2023高考一轮复习第7单元第42讲　空间角含解析

第42讲空间角（时间:45分钟）基础热身。若直线/的方向向量与平面a的法向量的夹角等于120。,则直线/与平面a所成的角等于（）A.1200 B.300C.60° D.60°或30°。己知两平面的法向量分别为机=（1,-1,0）/=（0,1,-1）,则两平面的夹角为 （）A.60° B.1200C.60°或120°D.90°。在正方体ABCDABiCQi中，异面直线ABi与的夹角为（）nnKB5C*D6。如图K42-1,已知在长方体A8C£M|8iC0中4B=8C=4,CCi=2,则直线BG与平面所成角的正弦值为（）A.2B,2图K42-1。如图K42-2所示，在正方体中,£尸分别是正方形Ai5G£）i和正方形ADDiAi的中心，则EF与CZ）所成的角的大小是.图K42-26如图K42-3，在正方形48co中,EF〃48,若沿EF将正方形折成一个二面角后/E：ED：A£>=1 .,佟则AF与CE所成角的余弦值为.图K42-3综合提升。如图K42-4,在正方体A8C£M|8|CQi中，下列四个结论中错误的是（）图K42-4A.直线BiC与直线AC所成的角为60°B.直线BC与平面AAC所成的角为60°C.直线BC与直线AD\所成的角为90。D.直线8C与直线AB所成的角为90°0（2021.北京朝阳区一模］过长方体的一个顶点的平面与这个长方体的十二条棱所在的直线成的角都相等，这样的平面个数为（）A.4B.1C.OD.无数多个0E直三棱柱48C-A1&G中A4i=2,二面角B-A4i-Ci的大小为60。,点B到平面4CG4的距离为6,点C到平面ABB'的距离为2®厕直线BC\与直线ABt所成角的正切值为（）D.22❿（多选题）如图K42-5,在直三棱柱ABC-4B1G中44i=AC=，B=218LAC,点DE分别是线ECDC段BC,5C上的动点（不含端点），旦/c=B£则下列说法正确的是（）图K42-5A.EQ〃平面ACGAiB.该三棱柱的外接球的表面积为68兀3C.异面直线81c与A4所成角的正切值为2D.平面AEC与平面8BC的夹角的余弦值为13❿（多选题）如图K42-6,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,平面ABCDAP=A8=1,则下列说法正确的是 （）图K42-6A.异面直线PB与AC所成的角为60°B.三棱锥D-PBC的体积为6C.直线PD与平面PAC所成的角为30°D.平面PBD与平面PAB的夹角为30。❿[2021■资阳模拟]在正方体中,E为棱Ci。的中点，则BE与底面ABC。所成角的正弦值为.❿已知菱形ABCD的边长为2百，/班。=60。,沿对角线BD将AABD折起，使得二面角A-BD-C为钝二面角,且所得四面体4BCD的外接球的表面积为36兀,则平面ABD与平面CBD的夹角的余弦值为.◎[2021•厦门模拟]如图K42-7,在正方体4BCD-ABCQ中,E为DDx的中点.⑴求证:BA〃平面ACE;(2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值.图K42-7❿如图K42-8,矩形ABCD和菱形ABEF所在的平面相互垂直,NABE=6(r,G为8E的中点.(1)求证:46，平面4。忙(2)若A8=8,bc=1,求平面ACD与平面ACG的夹角的余弦值.图K42-8能力拓展❿如图K42-9,在四边形PDCB中,PO〃BC,B4_LPDPA=A8=BC=14O=2沿BA将APAB折起到ASBA的位置，使得SD=^.（1）作出平面SCD与平面SBA的交线/,并证明/!.平面CSB;渔⑵点。是棱SC上异于S,C的一点，连接QD,当二面角Q-BD-C的余弦值为6时，求三棱锥Q-BCD的体积.图K42-9第42讲空间角1.B［解析］设直线/与平面a所成的角为。，则。=120。-90。=30。,故选B.EF-1 12.A［解析］85</小”>=1"1"1=岳<嫄=_2,即<„/,">=］20。,.：两平面的夹角为180°-120°=60°.3.B［解析］连接BQ工。1（图略），因为8D〃B|Oi,所以NABQ（或其补角）即为异面直线ABin与BD所成的角，易知AW为正三角形，所以NA8Qi=3,所以异面直线与BD的夹角为n3故选B.4.C［解析］连接AG,交于点。，在长方体A8CDA&GO1中4B=BC=4,.：GO_LBB,又易知GO_LB8i,SOin88i=Bi,.：GO_L平面 .连接80,则C\OLBO,^OBC\为直线BC\与平面DBB\D\所成的角.在RtABOC,中,C|O=2",8G=2百，.：直线BC\与平面DBB\D\Goyio所成角的正弦值为sinNOBC^E1$,故选C.

5.45°［解析］以。为原点，以DAQCODi所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系。町z,设正方体的棱长为1,则。(0,0,0),(7(0,1,0)上32，,尸3 "，则:<EF,DC>=］35。,.：异面直线)与EF:<EF,DC>=］35。,.：异面直线)与= ,=(0/,0),・・cos<, >=' --,C。所成的角的大小是45。.［解析］:•折后A£；AO=11；",・：4£：_1£：£),・：4£,。区即两两垂直,以£为坐标原点,雨产尸产。的方向分别为x,y,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.4K,AFEC4设A8=E2=CD=2,贝！IE(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),.： AFEC4 * * -=^-^=r— —cos<AF,EC>=MF||re,=S,.：AF与CE所成角的余弦值为S.7.B［解析］如图，连接AS,易知AA81c为等边三角形，.：NACBi=60。,即直线81c与AC所成的角为60。,故选项A中结论正确;连接Bi。，：工8|=89=81=4。1,.：四面体489£)|是正四渔面体,.：点修在平面AOC上的射影为△AOC的中心，设为点O,连接SO,OC,则OC=3BC,设直线BC与平面AOC所成的角为。则cos五正=3彳2故选项B中结论错误;连接BCi,：'A。〃BG,且BiC_LBG,.：直线BiC与所成的角为90。,故选项C中结论正确；：ZB，平面BCGBlBiCu平面BCG8i,.：A8，BiC,即直线BC与48所成的角为90。,故选项D中结论正确.故选B..A［解析］由题意，题目中的长方体与正方体所作的平面个数相同，所以以正方体代替长方体来求解.方法一:在正方体ABCD-AtB^CiD1中,三棱锥A-AtBD是正三棱锥，直线AB,ADAA｛与平面A\BD所成的角都相等,过顶点A作平面a〃平面AiBD,则直线AB,AD,AAi与平面a所成的角都相等，同理，过顶点A作平面a与平面G8。、平面SAC、平面GAC分别平行，直线48工044与平面a所成的角都相等，所以这样的平面a可以作4个.故选A.方法二:只要与体对角线垂直的平面都和正方体的所有棱所在的直线成的角都相等，因为有4条体对角线，所以过一个顶点可以作4个平面.故选A..A［解析］由题意可知,NB4C=60。,点B到平面ACGA,的距离为6,点c到平面ABB\A\的距离为2",所以在三角形ABC中/8=2/。=4,3。=2丫,NA3C=90。,则倜 Bq（BBi+BC）=4j网42佟严I|=4,所以cos<噪%>=51配11=，故丽宿>=夜ECDC.AD［解析］在直三棱柱ABC-AiBiG中,四边形BCGBi是矩形，因为"C=BC所以EC〃B8|〃A4i,又EDC平面ACGAS4U平面ACG4,所以E£>〃平面ACCM,故A正确;因为2 _A4i=AC=%B=2,所以48=3,因为AB_LAC,所以BC^+32=^,89=""4=旧易知8C是三棱柱的外接球的直径，所以三棱柱外接球的表面积为4ttx&）=17/故B错误;因为A4i〃83i,所以异面直线BC与AAi所成的角为N3BC,在RtZkSBC中,3Bi=2,8C=y,

bcTn所以tanNBBC=8/=与故C错误;连接4曲则平面AEC即为平面ABC,以A为坐标原点,以的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0),B(3,0,0),C(0,2,0),Bi(3,0,2),则ACA(0,0,0),B(3,0,0),C(0,2,0),Bi(3,0,2),则ACNOZO),45、。,。？),设平面A8|C的法向量为n-AC=0,(2y=0,〃=(x,y,z),则卜•福=。，即b*+2z=0,取x=2,得"=(2,0,-3),同理得平面BBC的一个法向量|n-m| 2x2 4为m=(2,3,O),所以平面AEC与平面BBC的夹角的余弦值为网网=值病=?故d正确.故选AD.11.ABC［解析］四棱锥P-A8CZ)的底面为正方形，令4580=0,则。是SO4c的中点，如图,取PD的中点E,连接OE,则OE〃尸8,异面直线PB与AC所成的角为NEOA或其补角，连接V2因为平面ABC£>,AP=AB=1,四边形48co为正方形，所以OE=OA=AE=21-61-6-1-2X正确;连接PO,因为BD1AC,EQA=60°,故A正确Vapbc=%.bco=,PA『Abcd=3x]且易知BO_LPA/CnPA=A,所以BOL平面PAC,P。是P£>在平面PAC内的射影，即NOPODO1是直线PD与平面尸4c所成的角,sin/OPO4°=2,即NL>PO=30。,故C正确;取PB的中点F,连接AFQF,则AFLPB,又BD=PD^,^以。尸，尸8,所以NA/7)是二面角A-PB-D的平面角,AD又易知NAFZX90。,所以N4FO是平面PBD与平面PAB的夹角,tan/AFO=”=6,则N4/7耳30。,故D不正确.故选ABC.2123［解析］如图，取棱C£＞的中点尸，连接£死8尸,可知E尸，底面A8CR所以8E与底面ABCDEF2/F --所成的角为NEBF,设4B=2,则 贝ljBE=3,所以sinZ£BF==2133［解析］由已知得,AABO和ABC。均为正三角形，设E为BO的中点，连接CE并延长，过A作AHLEC交CE的延长线于点〃（图略），连接AE,易得/AEC是二面角A-BD-C的平面角.作ABC。的中心£则点尸在线段EC上，且FC=2EF,作FG//HA,^AG//HCAGCiGF=G,^^a四面体ABCD的外接球的球心。在GF上.设外接球的半径为R,由题知R=3,连接AO,C。,在RtAAGO和RtACFO中，因为CF=2^3x3=2,EF=1,所以/?2=0产+0产,r2=og2+AG2,在Rt"EH中》4£2=442+//£2,所以AG=3QF=E.4H=",HE=2,故G与O重合，从而cosZ2 2所以平面ABD与平面CBD的夹角的余弦值为‘.解:⑴证明:连接BD,设ACnBC=F,连接EF,如凰则EF//BDx,又BDiC平面ACE,EFu平面ACE,所以85〃平面ACE.

(2)以。为坐标原点，以DAQCQDi所在的宜线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间宜角坐标系,设正方体的棱(。/D4=(1,O,O),E4=,=,设〃=(x,y,z)为平面AEC设〃=(x,y,z)为平面AEC的法向量,x=l,y=l,所以"=(1,1,2),DA-nI也e(-|.iJDA、|DX|MVl+1+4~6所以cos<-n>= = =,所以直线AO与平面ACE所成角的正弦值为6..解:⑴证明：：•平面ABCOJ"平面A8£：a4O_LA8,平面ABCOCI平面平面ABCD,.：4。，平面48£尸，:NGu平面ABEF,.：AD1.AG.在菱形ABEF中，乙48E=6(r,G为BE的中点，.'.AG±BE,.'.AG±AF.：NOn4F=4,.：AG_L平面ADF.(2)由(1)(2)由(1)可知ADAFAG两两垂直，以A为原点，以AGAFAD的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.3：ZB=e,.：AG=3自「旦1)p,o,o)故A(0,0,0)<92<D(O,O,1),GV '.则短G争）%0i）初G^。）产，i=#i-[yi+Zi=O,设平面ACD的法向量为〃i=（xi田,zi）,则属"i=Zi=°,取力=得“i=（l,%.^Cn2=^x2-yy2+z2=0,设平面ACG的法向量为"2=（X2J2,Z2）,则=/=0,V3取52=2,得〃2=（02Y）.设平面ACD与平面ACG的夹角为0,帆1闻2^3Vzi则cos启嬴商=反应彳.：平面ACO与平面ACG的夹角的余弦值为16.解:⑴如图，延长BA,CD相交于瓦连接SE,则SE为平面SCD与平面SBA的交线/.E1吏在4SAD中,SA=1,AO=z,SO=2,则S*+AO^S。2,所以SA1AD.由SA_L4O4OJ_AB,SAn4B=A,得AO_L平面SAB.又BC〃AO,所以BC1•平面SA及又SEu平面SA8,所以BCLSE.由PD〃BCAB=BC=1AD,,得AE=1,所以AE=A8=S4,所以SE1.SB.

又8CnS8=8,所以SE_L平面CS8,即/!.平面CSB.(2)由6知,&4,4&4。，4仇4)，54以点4为坐标原