹法16

4.分离点和会合点分离点：由实轴分离进入复平面的点。两极点间会合点：复平面汇合进入实轴上的点。两零点间这时的特征方程出现重根。重根即代表了分离点，会合点的位置(1)解析法设闭环系统特征方程为：法1

，其根为；若有重根将使2022/12/20自动控制原理--根轨迹法164.分离点2022/12/22自动控制原理--根轨迹法17由此可知代入特征方程有：可求出重根：法2实根中的对应的是从零到中最大的，故也可通过对求导求得分离点和会合点。（求后验证）。2022/12/20自动控制原理--根轨迹法17由此可知2022/12/22自动控制原理--根轨迹法18

验证：由于不存在根轨迹，故不是分离点。而不仅属于[-1，0]且能使，使注：此方法对求复平面上的分离，会合点也有效。例2.试求实轴上的分离点。根轨迹方程即求得2022/12/20自动控制原理--根轨迹法18验证：由于2022/12/22自动控制原理--根轨迹法19(2)图解法：[-p2,-p3]中有一分离点d，满足相角条件：设三阶系统零极点分布图如下图-z2-p3-p2-z1-p1s1jwS1为靠近d轨迹上一点，满足相角条件：2022/12/20自动控制原理--根轨迹法19(2)图解法2022/12/22自动控制原理--根轨迹法20二式比较得：如上例有更一般的：验证后，d1为真2022/12/20自动控制原理--根轨迹法20二式比较得：2022/12/22自动控制原理--根轨迹法21

5、根轨迹的渐近线

时系统有n-m条根轨迹趋于无穷远处，成为一条直线，即根轨迹渐近线。（1）倾角：开环有限零极点到无穷远特征根矢量辐角都相等，即由幅角条件

只有n-m个，以后重复出现（2）与实轴交点：开环有限零极点到无穷远处的特征，根Sk的矢量长度相等，对Sk而言开环零极点汇集成一点,即2022/12/20自动控制原理--根轨迹法215、根轨迹2022/12/22自动控制原理--根轨迹法22根轨迹渐近线方程为：Wk(s)=1证明:s→∞时原式趋近于其中即整理上式为：2022/12/20自动控制原理--根轨迹法22根轨迹渐近线2022/12/22自动控制原理--根轨迹法23

令S=σ+jω代入得于是记为令ω=0则有2022/12/20自动控制原理--根轨迹法23令S=σ+2022/12/22自动控制原理--根轨迹法24

起终点:0,-1,-2,-∞实轴分支：[-1,0][-2,-∞]分离点：σd=-0.422渐近线：σa=(0+(-1)+(-2)-0)/(3-0)=-1,θa=(2k+1)π/(3-0)=60°,180°,300°,-60°例32022/12/20自动控制原理--根轨迹法24起终点:02022/12/22自动控制原理--根轨迹法25

出射角：根轨迹离开开环复极点的切线方向与实轴正向夹角。入射角：根轨迹进入开环复零点的切线方向与实轴正向夹角。6、根轨迹出射角和入射角（1）定义2022/12/20自动控制原理--根轨迹法252022/12/22自动控制原理--根轨迹法26

开环(零)极点-pl,(-zl)附近的根轨迹上取一点s1，则当s1→-pl时，s1与-pl所构成的矢量相角就是-pl的出射角βsc，对应零点为入射角αsr。由相角条件:（2）计算并用代替则

出射角2022/12/20自动控制原理--根轨迹法262022/12/22自动控制原理--根轨迹法27

-zl入射角例4、绘制根轨迹2022/12/20自动控制原理--根轨迹法27-zl入射2022/12/22自动控制原理--根轨迹法28

法一：有特征方程:1+Wk(s)=0有Re(1+Wk(s))=0Im(1+Wk(s))=0若令s=jω代入上二式便可求解ω,Kg.如例2,特征方程为7、根轨迹与虚轴交点：令s=jω代入得2022/12/20自动控制原理--根轨迹法28法一：有特2022/12/22自动控制原理--根轨迹法29

法二：由劳斯表中知，若有根为纯虚根，表中某行全为零。令由辅助方程得:8.根轨迹的走向

当特征方程阶次n-m>=2时，根轨迹呈现发散性质，一些分支右行时，另一些分支必左行，偏向S平面右半部分。这一点可由根的特性说明：2022/12/20自动控制原理--根轨迹法29法二：由劳2022/12/22自动控制原理--根轨迹法30

9.放大系数求取值由幅值条件，根轨迹上某点放大系数为：特征方程它与开环放大系数的关系为各特征根之和为常数！2022/12/20自动控制原理--根轨迹法309.放大2022/12/22自动控制原理--根轨迹法31

108°36°

-180°-108-36°

10、分离角与汇合角分离角：根轨迹离开分离点的切线方向与实轴正向夹角。汇合角：根轨迹进入汇合点的切线方向与实轴正向夹角。为分离点根轨迹数。例52022/12/20自动控制原理--根轨迹法3110、分离2022/12/22自动控制原理--根轨迹法32解：（1）分支数：4个(2)起点：-p1=0,-p2=-1+j,-p3=-1-j,-p4=-3

终点：全在无穷远处。

(3)实轴上根轨迹：[-3，0]

（4）渐近线例6

绘制根轨迹2022/12/20自动控制原理--根轨迹法32解：（1）分2022/12/22自动控制原理--根轨迹法33matlab绘制根轨迹图2022/12/20自动控制原理--根轨迹法33matlab2022/12/22自动控制原理--根轨迹法34

(5)分离点1/d+1/(d+3)+1/(d+1-j)=0试探得

:(6)出射角

(7)与虚轴交点:由特征方程s(s+3)(s²+2s+2)+k=0代入s=jω得(8)走向(9)放大系数(10)分离角:±90°2022/12/20自动控制原理--根轨迹法34(5)分离2022/12/22自动控制原理--根轨迹法35

例7

绘制右图以Kp为参变量的根轨迹

解：KP(1+0.6s)R(s)Y(s)令Kg=0.6Kp

开环（1）起点，-0.25,-1

终点：-1.67,-∞（2）分支数:2（3）实轴根轨迹:[-1,-0.25],[-∞,-1.67]（4）渐近线:(2k-1)π/(2-1)=180°jw2022/12/20自动控制原理--根轨迹法35例72022/12/22自动控制原理--根轨迹法36（5）实轴交点:（6）走向：复平面根轨迹是一以开环零点-1.67为圆心，以-1.67为分离点-0.695的距离为半径的圆证：用s=σ+jω代入特征方程由相角条件:整理后得(σ+1.67)²+ω²=0.9514结论；任意带一开环零点的二阶系统，若复平面存在根轨迹，则它一定是一个以开环零点为圆心的圆或圆的一部分。2022/12/20自动控制原理--根轨迹法36（5）实轴交2022/12/22自动控制原理--根轨迹法37二阶系统三阶系统具有复极点的四阶系统延迟环节（时滞环节）系统三、典型自控系统根轨迹

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法37二阶系统三2022/12/22自动控制原理--根轨迹法381.二阶系统

其中Kg=Kk/T

标准二阶系统:(1)起终点(2)实轴(3)分离点:-1/2T

(4)渐近线：±90°，-1/2T由(2)式知二阶系统特征根在S平面的位置

WK2022/12/20自动控制原理--根轨迹法381.二阶系统2022/12/22自动控制原理--根轨迹法39

由幅值条件2.开环具有零点二阶系统复平面根轨迹可由幅角条件证明是个圆，这样增加零点改变了系统品质。等ξ线等频线对(1)式若要工程最佳2022/12/20自动控制原理--根轨迹法39由幅值条件2022/12/22自动控制原理--根轨迹法402022/12/20自动控制原理--根轨迹法402022/12/22自动控制原理--根轨迹法41

3.三阶系统

二阶系统再加一个极点

(1)起终点

(2)分支数

(3)实轴上

(4)分离点a=4时

(5)渐近线a=4时

(6)与虚轴交点

结论；二阶系统附加极点Kg↑根轨迹将穿过虚轴系统趋于不稳定2022/12/20自动控制原理--根轨迹法413.三阶系2022/12/22自动控制原理--根轨迹法422022/12/20自动控制原理--根轨迹法422022/12/22自动控制原理--根轨迹法43

(1)起终点，分支数，实轴(2)渐近线:±90°(3)取τd=4T,ξ=1/2作ξ=1/2的阻尼线

与根轨迹交点:

由代数方程:R1+R2+R3=p1=1/T得-R3=-1/(2T)4.开环具有零点三阶系统：

二阶加一极点一零点其中Kg=K/TiT

z1=1/τdp1=1/T2022/12/20自动控制原理--根轨迹法43(1)起终2022/12/22自动控制原理--根轨迹法44线渐进线三阶工程最佳（4）2022/12/20自动控制原理--根轨迹法44线渐进线三阶2022/12/22自动控制原理--根轨迹法45(1)起终点，分支数，实轴上(2)渐近线φ=-60°，180°，-σk=-1

(3)出射角βsc1=-26.6°(4)与虚轴交点s=±j1.61,(5)由根与系数关系:5.具有复极点的四阶系统2022/12/20自动控制原理--根轨迹法45(1)起终点2022/12/22自动控制原理--根轨迹法46

对系统稳定性不利

(τ!=0滞后时间常数)

根轨迹方程特征根幅值条件:

辐角条件:

特点：特征根无限多个，根轨迹分支数无限多条。6.延迟环节（时滞环节）系统2022/12/20自动控制原理--根轨迹法462022/12/22自动控制原理--根轨迹法47（1）当|τs|很小时

绘制方法同前（2）当|τs|较大时

①起点:–pi,-∞,终点;-zi,+∞

②分支数:无穷多条，对称性：对称于实轴。③实轴上；由ω=0可知绘制规则不变④分离汇合点；仍可按dKg/ds=0计算⑤渐近线：当Kg→∞时σ→∞，所有有限开环零极点到σ的矢量幅角都等于0，故渐近线为水平线。由幅角条件知（2k+1）π-τω=0与虚轴交于ω=(2k+1)π/τ2022/12/20自动控制原理--根轨迹法47（1）当|τ2022/12/22自动控制原理--根轨迹法48⑥出射角与入射角

⑦与虚轴交点：令s=jω由幅角条件求得ωl

当Kg=0时σ→-∞所有有限开环零极点到σ矢量幅角都等于π，故渐近线仍为水平线只是交点由

(2k+1)π-τω=(m-n)π，,|m-n|为奇数,|m-n|为偶数2022/12/20自动控制原理--根轨迹法48⑥出射角2022/12/22自动控制原理--根轨迹法49

⑧复平面上的根轨迹（作图法）；

ⅰk=0时如一阶系统jw-1/T或取ω=ω1时，从-1/T点做一倾角为斜线，交于水平线，交点为一特征根，取全ω>0区间得一组特征根并画出一支根轨迹，对称实轴画出另一支2022/12/20自动控制原理--根轨迹法49⑧复平面2022/12/22自动控制原理--根轨迹法50ⅱk=1时，渐近线不同2022/12/20自动控制原理--根轨迹法50ⅱk=2022/12/22自动控制原理--根轨迹法51四、零度根轨迹1，概念：

非最小相位系统：凡是在S平面右半平面有开环零极点的系统，与之相反称为最小相位系统。产生零度根轨迹原因:①非最小相位系统中包含有最高次幂的系数为负的环节②系统中有正反馈内环。幅角条件满足2kπ(k属于Z)的根轨迹称为零度根轨迹。其幅值条件不变。2022/12/20自动控制原理--根轨迹法51四、零度根轨2022/12/22自动控制原理--根轨迹法52绘制规则（与常规根轨迹相比）

①实轴上根轨迹只能出现在其右侧开环零极点总数为偶数的区段上

②渐近线θ=2kπ/(n-m)k=1,2,…,n-m-1③出射角

入射角2022/12/20自动控制原理--根轨迹法52绘制规则（与2022/12/22自动控制原理--根轨迹法53④分离角

其他规则不变，例8汇合角WkR(s)Y(s)2022/12/20自动控制原理--根轨迹法53④2022/12/22自动控制原理--根轨迹法54例92022/12/20自动控制原理--根轨迹法54例92022/12/22自动控制原理--根轨迹法55五、广义根轨迹它是指以某非Kg作为系统参数变化时得到的根轨迹。具体的做法为：由闭环系统特征方程式KgN(s)+D(s)=1整理出研究的参数根轨迹方程式

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法55五、广义根轨2022/12/22自动控制原理--根轨迹法56

关于Ta的根轨迹方程为

则新的开环传函应为5(1+TaS)1/s(5s+1)例10

闭环极点保持不变而零点变了。Ta↑闭环极点左移2022/12/20自动控制原理--根轨迹法56关2022/12/22自动控制原理--根轨迹法57例112022/12/20自动控制原理--根轨迹法57例112022/12/22自动控制原理--根轨迹法58§4.用根轨迹方法分析系统的暂态特性

在根轨迹上确定特征根用根轨迹法分析系统的暂态特性

在根轨迹上由性能指标确定调整参数2022/12/20自动控制原理--根轨迹法58§4.用根轨2022/12/22自动控制原理--根轨迹法59一、在根轨迹上确定特征根试探法：已知Kg，先找一试点So求得它的Kgˊ=(L1L2…Ln)/(L1L2…lm)，使Kgˊ=kg,便定出So。

n-m<=3系统,先找到实根(实轴上),再用韦达定理去求复根.实根仍要用作图法.

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法59一、在根轨迹2022/12/22自动控制原理--根轨迹法60二、用根轨迹法分析系统的暂态特性

1,闭环主导极点:暂态过程主要决定于离虚轴较近的极点,当极点实部相差5倍以上时,远离虚轴的极点可被忽略.(对零点也适合)2,闭环极点位置变化时对暂态过程的影响(P135①-p1,-p2负实闭环极点②一对复极点,ωn不变ξ变,ξ不变σ不变ωn变)2022/12/20自动控制原理--根轨迹法60二、用根轨迹2022/12/22自动控制原理--根轨迹法61②θ不变,ωn↑,极点沿失径延伸,|-ξωn|↑加快系统响应速度快速达到稳态阻尼振荡频率①ωn不变，θ=0,ξ=arccosθ对极点汇合于实轴,有实数重根,系统工作在临界阻尼状态,无超调

θ=90°,ξ=0有共轭虚根,等幅振荡.,一对共轭复根,系统衰减振荡θ↓，ξ↑，δ%↓。P135F4_322022/12/20自动控制原理--根轨迹法61②θ不变,ω2022/12/22自动控制原理--根轨迹法62

3,增加开环零点对系统性能的影响:增加开环零点将影响根轨迹形状(见上节),改善了系统稳定性和暂态品质.但将增大超调.

开环零点开环极点4,增加开环极点对系统性能影响:这时将使根轨迹向右偏移.降低了系统稳定性,减小了ξ,增大了ts性能指标下降.5,偶极子对系统性能影响:

偶极子:左边一个零点右边一个极点相距很近,作用相抵消,却可提高开环增益提高稳态精度.

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法623,增加开2022/12/22自动控制原理--根轨迹法63三、在根轨迹上由性能指标确定调整参数

例12

试根据系统根轨迹分析稳定性(阶跃响应)

并计算使闭环主导极点具有ξ=0.5时的Kg值.解:1,画根轨迹如右图2022/12/20自动控制原理--根轨迹法63三、在根轨迹2022/12/22自动控制原理--根轨迹法64

2、稳定性分析①0<Kg<0.385时系统闭环主导极点在负实轴上呈现过阻尼状态(ξ>1)非周期单调上升过程,稳定.②Kg=0.385重实极点临界阻尼状态(ξ=1)稳定③0.385<Kg<6,共轭复极点,欠阻尼状态(0<ξ<1)稳定.④Kg=6,ξ=0共轭虚极点等幅振荡,临界稳定状态.⑤Kg>6有两个闭环极点进入S右半平面(ξ<0),不稳定状态.3、求ξ=0.5时的Kg

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法642、稳定性2022/12/22自动控制原理--根轨迹法654、验证闭环主导极点由特征方程证明是主导极点.②①做等ξ线过原点,θ=60°求出与根轨迹交点(幅角条件)2022/12/20自动控制原理--根轨迹法654、验证闭环2022/12/22自动控制原理--根轨迹法662022/12/20自动控制原理--根轨迹法662022/12/22自动控制原理--根轨迹法67§1.绪论部分

由第三章可知，闭环极点完全决定了系统的稳定性，闭环极点和零点则决定了系统的品质。所以，如能确定闭环极点在S平面上的位置，则对控制系统的性能分析则意义重大。由于闭环极点是特征方程的根，随着特征方程阶数的增大，求解困难（试探求法）。而开环传函由简单环节串联组成，零极点易确定，若能用开环极零点确定闭环极点在S平面的位置，并通过调节开环极零点位置改善闭环极零点位置，将使问题更加简单。该方法为：

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法1§1.绪论部分2022/12/22自动控制原理--根轨迹法68

根轨迹法：根据开环极零点分布，当系统某参数由零变到无穷大，绘制出闭环特根在S平面上的相应的变化轨迹，由此来分析，系统的暂态响应，参数对暂态响应的影响，以及系统的综合与校正。这是一种图解方法。2022/12/20自动控制原理--根轨迹法2根轨迹2022/12/22自动控制原理--根轨迹法69§2.根轨迹法的基本概念与绘制条件

基本概念

根轨迹的绘制条件

根轨迹的分类

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法3§2.根轨迹法2022/12/22自动控制原理--根轨迹法70一、基本概念特征方程：s²+2s+k*=0特征根：例1：单位反馈二阶系统2022/12/20自动控制原理--根轨迹法4一、基本概念特2022/12/22自动控制原理--根轨迹法71

欠阻尼-1-jK*-1-1+jK*-1（1，+∞）↑临界阻尼-1-11过阻尼S2右移〈0S1左移〈0（0，1）↑-200响应闭开S2S1K*2022/12/20自动控制原理--根轨迹法5欠阻尼-1-2022/12/22自动控制原理--根轨迹法72结论：

1、开环传函参数K*影响着闭环极点的分布。

2、随着K*的增大，系统响应经历着过阻尼、等阻尼、欠阻尼。

3、K*与闭环极点，一一对应，进而可分析系统稳定性及其它各项性能指标。2022/12/20自动控制原理--根轨迹法6结论：2022/12/22自动控制原理--根轨迹法73二、根轨迹的绘制条件

特征方程：１＋Ｗk(s)=0

根轨迹方程：Ｗk(s)=-1（＊）凡满足（＊）式的s都是根轨迹上的点，反之，根轨迹上的点也都满足（＊）式。（曲线与方程一一对应关系）则绘制其根轨迹条件应为：

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法7二、根轨迹的绘2022/12/22自动控制原理--根轨迹法74

代入（＊）式根：s=δ+jω则有

若用１、幅值条件：２、相角条件：注意：2022/12/20自动控制原理--根轨迹法8代入（＊）式2022/12/22自动控制原理--根轨迹法75

S

L3l1L2L1

β3α1β2β1-P2-Z1-P1P0

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法92022/12/22自动控制原理--根轨迹法76

根轨迹以根轨迹放大系数Kg绘制p110,例4--1或Ⅱ若则根轨道放大倍数与开环放大倍数的关系为：2022/12/20自动控制原理--根轨迹法10根轨迹以2022/12/22自动控制原理--根轨迹法77

主根轨迹：0<=Kg<∞的根轨迹（180°根轨迹）辅根轨迹：-∞<=Kg<0的根轨迹广义根轨迹：以除Kg外的某一其它系统参数绘制的根轨迹零度根轨迹：幅角条件是±360的根轨迹根轨迹族：几个系统参数同时变化构成的的根轨迹§3.根轨迹的绘制法则一、根轨迹分类：2022/12/20自动控制原理--根轨迹法11主根轨迹：2022/12/22自动控制原理--根轨迹法78二、绘制根轨迹的一般法则(*)1根轨迹的起始点和终止点2根轨迹数和它的对称数3实轴上的根轨迹4分离点和会合点5根轨迹的渐近线

6根轨迹出射角和入射角7根轨迹与虚轴交点8根轨迹的走向9放大系数求取值10分离角与会合角

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法12二、绘制根轨2022/12/22自动控制原理--根轨迹法791.根轨迹的起始点和终止点

起点

Kg=0，由根轨迹方程(↓)可知起点应从开环极点（或s=-pj）开始

终点

Kg=∞，同理，终点应在s=-zi（开环零点处），有多少个开环极点就有多少个起点，零点也一样，只不过由于n-m＞0，所以零点将有n-m个在无穷远处．2022/12/20自动控制原理--根轨迹法131.根轨迹的2022/12/22自动控制原理--根轨迹法80２.根轨迹数（分支数）和它的对称数分支数等于开环极点数n（特征方程阶数）．由实系数特征方程知，特征根不是实根，就是共轭复根，故根轨迹一定对称于实轴．2022/12/20自动控制原理--根轨迹法14２.根轨迹数2022/12/22自动控制原理--根轨迹法81

３.实轴上的根轨迹由轴上某个区段，若它的右侧开环零极点总数为奇数，则该区段为一根轨迹分支由辐角条件可知：特征根S左侧开环零极点对开环传函的幅角没有贡献P112，而右侧的每个开环零极点都引起180°的辐角变化，所以右侧零极点总数为奇数个时恰好能满足辐角条件。2022/12/20自动控制原理--根轨迹法15３.实轴上2022/12/22自动控制原理--根轨迹法82

4.分离点和会合点分离点：由实轴分离进入复平面的点。两极点间会合点：复平面汇合进入实轴上的点。两零点间这时的特征方程出现重根。重根即代表了分离点，会合点的位置(1)解析法设闭环系统特征方程为：法1

，其根为；若有重根将使2022/12/20自动控制原理--根轨迹法164.分离点2022/12/22自动控制原理--根轨迹法83由此可知代入特征方程有：可求出重根：法2实根中的对应的是从零到中最大的，故也可通过对求导求得分离点和会合点。（求后验证）。2022/12/20自动控制原理--根轨迹法17由此可知2022/12/22自动控制原理--根轨迹法84

验证：由于不存在根轨迹，故不是分离点。而不仅属于[-1，0]且能使，使注：此方法对求复平面上的分离，会合点也有效。例2.试求实轴上的分离点。根轨迹方程即求得2022/12/20自动控制原理--根轨迹法18验证：由于2022/12/22自动控制原理--根轨迹法85(2)图解法：[-p2,-p3]中有一分离点d，满足相角条件：设三阶系统零极点分布图如下图-z2-p3-p2-z1-p1s1jwS1为靠近d轨迹上一点，满足相角条件：2022/12/20自动控制原理--根轨迹法19(2)图解法2022/12/22自动控制原理--根轨迹法86二式比较得：如上例有更一般的：验证后，d1为真2022/12/20自动控制原理--根轨迹法20二式比较得：2022/12/22自动控制原理--根轨迹法87

5、根轨迹的渐近线

时系统有n-m条根轨迹趋于无穷远处，成为一条直线，即根轨迹渐近线。（1）倾角：开环有限零极点到无穷远特征根矢量辐角都相等，即由幅角条件

只有n-m个，以后重复出现（2）与实轴交点：开环有限零极点到无穷远处的特征，根Sk的矢量长度相等，对Sk而言开环零极点汇集成一点,即2022/12/20自动控制原理--根轨迹法215、根轨迹2022/12/22自动控制原理--根轨迹法88根轨迹渐近线方程为：Wk(s)=1证明:s→∞时原式趋近于其中即整理上式为：2022/12/20自动控制原理--根轨迹法22根轨迹渐近线2022/12/22自动控制原理--根轨迹法89

令S=σ+jω代入得于是记为令ω=0则有2022/12/20自动控制原理--根轨迹法23令S=σ+2022/12/22自动控制原理--根轨迹法90

起终点:0,-1,-2,-∞实轴分支：[-1,0][-2,-∞]分离点：σd=-0.422渐近线：σa=(0+(-1)+(-2)-0)/(3-0)=-1,θa=(2k+1)π/(3-0)=60°,180°,300°,-60°例32022/12/20自动控制原理--根轨迹法24起终点:02022/12/22自动控制原理--根轨迹法91

出射角：根轨迹离开开环复极点的切线方向与实轴正向夹角。入射角：根轨迹进入开环复零点的切线方向与实轴正向夹角。6、根轨迹出射角和入射角（1）定义2022/12/20自动控制原理--根轨迹法252022/12/22自动控制原理--根轨迹法92

开环(零)极点-pl,(-zl)附近的根轨迹上取一点s1，则当s1→-pl时，s1与-pl所构成的矢量相角就是-pl的出射角βsc，对应零点为入射角αsr。由相角条件:（2）计算并用代替则

出射角2022/12/20自动控制原理--根轨迹法262022/12/22自动控制原理--根轨迹法93

-zl入射角例4、绘制根轨迹2022/12/20自动控制原理--根轨迹法27-zl入射2022/12/22自动控制原理--根轨迹法94

法一：有特征方程:1+Wk(s)=0有Re(1+Wk(s))=0Im(1+Wk(s))=0若令s=jω代入上二式便可求解ω,Kg.如例2,特征方程为7、根轨迹与虚轴交点：令s=jω代入得2022/12/20自动控制原理--根轨迹法28法一：有特2022/12/22自动控制原理--根轨迹法95

法二：由劳斯表中知，若有根为纯虚根，表中某行全为零。令由辅助方程得:8.根轨迹的走向

当特征方程阶次n-m>=2时，根轨迹呈现发散性质，一些分支右行时，另一些分支必左行，偏向S平面右半部分。这一点可由根的特性说明：2022/12/20自动控制原理--根轨迹法29法二：由劳2022/12/22自动控制原理--根轨迹法96

9.放大系数求取值由幅值条件，根轨迹上某点放大系数为：特征方程它与开环放大系数的关系为各特征根之和为常数！2022/12/20自动控制原理--根轨迹法309.放大2022/12/22自动控制原理--根轨迹法97

108°36°

-180°-108-36°

10、分离角与汇合角分离角：根轨迹离开分离点的切线方向与实轴正向夹角。汇合角：根轨迹进入汇合点的切线方向与实轴正向夹角。为分离点根轨迹数。例52022/12/20自动控制原理--根轨迹法3110、分离2022/12/22自动控制原理--根轨迹法98解：（1）分支数：4个(2)起点：-p1=0,-p2=-1+j,-p3=-1-j,-p4=-3

终点：全在无穷远处。

(3)实轴上根轨迹：[-3，0]

（4）渐近线例6

绘制根轨迹2022/12/20自动控制原理--根轨迹法32解：（1）分2022/12/22自动控制原理--根轨迹法99matlab绘制根轨迹图2022/12/20自动控制原理--根轨迹法33matlab2022/12/22自动控制原理--根轨迹法100

(5)分离点1/d+1/(d+3)+1/(d+1-j)=0试探得

:(6)出射角

(7)与虚轴交点:由特征方程s(s+3)(s²+2s+2)+k=0代入s=jω得(8)走向(9)放大系数(10)分离角:±90°2022/12/20自动控制原理--根轨迹法34(5)分离2022/12/22自动控制原理--根轨迹法101

例7

绘制右图以Kp为参变量的根轨迹

解：KP(1+0.6s)R(s)Y(s)令Kg=0.6Kp

开环（1）起点，-0.25,-1

终点：-1.67,-∞（2）分支数:2（3）实轴根轨迹:[-1,-0.25],[-∞,-1.67]（4）渐近线:(2k-1)π/(2-1)=180°jw2022/12/20自动控制原理--根轨迹法35例72022/12/22自动控制原理--根轨迹法102（5）实轴交点:（6）走向：复平面根轨迹是一以开环零点-1.67为圆心，以-1.67为分离点-0.695的距离为半径的圆证：用s=σ+jω代入特征方程由相角条件:整理后得(σ+1.67)²+ω²=0.9514结论；任意带一开环零点的二阶系统，若复平面存在根轨迹，则它一定是一个以开环零点为圆心的圆或圆的一部分。2022/12/20自动控制原理--根轨迹法36（5）实轴交2022/12/22自动控制原理--根轨迹法103二阶系统三阶系统具有复极点的四阶系统延迟环节（时滞环节）系统三、典型自控系统根轨迹

2022/12/20自动控制原理--根轨迹法37二阶系统三2022/12/22自动控制原理--根轨迹法1041.二阶系统

其中Kg=Kk/T

标准二阶系统:(1)起终点(2)实轴(3)分离点:-1/2T

(4)渐近线：±90°，-1/2T由(2)式知二阶系统特征根在S平面的位置

WK2022/12/20自动控制原理--根轨迹法381.二阶系统2022/12/22自动控制原理--根轨迹法105

由幅值条件2.开环具有零点二阶系统复平面根轨迹可由幅角条件证明是个圆，这样增加零点改变了系统品质。等ξ线等频线对(1)式若要工程最佳2022/12/20自动控制原理--根轨迹法39由幅值条件2022/12/22自动控制原理--根轨迹法1062022/12/20自动控制原理--根轨迹法402022/12/22自动控制原理--根轨迹法107

3.三阶系统

二阶系统再加一个极点

(1)起终点

(2)分支数

(3)实轴上

(4)分离点a=4时

(5)渐近线a=4时

(6)与虚轴交点

结论；二阶系统附加极点Kg↑根轨迹将穿过虚轴系统趋于不稳定2022/12/20自动控制原理--根轨迹法413.三阶系2022/12/22自动控制原理--根轨迹法1082022/12/20自动控制原理--根轨迹法422022/12/22自动控制原理--根轨迹法109

(1)起终点，分支数，实轴(2)渐近线:±90°(3)取τd=4T,ξ=1/2作ξ=1/2的阻尼线

与根轨迹交点:

由代数方程:R1+R2+R3=p1=1/T得-R3=-1/(2T)4.开环具有零点三阶系统：

二阶加一极点一零点其中Kg=K/TiT

z1=1/τdp1=1/T2022/12/20自动控制原理--根轨迹法43(1)起终2022/12/22自动控制原理--根轨迹法110线渐进线三阶工程最佳（4）2022/12/20自动控制原理--根轨迹法44线渐进线三阶2022/12/22自动控制原理--根轨迹法111(1)起终点，分支数，实轴上(2)渐近线φ=-60°，180°，-σk=-1

(3)出射角βsc1=-26.6°(4)与虚轴交点s=±j1.61,(5)由根与系数关系:5.具有复极点的四阶系统2022/12/20自动控制原理--根轨迹法45(1)起终点2022/12/22自动控制原理--根轨迹法112

对系统稳定性不利

(τ!=0滞后时间常数)

根轨迹方程特征根幅值条件:

辐角条件:

特点：特征根无限多个，根轨迹分支数无限多条。6.延迟环节（时滞环节）系统2022/12/20自动控制原理--根轨迹法462022/12/22自动控制原理--根轨迹法113（1）当|τs|很小时

绘制方法同前（2）当|τs|较大时

①起点:–pi,-∞,终点;-zi,+∞

②分支数:无穷多条，对称性：对称于实轴。③实轴上；由ω=0可知绘制规则不变④分离汇合点；仍可按dKg/ds=0计算⑤渐近线：当Kg→∞时σ→∞，所有有限开环零极点到σ的矢量幅角都等于0，故渐近线为水平线。由幅角条件知（2k+1）π-τω=0与虚轴交于ω=(2k+1)π/τ2022/12/20自动控制原理--根轨迹法47（1）当|τ2022/12/22自动控制原理--根轨迹法114⑥出射角与入射角

⑦与虚轴交点：令s=jω由幅角条件求得ωl

当Kg=0时σ→-∞所有有限开环零极点到σ矢量幅角都等于π，故渐近线仍为水平线只是交点由

(2k+1)π-τω=(m-n)π，,|m-n|为奇数,|m-n|为偶数2022/12/20自动控制原理--根轨迹法48⑥出射角2022/12/22自动控制原理--根轨迹法115

⑧复平面上的根轨迹（作图法）；

ⅰk=0时如一阶系统jw-1/T或取ω=ω1时，从-1/T点做一倾角为斜线，交于水平线，交点为一特征根，取全ω>0区间得一组特征根并画出一支根轨迹，对称实轴画出另一支2022/12/20自动控制原理--根轨迹法49⑧复平面2022/12/22自动控制原理--根轨迹法116ⅱk=1时，渐近线不同2022/12/20自动控制原理--根轨迹法50ⅱk=2022/12/22自动控制原理--根轨迹法117四、零度根轨迹1，概念：

非最小相位系统：凡是在S平面右半平面有开环零极点的系统，与之相反称为最小相位系统。产生零度根轨迹原因:①非最小相位系统中包含有最高次幂的系数为负的环节②系统中有正反馈内环。幅角条件满足2kπ(k属于Z)的根轨迹称为零度根轨迹。其幅值条件不变。2022/12/20自动控制原理--根轨迹法51四、零度根轨2022/12/22自动控制原理--根轨迹法118绘制规则（与常规根轨迹相比）

①实轴上根轨迹只能出现在其右侧开环零极点总数为偶数的区段上

②渐近线θ=2kπ/(n-m)k=1,2,…,n-m-1③出射角

入射角2022/12/20自动控制原理--根轨迹法52绘制规则（与2022/12/22自动控制原理--根轨迹法119④分离角

其他规则不变，例8汇合角WkR(s)Y(s)2022/12/20自动控制原理--根轨迹法53④2022/12/22自动控制原理--根轨迹法120例92022/12/20自动控制原理--根轨迹法54例92022/12/22自动控制原理--根轨迹法121五、