2023北京版数学高考第二轮复习-12概率与统计

2023北京版数学高考第二轮复习第十二章概率与统计12.1随机事件与古典概型

五年高考考点一随机事件的概率.（2018课标IH文,5,5分，综合性）若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为（）.15,则不用现金支付的概率为（）A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7答案B.（2020北京,18,14分，应用性）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案:方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持.对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：方案一男支持200人生不支持400人女生支持 不支持300人 100人方案二350人250人150人250人假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.（1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；⑵从该校全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；（3）将该校学生支持方案二的概率估计值记为po.假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为pi.试比较出与p,的大小.（结论不要求证明）解析⑴设该校男生支持方案一"为事件A,该校女生支持方案一"为事件B.依题意知，抽取的样本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人，故PW=~=去抽取的样本中共有女生400人,其中支持方案一的有3()0人，故P(B)=^2=I4UU4,(2)由(1)可知,该校男生支持方案一"的概率估计值为小该校女生支持方案一"的概率估计值为1设抽取的该校2个男生和1个女生中，支持方案一的恰有2人"为事件C,该事件包括2个男生均支持方案一而女生不支持方案一"2个男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一",故所求概率为(3)pi<p().解法一:由样本的频率估计总体概率.该校学生支持方案二的概率估计值为=称该校一年级男生中支持方案二的约有喘徐x500s^92人，该校一年级女生中支持方案二的约有高%X300由13人，假设一年级学生中支持方案二的概率为P2厕P2=(292+113)+(500+300)=簿，胃>80_1160-2'则P2>P0.故可知该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率，即Pl<P0.解法二:由题表可知，男生支持方案二的概率明显大于女生支持方案二的概率.样本中男、女生比例为3：2,此时=)而一年级的男、女生比例为5：3,因为9>*所以该校除一年级外其他年级学生支持方案二的概率应低于平均概率.即p.<po.3.(2019北京文.17,12分，综合性)改革开放以来人们的支付方式发生了巨大转变.近年来移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况.从全校所有的10()()名学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于2000元大于2000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率：(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元.结合⑵的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.解析(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人,仅使用B的学生有24+1=25人,A,B两种支付方式都不使用的学生有5人.故样本中A,B两种支付方式都使用的学生有100-30-25-5=40人.估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为喘xl000=400.⑵记事件C为从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元"，则P(C)弓=0.04.(3)记事件E为从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,该学生本月的支付金额大于2000元”.假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，则由(2)知,P(E)=0.04.答案示例1：可以认为有变化.理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化.所以可以认为有变化.答案示例2:无法确定有没有变化.理由如下：事件E是随机事件,P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的.所以无法确定有没有变化.4.(2016北京.16,13分)A,B,C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况,通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间.数据如下表(单位:小时)：TOC\o"1-5"\h\zA班 6 6.5 7 7.5 8B班 6 7 8 9 10 11 12C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5⑴试估计C班的学生人数：⑵从A班和C班抽出的学生中.各随机选取一人,A班选出的人记为甲,C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立,求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率：(3)再从A,B,C三个班中各随机抽取一名学生他们该周的锻炼时间分别是7,9,8.25(单位小时)这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为外表格中数据的平均数记为即,试判断即和田的大小.(结论不要求证明)解析(1)由题意知,抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名.根据分层抽样方法,C班的学生人数估计为100x^=40.(2)设事件A为甲是现有样本中A班的第i个人",i=l,2,..,5,事件G为乙是现有样本中C班的第j个人",j=1,2,..,8.由题意可知,P(Ai)=1,i=1,2,..,5;P(Cj)=ij=1,2...,8.3 o111P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=1xi= j=l,2,..,8.设事件E为该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知,E=AQUA1C2UA2C1UA2c2UA2C3UA3C1UA3c2UA3c3UA4C1UA4c2UA4c3UA5C1UA5c2UA5c3UA5c4.因此P(E)=P(A1C|)+P(A|C2)+P(A2C1)+P(A2c2)+P(A2c3)+P(A3CI)+P(A3c2)+P(A3c3)+P(A4C1)+P(A4c2)+P(A4c3)3+P(A5C1)+P(A5c2)+P(A5c3)+P(A5c4)=15x《=o(3)gi<po.磁思路分析(1)利用分层随机抽样的定义求出C班的学生人数;(2)依次找出甲、乙的搭配方式，求出概率;(3)将从A.B.C三个班中抽取的样本数据分别与该班的平均数比较,进而作判断.5.(2015北京文.17,13分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况.整理成如下统计表，其中表示购买，义"表示未购买.商品甲顾客人数1(X)VXVV217XVXy200VVVX300V X VX85VXXX98XVXX(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲.则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解析(1)从统计表可以看出，在这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为懦=02⑵从统计表可以看出，在这1000位顾客中.有10()位顾客同时购买了甲、丙、丁另有20()位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为当翳=03(3)解法一：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为箴=02顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为变需型=06顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为摆=0」.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.解法二:从统计表可以看出，同时购买了甲和乙的顾客，也都购买了丙;同时购买了甲和丁的顾客.也都购买了丙;有些顾客同时购买了甲和丙，却没有购买乙或丁.所以，如果顾客购买了甲，那么他同时购买丙的可能性最大.考点二古典概型1.(2022全国甲文,6,5分，基础性)从分别写有123,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张厕抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.1B.iC.1 D.|答案C2.（2022新高考I,5,5分，基础性）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）1112A.7 B.：CiD.5TOC\o"1-5"\h\z6 3 2 3答案D.（2020课标I文,4,5分，综合性）设O为正方形ABCD的中心，在O,A,B,C,D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（）12 14A卷B.7CiD.75 5 2 5答案A.（2019课标11,4,5分，应用性）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为（）2 3 2 1A3 C5叼答案B.（2019课标川文,3,5分，应用性）两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是（）1111TOC\o"1-5"\h\zA.7 Bi Ci Di4 3 2答案D.（2016北京文,6,5分，应用性）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）a1 d2 r8 n9A-S B-S C元 D.-答案B.（2019课标I理.6,5分创新性）我国古代典籍《周易》用卦"描述万物的变化.每一重卦"由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻J和阴爻匕二，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）

三三三三TOC\o"1-5"\h\z5 11 21 11A« B.- C.- D.-答案A8.（2021全国甲理.10,5分，综合性）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）12 2 4A-3B.gC,5 D.-答案C9.（2022全国甲理.15,5分，综合性）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率10.（2022全国乙，理13,文14,5分，应用性）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为11.（2018北京文,17,13分，应用性）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:电影类型电电影类型电影赧好评率第一类第二类第三类第四类第五类第六类140 50 300 200 800 5100.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率:（2）随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率:（3）电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化.那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大'?（只需写出结论）解析（1）由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是200x0.25=50.故所求概率为蒜=0025.（2）由题意知.样本中获得好评的电影部数是140x0.4+50x0.2+300x0.15+200x0.25+800x0.2+510x0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估计为1-7^=0.814.（3）增加第五类电影的好评率,减少第二类电影的好评率.三年模拟A组考点基础题组考点一随机事件的概率.（2021海淀模拟试卷一⑼一个盒中装有大小相同的2个黑球,2个白球，从中任取一球，若是白球,则取出来;若是黑球，则放回盒中，直到把白球全部取出，则在此过程中恰有两次取到黑球的概率为（）A.% B.胃 C.1 D,^-216 72 9 27答案A.（2022北京市陈经纶中学开学考试,12）抛掷红、黄两颗骰子,当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰子的点数之积大于20的概率是.冬至1口*3考点二古典概型

1.(2022密云二模,9)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和"(大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数叫做素数)，如36=5+31.在不超过36的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于36的概率是()a-TT B.点 c,- D.-答案B2.(2022东城期末.18)202()年9月22日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：中国将提高国家自主贡献力度，采取更加有力的政策和措施,二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值.努力争取2060年前实现碳中和.”做好垃圾分类和回收工作可以有效地减少处理废弃物造成的二氧化碳、甲烷等温室气体的排放，助力碳中和.某校环保社团为了解本校学生是否清楚垃圾分类后的处理方式，随机抽取了200名学生进行调查，样本调查结果如下表：清楚不清楚高中部

男生女生12 8清楚不清楚高中部

男生女生12 828 32初中:男生：24部女生243834假设每位学生是否清楚垃圾分类后的处理方式相互独立.(1)从该校学生中随机抽取一人，估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率；(2)从样本高中部和初中部的学生中各随机抽取一名学生.以X表示这2人中清楚垃圾分类后处理方式的人数，求X的分布列和数学期望；(3)从样本中随机抽取一名男生和一名女生，用餐1"表示该男生清楚垃圾分类后的处理方式，用片0"表示该男生不清楚垃圾分类后的处理方式.用力'=1"表示该女生清楚垃圾分类后的处理方式.用4=0"表示该女生不清楚垃圾分类后的处理方式.直接写出方差D化)和D(n)的大小关系.(结论不要求证明)解析⑴样本中清楚垃圾分类后处理方式的学生有12+8+24+24=68人,

所以从该校学生中随机抽取一人,估计该学生清楚垃圾分类后处理方式的概率为编=磊200 50⑵样本中高中部共有12+8+28+32=80名学生，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有12+8=20人，不清楚垃圾分类后处理方式的学生有28+32=60人,样本中初中部共有24+24+38+34=120名学生，其中清楚垃圾分类后处理方式的学生有24+24=48人，不清楚垃圾分类后处理方式的学生有38+34=72人,X的所有可能取值有0,1,2,八、6°-72 9口〜 20、，72,60、，48 9P(X=°)=而乂血=五,P(X=1)=而X访+而乂痂=而r>“c、20 48 1P(X=2)=-X—=-所以X的分布列为2222.20 2010所以X的数学期望为E(X)=0x^-+ix2+2x^=共⑶d@>d(ti).3.(2021平谷质量监控.18)随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意度调查.现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本彳导到下表(单位:人次):满意度老年人中年人青年人酸奶鲜奶酸奶03酸奶鲜奶满意100120120100150120不满意5()30305()5()80(1)从样本中任取1人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；(2)从该地区的老年人中随机抽取2人，青年人中随机抽取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率;（3）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1,使得整体对鲜奶的满意度提升最大?（直接写结果）解析（1）设这个人恰好对生产的酸奶质量满意为事件A,抽取的总人次为500,其中对酸奶质量满意的有100+120+150=370人次，所以P（A尸号=需（2）由频率估计概率.可得抽取的老年人对生产的鲜奶质量满意的概率为去抽取的青年人对生产的鲜奶质量满意的概率为义记抽取的三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意为事件D,明利看|、（中）+窃＞＜（—）=券所以这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率为我.（3）青年人.B组综合应用题组

时间：50分钟分值61分一、选择题（共4分）1.（2022东城二模,5）《周髀算经》中对圆周率兀有径一而周三”的记载.已知圆周率兀小数点后20位数字分别为14159265358979323846.若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（）TOC\o"1-5"\h\z3 33B.,21 7C— D—100 20答案D二、填空题（共5分）

2.(2022密云二模,13)银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，如果记得密码的最后1位是偶数，则第2次按对的概率是.空1口*5三、解答题(共52分)3.(2022西城二模.17)2021年12月9日，《北京市义务教育体育与健康考核评价方案》发布.义务教育体育与健康考核评价包括过程性考核与现场考试两部分,总分值70分.其中，过程性考核40分,现场考试30分.该评价方案从公布之日施行,分学段过渡、逐步推开.现场考试采取分类限选的方式，把内容划分了四类,必考、选考共设置22项考试内容.某区在九年级学生中随机抽取110()名男生和100()名女生作为样本进行统计调查,其中男生和女生选考乒乓球的比例分别为10%和5%,选考1分钟跳绳的比例分别为40%和50%.假设选考项目中所有学生选择每一项相互独立.(1)从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，估计该学生选考乒乓球的概率；(2)从该区九年级全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率;(3)已知乒乓球考试满分8分.在该区一次九年级模拟考试中,样本中选考乒乓球的男生有60人得8分40人得7.5分，其余男生得7分;样本中选考乒乓球的女生有40人得8分，其余女生得7分.记这次模拟考试中.选考乒乓球的所有学生的乒乓球平均分的估计值为以其中男生的乒乓球平均分的估计值为试比较闺与总的大小.(结论不需要证明)解析(1)样本中男生选考乒乓球的人数为1100x10%=110,样本中女生选考乒乓球的人数为1000x5%=50,设从该区所有九年级学生中随机抽取1名学生，该学生选考乒乓球为事件A,则P(A)110+50则P(A)110+50 81100+1000 105,(2)设从该区九年级全体男生中随机抽取1人，选考1分钟跳绳为事件B,从该区九年级全体女生中随机抽取1人，选考1分钟跳绳为事件C,则P(B)=0.4,P(C)=0.5,则从该区九年级全体男生中随机抽取2人,全体女生中随机抽取1人,估计这3人中恰有2人选考1分钟跳绳的概率为GX0.4X(1-0.4)X0.5+C1x0.42x(1-0.5)=0.32.(3)阳〉内.详解:样本中选考乒乓球的男生有110()xl0%=ll()人,选考乒乓球的女生有1000x5%=50人.100x8+40x7.5+20x7 31 - 60x8+40x7.5+10x7 85N产 荷 =彳，.= 丽 =五，因为?＞黑，所以内邛2.4.(2022清华大学中学生标准学术能力测试(11月),17)近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A,B两种支付方式的使用情况，随机抽取了600名男员工、400名女员工，统计了他们的消费习惯，获得数据如下表：男员工女员工经常使用偶尔使用从不使用经常使用偶尔使用从不使用放A200名300名100名300名100名0同B350名150名100名150名150名100名⑴分别估算该企业男、女员工从不使用方式B的概率：(2)从该企业全体男员工中随机抽取2人，全体女员工中随机抽取1人.估算这3人中恰有2人经常使用方式A的概率.解析(1)该企业男员工从不使用方式B的概率为摆="该企业女员工从不使用方式B的概率为摆=OUUO 4UU14,⑵该企业男员工经常使用方式A的概率为黑=|；DUUJ该企业女员工经常使用方式A的概率为装=*抽取的3人中,有一名男员工经常使用方式A,且女员工经常使用方式A的概率为禺x2X(1-x[=35所以3人中恰有2人经常使用方式A的概率为《+；=薨36 3 365.(2020东城二模.18)某志愿者服务网站在线招募志愿者.当报名人数超过计划招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，下表记录了A,B,C,D四个项目最终的招募情况,其中有两个数据模糊，记为a,b.项目计划招募人数报名人数A50100B60aC80bD160200甲同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记自为甲同学最终被招募的项目个数，已知P©=0)磊,P(E=4)=—)10'(1)求甲同学至多获得三个项目招募的概率：(2)求a,b的值；(3)假设有十名报了项目A的志愿者(不包含甲)调整到项目D,试判断E化)如何变化(结论不要求证明).解析⑴因为事件甲同学至多获得三个项目招募"与事件看4”是对立的,所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是磊=春⑵设事件A表示甲同学被项目A招募"面题意可知.P(A尸爵=今设事