区间型不确定多属性决策方法及应用

第2篇区间型不确定多属性决策方法及应用随着社会、经济的发展，人门所考虑问题的复条性、不确定性以及人类思维的模糊性在不断增强．在实际决决过程中，决策信息有时以区间数形式来表达。本章将介绍区间型正理想点、区间型负理想点等概念．区间数

之间比较的可能度公式以及可能度公式之间的关系，并且分别介绍基于可能度、基于投影模型、逼近正理想点的多属性决策方法．本章对上述方法均进行了实例分析第1节基于可能度的多属性决策方法一、区间数比较的可能度公式记称为区间数，特别地，当时，退化为一个实数。先给出区间数的运算法则。设和，且，则设和，且，则（1）当且仅当和（2）（3），其中，特别地，若，则定义4.1当均为实数时，则称当时当时当时（4.1）为的可能度。定义4.2当至少有一个为区间数时，且记（4.2）为的可能度。则称设，则记的次序关系为例设，，求。解所以，定义4.3当至少有一个为区间数时，且记（4.3）为的可能度。则称例设，，求。解所以，定义4.4当至少有一个为区间数时，且记（4.4）为的可能度。则称例设，，，，求求。。解所以，定义4.5当当至少有一一个为区区间数时时，且记记（4.5）为的的可能能度。则称可以证明明以上4个定义义是等价价的。例设，，，，求求。。解所以，根据上述述3种定定义，可可以证明明下列结结论均成成立。定理4.1设设，，，，则则（1）（2）当且仅当当（3）当且仅当当（4）（（互补性性）特别地，，（5）当且仅当当特别地，，（6）（（传递性性）对于于3个个区间数数若若当且仅当当且则定义1.8设设摸糊糊判断矩矩阵，，若若有则称矩阵阵B是模模糊互补补判断矩矩阵例为模糊互互补判断断矩阵。。定理2.2设设模模糊互补补判断矩矩阵对对矩阵阵B按行求和和得则可依据据的的序序关系对对区间进行排序序。例比比较下列列5个区区间大小小解：由可可能度矩矩阵对于矩阵阵P按行行求和：：由得到第3节决决策方方法步骤1对对于某某一多属属性决策策问题，，属性的的权重完完全确知(即为为实数)。对于于方案，，按属属性进进行行测度，，得到关于的的属性值值(这这里)．从从而构成成决策矩阵阵．．最最常见的的属性类类型为效效益型和和成本型．设设分分别表示示效益型型、成本本型的下下标集．．为了消除不不同物理理量纲对对决策结结果的影影响，可可用下列列公式将决策策矩阵转转化化为规范范化矩阵阵，，其中(4.9)(4.10)例4．3某某地区盛盛产生皮皮．为了了开发该该地区的的制革工工业，考虑列生生产资源源的分布布情况及及其他与与制革工工业有关关因素(属性性)，其其中所考考虑的属属性有:——能源需需求量(100kw．．h/d)；——水的的需求量量(10万加仑仑／天)；——废水排放方方式(十十分制)；——工厂和和设备成成本(百百万美元元);—作业成成本(百百万美元元/年)；——有关地地区的经经济发展展(十分制);——研研究开发发机会(十分制制)；——投资报报酬(以以1为基数).请请标准准化决策矩矩阵。

表4.5决决策策矩阵

表4.5决决策策矩阵在上述属性性中，能源源需求量()、水水的需求量量()。工工厂和设备成成本()和和作业成本本为成本型型外，其他他均为效益型．

表4.5决决策策矩阵例如，对于于属性7，，标准化公公式为

表4.5决决策策矩阵例如，对于于属性7，，标准化区区间，如

表4.5决决策策矩阵例如，对于于属性7，，标准化公公式为将决策矩阵阵转转化为规规范化决策策矩阵，，如表表4.6所所示．表4.6规规范范化决策矩矩阵

步骤1由由(4.9)和(4.10)两式将将决策矩阵阵转转化为规规范化决策矩阵，，如表表4.6所所示．表4.6规规范范化决策矩矩阵

或者(4.11)(4.12)根据区间放放的运算法法则，把(4.11)和(4.12)两式写为为(4.13)(4.14)步骤2利利用WAA算子对对各方案的的属性值进行集结．．求得其综综合属性值值(4.15)步骤3利利用区间间数比较的的可能度公公式(4.2)，算算出各方案综合属性性值之之间的可可能度并建立可能能度矩阵步骤4利利用公式式并按大大小对对方案进行行排序，即即得最优方案。第4节实实例分析析例4.1考考虑一一个大学的的学院评估估问题，选选择教学，，科研和和服务务这这3个属属性作为评评估指标．．设有5个个学院(方案)将将被评估，，并假定属属性的权重重向量为．．决决策者以区区间数这种种不确定形形式给出了各各方案的属属性值，其其规范化决决策矩阵如如表4.1所示．

表4.1规规范范化决策矩矩阵利用公式可求出学院院的综合属性性值分别为为区间数为了对各方方案进行排排序，先利利用(4.2)式求求出，，两两比较的的可能度矩矩阵对于矩阵P按行求和和：若用符号表表示方案案之间具有有可能度的的优序关系系，则相应的5个学院的的排序为为从而学院综综合评估估结果最好好。由得到4．2基基于投影影的多属性性决策方法法第1节决决策方法首先构造加加权规范化化决策矩阵阵，，其其中且定义4.6称为区间型正正理想点，，其中(4.16)定义4.7设和(4.17)是两个向量量，定义定义4.8设则称为向量的的模。众所周知，，一个向量量是由方向向和模两部部分所组成成，而向量之间间的夹角余余弦值仅能能街量它们们的方向是是否一致，而不能能反映其模模的大小．．必须把模模的大小与与夹角余弦值结合起起来考虑才才能全面反反映向量之之间的接近近度．为此定义投影影的概念。。定义4.9设和是两个向量量，定义(4.18)为在在上上的投投影，一般般地，值值越大．．表示向量量与之之间越接接近。令(4.19)其中，显然，值越大，表表明方案越贴近区间间型正理想点，，因此，，方案越越优。依据上述定定义，下面面介绍一种种基于投影影的多属性性决策方法．具具体步骤下下：步骤1对对于某一一多属性决决策问题，，属性的权权重完全确知．决策策者对所有有方案按各各属性进行行测度，得得到决策矩阵。。并按(4.9)和(4.10)两两式将转转化为规范化矩阵。。步骤2利利用属性性权重向量量和和规范化化矩阵，，构构造加权规范化化决策矩阵阵。。步骤3利利用（（4.16）式确定定区间型正正理想点。。步骤4利利用（（4.19）式求出出方案在在区间型正正理想点上的投投影。。步骤5根根据值值对方案进进行排序或择优。实例分析例4．2维维修性性设计是指指在产品的的研制过程程中，要充充分考虑系统统的总体结结构、各部部分的配置置与连接，，标准化和和模块化等因因素，以便便在产品发发生故障时时，用户能能及时恢复复。现拟对某雷雷达接收机机3个维修修性设计方方案进行选样．．考虑的指指标(属性性)有：——寿寿命周期费费用(万元)；——平均均寿命(小小时)；——平均均维修时间间；——-可用用度；——综合性性能．决策策矩阵如如表表4．2所所示．已知知属性权重向量为为试确定最佳佳方案。

表4.2决决策策矩阵

在各项指标标中，除寿寿命周期费费用()和和平均维修修时间()为为成本型外外．其他均均为效益型型。步骤1由由(4.9)和(4.10)两式将将决策矩阵阵转转化为规范范化决策矩阵阵，，如表4.3所示．．

表4.3规规范范化决策矩矩阵

表4.3规规范范化决策矩矩阵步骤2利利用属性性权重向量量以以及规范化化决策矩阵阵构构造加权规范范化决策矩矩阵，，如如表4.4所示．表4.4加加权权规范化决决策矩阵

步骤3利利用(4.6)式确定定区间型正正理想点步骤4利利用(4.19)式求出方方案在在区间间型正理想想点上的投影步骤5根根据值值对方案案进行排序序．得故最优方案案为。。4.3逼逼近理想想点的多属属性决策方方法4.3.1决策策方法定义4.10称称为为区区间型负理理想点，其中（4.20)下面介绍一一种迢近理理想点的多多属性决策策方法．具具体步骤如下：步骤1对对于某一一多属性决决策问题，，属性的权权重完全确确定．分分别为决决策炬阵及及其规范化化矩阵．步骤2利利用属性性权重向量量和和规范化化矩阵，，构造加权规范化化决策矩阵阵.步骤3利利用(4.16)和(4.20)两两式确定区区间型正、、负理想点、、步骤4计计算每个个方案分别别到正理想想点和负理理想点的距距离：(4.21)(4.22)步骤5计计算每个个方案对理理坦点的贴贴近度(4.23)步骤6按按值值的的大小对方方案进行排排序，值值越大，则方方案越越优优。4.3.2实例例分析例4．3某某地区区盛产生皮皮．为了开开发该地区区的制革工工业，考虑列列生产资源源的分布情情况及其他他与制革工工业有关因因素(属性)，其中所所考虑的属属性有:——能源需求求量(100kw．h/d)；——水的需求求量(10万加仑／／天)；——废水排放方式式(十分制制)；——工工厂和设备备成本(百百万美元);—作业成本本(百万美美元/年)；——有关关地区的经经济发展(十分制);——研研究开发机机会(十分分制)；——投投资报酬(以1为基数).已已知属性权权重向量为为有关部门提提出了5个个备选方案案，各方案案在上述属属性下的属属性值如表4.5所示示。试确定定最佳方案案。

表4.5决决策策矩阵

表4.5决决策策矩阵在上述属性性中，能源源需求量()、水水的需求量量()。工工厂和设备成成本()和和作业成本本为成本型型外，其他他均为效益型．步骤1由由(4.9)和(4.10)两式将将决策矩阵阵转转化为规规范化决策矩阵，，如表表4.6所所示．表4.6规规范范化决策矩矩阵

表4.6规规范范化决策矩矩阵

步骤2利利用属性性权重向量量以以及规范化化决策矩阵阵构构造加权规范范化决策矩矩阵，，如如表4.7所示．表4.7规规范范化决策矩矩阵

表4.7规规范范化决策矩矩阵

步骤3利利用(4.16)菏(4.20)式式确定区区间型正、、负理想点点步骤4计计算算每个个方案案分别别到正正理想想点和和负理理想点点的距距离步骤5计计箅每每个方方案对对理想想点的的贴近近度步骤6按按值值的的大小小对方方案进进行排排序得得：因此最最佳方方案为为。。第5章章属属性性权重重完全全未知知且属属性值值为区区间数数的多多属性性决策策方法法及应应用5.1对对方方案无无偏好好的多多属性性决策策方法法5.1.1公公式式和定定义对于某某一多多属性性决策策问题题，其其属性性的权权重向向量为，，并并满足足单位位化约约束条条件：：(5.1)且设决决策矩矩阵为为，，这里里。。其相应应的规规范化化矩阵阵为。。为了能能衡量量两个个区间间数相相似的的程度度相离离度的的概念念．定义5.1设设区间间数，，，，如果果范数称为为区区间数数和和的的相离离度。。显然越越大，，则和和相相离离的程程度越越大．．特别别地，，当时时，，有，，即即和和相相等。。5.1.2决决策策方法法对于某某一多多属陆陆决策策问题题．一一般需需要求求出各各方案案的综综合属性性值．．由规规范化化矩阵阵及及属属性权权重向向量，，利用WAA算子子得到到方案案的的综综合属属性值值(由(4.15)式式获得得)。。当属性性权重重及及属性性值都都是确确定的的值时时。由各方方案综综合属属性值值的大大小可可以确确定万万案的的优劣劣；否否则,就不能能直接接由(4.15)式式确定定综合合属性性值。。下面将将考虑虑属性性权虽虽完全全未知知、属属性值值为区区间数数且决策者者对方方案无无偏好好的情情形。。5.3UOWA算子子设表表示全全体区区间数数的集集合。。定义[224]设，，若若其中是是与UOWA相相关联联的权权重向向量，满满足且是是一组组数据据组中中第第大大的元元素。。则称函函数是是不不确定定算算子子，（（简记记算子））。可以利利用第第1章章中确确定OWA算子子加权权向量量的方方法或用下下面的的表达达式来来确定定加权权向量量，，其中(5.13)这里，，为为模模糊语语义量量化算算子(5.14)其中。。对对应于于模糊糊语义义量化化准则则[79]，“大大多数”，，“至至少半半数””，““尽可可能多多”的的算子子中中的参参数对对分别别为例5.3给给定一一组区区间数数利用(4.2)式对对这4个区区间数数进行行两两两比较较，并并建立立可能能度矩阵根据(4.6））式(4.6)得到可可能度度矩阵阵P的的排序序向量量利用对对区间间数，，按按降序序进行排排列，，可得得若假定定UOWA算子子的加加权向向量为为则利用用UOWA箅子子对这这4个个区间间数进进行集集结，，可得得5.4基基于于UOWA算子子的多多属性性决策策方法法5.4.1在在决决策者者对方方案无无偏好好情形形下的的多属属性决决策方方法下面介介绍一一种在在决策策者对对方案案无偏偏好情情形下下的多多属性决决策方方法．．具体体步骤骤如下下[226]：步骤1对对于于某一一多属属性决决策问问题．．决策策矩阵阵及其其相应的的规范范化矩矩阵分分别为为其中，，其中，，步骤2利利用用(4.2)式式对方方案的的各属属性值值进行两两两比比较．．并建建立可可能度度矩阵阵，，利用用(4.6)式求求得可可能厦厦矩阵阵的的排排序向向量。并按按其分分量大大小对对方案案的的各属属性值值按从从大到小的的次序序进行行排序序，得得到表1.19列列出了了3种种互补补标度度，它它们部部是模模糊互互补判判断矩阵．．0~1标度0.1~0.9三标度0.1~0.9九标度含义00.10.1元素j极端重要于元素I0.138元素j强烈重要于元素i0.30.325元素j明显重要于元素i0.439元素j稍微重要于元素i0.5