2023届新高考数学（新高考Ⅰ卷）模拟试卷十四（学生版+解析版）

绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试

新高考I卷数学模拟卷十四学校：——姓名：一 —班级：一 —考号：一题号一二三四总分得分注意：本试卷包含【、II两卷。第I卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第II卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷(选择题)一'单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足iz=l-i(其中，为虚数单位)，则复数2在复平面内所对应的点位于A.第一象限A.第一象限 B.第二象限2.已知集合4={x|x2—4x+3<0},A.(l,e] B.[1,3]3.若数列{aj是等比数列，公比为g,A.充分不必要条件C.第三象限 D.第四象限B={x|lnx<1},则ACB=()C.(0,e] D.(0,3]则“q>1”是“{aQ为递增数列的”()B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.如图所示，正方体的棱长为百，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，那么该正八面体的内切球表面积为()An.-An.-B.n47r3D.47r.北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有()A.90种 B.125种 C.150种 D.243种TOC\o"1-5"\h\z.已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N(100,225),从中任取3名同学，至少有2人的数学成绩超过100分的概率为()A.- B.- C.- D.-2 3 4 87.已知抛物线C:y2=4x,圆尸:(x-1产+y2=i,直线,：y=k(x-l)(k40)自上而下顺次与上述两曲线交于Mi，M2,M3,M4四点，则下列各式结果为定值的是()A.\MxM3\■\M2M4\ B.C. D.\FMt\(2设-1|—10<x<28.已知/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(x)= ，若关-Z),X>2于x的方程[/(x)]2-(a+l)/(x)+a=0(aGR)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为()A.—4 B.4 C.8 D.—4或8二'多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。.为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据:选物理不选物理数学成绩优异207数学成绩一般1013由以上数据，计算得到f=S*13：2m7)2.4844,根据临界值表，以下说法正LSX£,/XZUX3U确的是()参考数据：a0.10.050.010.0050.001Xa2.7063.8416.6357.87910.828A.有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关C.95%的数学成绩优异的同学选择物理D.若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化.已知x>0,y>0,2x+y=l,则下列说法正确的是（）A.孙的最大值是: B.：+即勺最小值是8C.4/+y2的最小值是1 D.M+y2的最小值是］.已知函数/（x）=COS（3X-F）（3>0）,则下列说法正确的是（）4A.若将/（X）图象向左平移g个单位长度，所得图象与原图象重合，则3的最小值为44B.若/%）=/©）,则3的最小值为1C.若/（X）在（。兀）内单调递减，则3的取值范围为L Z4D.若f（x）在6,兀）内无零点，则3的取值范围为后,口.长方体中，底面ABCO是边长为2的正方形，AAX=1,则下述结论正确的是（）A.若点P为底面四边形ABiC/i内的一个动点，且AP=2,则点P的轨迹长度为垂-n2B.若点P为侧面四边形DiCiCC内的一个动点，且4P1D1C,则点P的轨迹长度为日C.若点P为侧面四边形BiGCB内的一个动点，且AP与平面ABC。所成的角为30。，则点P的轨迹为双曲线的一部分D.若点尸为底面四边形AiBiQCi内的一个动点，且平面A8P与平面A8C。所成的角为45。，则点P的轨迹为椭圆的一部分第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.曲线/（x）=ln（2x）+x2在点（1,/（1））处的切线方程为..某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据0.981°的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是..已知在A4BC中，AB=3,AC=5,其外接圆的圆心为O,则亚•品的值为.已知双曲线/一?=1的左、右焦点分别为Fi，F2,过点Fi的直线与双曲线的左支交于4,B两点,设工，S2分别为△ARE，△BF/2的内切圆的面积，则工+52的取值范围为.四'解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。.在AABC中，内角A,8,C所对的边分别为a,b,c,已知代tanAtanB-tanA-tanfi=百，角C的平分线CD交AB于D.(1)求证：=—+—；(2)若CC=CB=2,求A/IBC的面积..已知数列｛/｝满足0n_i-0n=%-an+1(n>2),且％=1,a7=13;数列｛匕｝的前”项和为&,且S”=(1)求数列｛册｝和｛b｝的通项公式；(2)若数列.=｛霁需3求数列a｝的前〃项和.如图，四边形ABC。为梯形，AD//BC,AD1AB,侧面PA8为等边三角形，平面ABPABCD,AD=2BC=2,点M在边PC上，且PM=2MC.(1)证明：P4〃平面(2)当二面角C-BM-。的平面角的正切值为历时，求四棱锥P-A8CD的体积..购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一.每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.某礼品店2021年1月到8月出售的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月销售量/千个3456791()12月利润/万元3.64.14.45.26.27.57.99.1(1)求出月利润y(万元)关于月销售量x(千个)的回归方程(精确到0.01);(2)2022年冬奥会临近，该店售卖装有奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的两款盲盒，小明同学购买了4个装有“冰墩墩”玩偶的盲盒，4个装有“雪容融”玩偶的盲盒,从中随机选出3个作为元旦礼物赠送给同学.用X表示3个中装有“冰墩墩”玩偶的盲盒个数，求X的分布列和数学期望.参考数据：混*=460,富=1%=379.5附：线性回归方程夕4x+a中,、畸涉=赞第黑，a=y-^..已知椭圆C$+《=l(a>b>0)的左右焦点分别为&(一1,0),后(1，。)•过尸2与工轴垂直的直线与椭圆C交于点。，点。在x轴上方，且|。&|=斗.(1)求椭圆C的方程；(2)过点尸2的直线/与椭圆C交于A,B两点，是否存在一定点M使得Ama+^mb为定值，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由..已知函数/'(x)=g(x)=xsinx—ln(x+1).(1)讨论函数/(x)的单调性；(2)证明：当％6g,用时，xsinx>2cosx+1;(3)判断g(%)在区间C，2tt)上零点的个数.绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试新高考I卷数学模拟卷十四学校： —姓名：一 班级： —考号：一题号—•二三四总分得分注意：本试卷包含I、n两卷。第1卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第n卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。第I卷（选择题）一'单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。23.若复数z满足iz=l-i（其中i为虚数单位），则复数，在复平面内所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的几何意义，复数的运算及复数几何意义，属于基础题.先求出复数z的值，再求其共加复数对应点位置即可.【解答】解：z=¥=-l-i，从而，=-l+i,故其对应点（一1,1）位于第二象限.故选B.24.已知集合4={制--4x+3<0},B={x|lnx<1},则4nB=()A.(l,e] B.[1,3] C.(0,e] D.(0,3]【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次不等式，对数不等式，交集运算，属于基础题.根据一元二次不等式和对数不等式解法，求出集合A,B,根据交集运算即可求得答案.【解答】

解：A={x|x2—4x+3<0}=(1,3).B={x|lnx<1}=(0,e].故4nB=(1,e].故选4.若数列｛%｝是等比数列,公比为g,则“q>l”是“｛%｝为递增数列的"（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件、必要条件及等比数列，考查考生的逻辑推理能力，考查的核心素养是逻辑推理.分别取的=-27*,a„=-（1）n,求出相应数列的公比，结合充分条件、必要条件的相关定义进行分析即可得解.【解答】解：取册=一2”，该数列的公比q=2>l,但该数列是递减数列；取即=一（｝n，该数列的公比q=：<l，但该数列是递增数列•所以“q>1”是“数列｛斯｝为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选C.D.47r.如图所示，正方体的棱长为百，D.47rAj B.zr C*【答案】B【解析】【分析】本题考查了球的表面积，属于中档题.由题意知这个八面体的棱长均为耳，求出内切球的半径，由此求得它的表面积.【解答】解：由题意知这个八面体的棱长均为当，设内切球的半径为r,内切球的球心为0,

则该正八面体可以分割成8个以0为顶点，八面体的各个面为底的全等的三棱锥,易求得构成八面体的两个四棱锥的高都为日，所以正八面体为8x：x：x（当）x务=：x律）x7x2所以内切球半径为r=点内切球表面积为47n■?=兀，故选8..北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（）A.90种 B.125种 C.150种 D.243种【答案】C【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题.根据条件可分两类考虑，第1类，5个同学分3,I,1进行分组分配，第2类，5个同学分2,1分组分配，计算即可求得结果.【解答】解：分两类；第1类，5个同学分3,1,1进行分组分配，有麾a=60种安排法；第2类，5个同学分2,2,1分组分配，有塞阳=90种安排法，一共有60+90=150不同安排法.故选C.28.已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X近似服从正态分布N（100,225）,从中任取3名同学，至少有2人的数学成绩超过100分的概率为（）A.- B.- C.- D.-2 3 4 8【答案】A【解析】【分析】本题主要考杳正态分布概率计算以及正态分布曲线性质，属于基础题；根据已知条件苜先确定至少有2人的数学成绩超过100分的情况，再分类讨论，结合正态分布曲线性质和正态分布概率计算每种情况下的概率，最后再相加，得出结论.【解答】解：VP(X>100)=i,至少有2人的数学成绩超过100分的情况如下:①恰有2人的数学成绩超过100分的概率：TOC\o"1-5"\h\z=—xixi=->s\2J2x1 4 2 8②3人的数学成绩均超过100分的概率：Co(~)3=-»“2/ 8・・.至少有2人的数学成绩超过100分的概率为：3.1 1—I—=一，8 8 2故选429.已知抛物线C:y2=4x,圆尸:。一1)2+丫2=1,直线/：丫=/£。一1)(1工0)自上而下顺次与上述两曲线交于Mi，M2,M3,M4四点，则下列各式结果为定值的是()A.\M1M3\-\M2M4\ B.C.MM•I"3M,I D.|FMi|•MM【答案】C【解析】【分析】本题主要考查抛物线的定义、一元二次方程的根与系数关系，考查学生的计算能力，属于中档题.解题时注意抛物线定义的两种应用：(1)当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d,则|MF|=d,有关距离、最值、弦长等是考查的重点；(2)利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线.利用抛物线的定义和：=%+1就可得出IMjMzI= 同理可得|M3M/=/，将直线的方程代入抛物线方程，利用根与系数关系可求得.【解答】解：由，yfF4XD消去y整理得d一一(2仁2+4)x+k2=0(/cH0).设时101，%),“4(孙,丫2)，则与+x2=号匕,X1*2=1.过点Ml，场分别作直线1:x=-1的垂线，垂足分别为48,则|M/|=x1+1,|M4F|=x2+1.对于A,|MiM311M2M/=(|M/|+1)(|M4F|+1)=(jq4-2)(x2+2)=X1X2+2(Xi+X2)+4,不为定值，故A不正确.对于B,\FMr\■\FM4\=(%1+l)(x2+1)=XiX2+xj+r2+1,不为定值，故B不正确.对于C\MtM2\|M3M4|=(IMiFI-1)(|M4F|-1)=xtx2=1,为定值，故C正确.对于D,•IM1M2I=IM/I•(WiFi-D= +1)的不为定值，故D不正确.故选C.-10<%<2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，/(%)=1 _'一,若关于x的方程［f(x)F-(a+l)/(x)+a=0(aeR)恰有4个不相等的实数根，则这4个实数根之和为()A.—4 B.4 C.8 D.-4或8【答案】D【解析】【分析】本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大.先设t=/(x),求出方程［八>)］2-(£1+1)/(>：)+。=0的解，作出函数“X)在X20时的图象，利用数形结合求得结果.【解答】解：作出函数/(x)在x20时的图像，如图所示，设f(x)=3则关于—(a+l)/(x)+a=0(aeR)的方程等价于尸—(a+l)t+a=0,解得：t=a或t=1,当t=1时，即/(x)=1对应一个交点为%=2,由/(x)是R上的奇函数，又原方程恰有4个不同的根，可分为两种情况：(l)t=a=即f(x)=:对应3个交点，且小+心=2,%=4,此时4个实数根的和为8,(2)t=a= 即/(x)=-制应3个交点，且必+小=一2,打=一4,此时4个实数根的和为一4.综上可得这4个实数根之和为-4或8.故选。.二'多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得。分。.为了解高中生选科时是否选物理与数学成绩之间的关系，某教研机构随机抽取了50名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：选物理不选物理数学成绩优异207数学成绩一般1013由以上数据，计算得到公=吗等芝之《4.844,根据临界值表，以下说法正确的/XZUX3U是()参考数据：0.10.050.010.0050.001Xa2.7063.8416.6357.87910.828A,有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关C.95%的数学成绩优异的同学选择物理D.若表格中的所有数据都扩大为原来的10倍，在相同条件下，结论不会发生变化【答案】AB【解析】【分析】本题考查独立性检验，属于基础题。根据独立性检验的原理逐项分析即可.【解答】解：因为*2a4.844>3.841,所以有95%的把握认为是否选择物理与数学成绩有关，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为是否选择物理与数学成绩有关.故选AB.32.已知x>0,y>0,2x+y=l,则下列说法正确的是（）A.孙的最大值是; B.-+工的最小值是8,8 xyC.43+y2的最小值是g D.%2+y2的最小值是:【答案】ACD【解析】【分析】本题考查基本不等式求最值以及二次函数的性质，属于中档题.利用基本不等式求出xy的最大值可判断A正确;利用“1”的代换可判断B错误；根据基本不等式可判断C正确.由消元法以及一元二次函数的性质可判断D正确；【解答】解：对于A,2x+y=1>2d2xy,•••xy< 当且仅当一〔即x=；,y=：时等号TOC\o"1-5"\h\z* 8 1/X—y 4 2成立，故A正确；rly_2x对于&3+2=6+二）（2》+丫）=5+空+三25+2〃=9,当且仅当|工=7 即x=2,xyxy xy I2x+y=1 3y=1时等号成立，故B错误；对于C.因为xy<2x+y=1故4/+yz=（2x+y）2—4xy=1-4xy>1—4x^=|,当且仅当*=；,y=乙时等号成立，故C正确.4 2对于D.因为x>0.y>0.2x+y=l.故0<x<?/+y?=丫2+（i—2x）2=5x2—4x+1=5（x-1）2+i,当x时，取得最小值g故D正确.故选4CD.33.已知函数f（X）=COS（3X-》（3>0）,则下列说法正确的是（）A.若将/（X）图象向左平移£个单位长度，所得图象与原图象重合，则3的最小值为4B.若//）=/6），则3的最小值为1C.若/（X）在G，?r）内单调递减，则3的取值范围为E，：］D.若/（X）在（。n）内无零点，则3的取值范围为住,口Z Z4【答案】BC【解析】【分析】

本题主要考查函数y=4cos（a）x+租）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，属于中档题.由题意利用函数y=4cos（3x+p）的图象变换规律，余弦函数的图象和性质，得出结论.【解答】解：对于A,显然f为周期的整数倍，所以？=心生，4 4co即：3=8匕kWZ,所以3的最小值为8,故A错误;对于B,由/（）=/《）得：cos（詈一彳）=cos（詈一：）,所以丝一巳=丝一三+2/OT,kez或---=2/C7TkeZ,3 4 6 4 3 4 6 4所以3=12k或3=1+4k,fc6Z,乂3>0,所以3最小值为1,故B正确;对于C,对于C,显然詈-汴（i）x--<a）n所以有

4 41 1 c:即：-+4k<a)<-+2k,

2 4kWZ,当k=0时符合题意,因此3的取值范围为E，：］,故C正确./o）n兀、iJr NK7T——.对于D,由之二万2得：一：+2人工3工-+忆，kEZtTOC\o"1-5"\h\zu）n——<-+fcyr, 2 44 2当k=0时，0V3W日，当&=1时，-<co<-,4 2 4所以3的取值范围为（。1uE，m，故d错误.故选BC.34.长方体ABC。-AiBiGCi中，底面A8C0是边长为2的正方形，AAr=1,则下述结论正确的是（）A.若点P为底面四边形4/165内的一个动点，且4P=2,则点P的轨迹长度为日"B.若点尸为侧面四边形DiGCD内的一个动点，且AP1AC,则点P的轨迹长度为当C.若点尸为侧面四边形BiGCB内的一个动点，且AP与平面A8c。所成的角为30。，则点尸的轨迹为双曲线的一部分D.若点P为底面四边形4B1GD1内的一个动点，且平面4BP与平面ABC。所成的角为45。，则点P的轨迹为椭圆的一部分【答案】AC【解析】【分析】本题考查立体几何中的轨迹问题，属于较难题.建立空间直角坐标系，对于每个选项，分别设出点P的坐标，从而由轨迹方程判断轨迹形状，即可得解.【解答】解：以点A为坐标原点，分别以AB,AD,A4为x,y,z轴建立空间直角坐标系，A,设P(x,y,l),则而=(x,y,l),tex2+y2+1=4,二一+y?=3,则点P的轨迹为四分之一圆，半径为百，长度为产江，故A对；B:设P(x,2,z),则而=(x,2,z),D^C=(2,0,-1).APD^C=2x-z=0,则点P的轨迹为线段，长度为「二=9故B不对；7 4 2C:设P(2,y,z),则而=(2,y,z),平面ABCD的法向量为元=(0,0,1),|sin<AP-n>l=I,I=BP3z2-y2=4,V4+y2+z2' 2 J所以点P的轨迹为双曲线的一部分，故C对；。:设P(x,y,l),平面ABP的法向量设为记=(a,b,c),平面ABCD的法向量为元=(0,0,1),而=(x,y,l),AB=(2,0,0),工饯上=。, „•可取沆=(0,1,-y).a|cos<mn>|=||=y,解得(AP-m=ax4-oy+c=0 v1+y2y=1,所以点P的轨迹为线段，不是椭圆，故D不对.故选AC.第II卷(非选择题)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。.曲线f(x)=ln(2x)+M在点(1,/(1))处的切线方程为.【答案】3x-y+ln2-2=0【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义，属于基础题.利用导数的几何意义即可求解.【解答】解：/'(x)=[+2x,k=f'(l)=3»又/⑴=l+ln2,所以切线方程为y—(1+ln2)=3(x—1).即3x—y+ln2-2=0.故答案为：3x-y+ln2-2=0..某同学在一个物理问题计算过程中遇到了对数据0.981°的处理，经过思考，他决定采用精确到0.01的近似值，则这个近似值是.【答案】0.82【解析】【分析】本题考查二项式定理的应用，属于容易题.利用二项式定理展开0.981°=(1-O.O2)10,再求精确到0.01的近似值.【解答】解：0.9810=(1-0.02)1°«1-C/oX0.02+C}0X0.022«0.8+0.018*0.82,故答案为：0.82..已知在△ABC中，AB=3,AC=5,其外接圆的圆心为O,则而■记的值为.【答案】8【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积运算，属于中档题.过点。作BC的垂线，将向量的数量积通过向量加减法表示成已知的两个向量的模，再进行计算即可.【解答】如图所示，取BC的中点D,连接0D,AD,OD1BC,.-.AOBC=（AD+DO）-BC=ADBC+DOBC=ADBC1=-(AB+AC)■(AC-AB)=\(AC-AB2}1=2(52-32)=8.故答案为：8..已知双曲线*2-9=1的左、右焦点分别为Fi，F2,过点Fi的直线与双曲线的左支交于4，B两点,设Si，S2分别为△AF/2，△BF/2的内切圆的面积，则&+52的取值范围为.【答案】[2%等)【解析】【分析】本题考查了双曲线的性质及几何意义，直线与圆的位置关系，涉及对勾函数的性质及正切函数的性质，属于较难题.设AAaFz，ABFiF?的内切圆与x轴切于点M,N,可求得故点M,N重合于双曲线左顶点.不妨设41尸1尸2=8e(g,争，求得Si+$2=兀必^(+油砂，令£=taM(e弓,3),根据2函数的性质即可求得答案.【解答】解：设A46F2，ABF/2的内切圆与x轴切于点M，N,...|尸2M|=3型粤山=^=a+c,同理可得|七凶=a+c,故点M,N重合于双曲线左顶点.双曲线的渐近线为y=±Hx,又过点后的直线与双曲线C左支交于A,B两点，令乙4月尸2二6€(，耳)，设△4F1F2，ABFiF2的内切圆的半径分别为r2,则Si4-S2=n(.ri+域)=7r(tan21+tan2与当=zr(tan21+1号)，因为3W(K)，所以tang V3)»即1=tan2^G(1,3)»因Si+S2=7T(t+}在G，l)上单调递减，在(1,3)上单调递增，所以S]+52€[271,^y-).故答案为：[2%等).四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

39.在A4BC中，内角内5,C所对的边分别为小为c,已知6tan4tanB-tanA-tanB=y/3,角C的平分线CD交AB于D.(1)求证:V3 1.(1)求证:—— F-CDCACB(2)若CD=CB=2,求44BC的面积.【答案】(1)证明：因为KtanAtanB—tan/1—tanB=V3,所以tanA+tanF=—V3(l—tan/ltanF),故tanC=-故tanC=-tan(i4+B)=tanA+tanB

l-tanXtan5=y/3.C是三角形内角，故C=g,角C的平分线为CD,故乙4CD=乙BCD=[6则S—8C=S-cD+S&BCD»故；。4,CBs呜=♦小呜+Q小呜即收“小=以。+8。=知强+/证毕;(2)解:由⑴结论曰=《+?，结合CD=CB=2,LDLALd可得出=-+—^CA=V3+1,2 2CA故三角形ABC面积为-CBsing=1x2x(V3+l)Xy=等.【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用.(1)直接利用三角恒等变换与两角和的正切公式求出角C,再结合面积公式即可完成证明:(2)利用(1)的结论，求出CA,再由面积公式求解即可.40.已知数列｛。工满足a»i-i— -an+1(n>2),且%=1,a7=13;数列｛%｝的前n项和为Sn，且S”=-?(1)求数列｛册｝和｛3｝的通项公式；(2)若数列(2)若数列q求数列｛%｝的前〃项和【答案】解：(1)数列｛4(｝满足时_1—a4=(1n—an+i(n>2),艮口2^71=a=-1+a^+i，所以数列｛a“｝为等差数列，设公差为d,由=1,a7=13可得6d=12,d=2,所以由=1,a7=13可得6d=12,d=2,所以“=14-2(n—1)=2n—1；t 3«-l由&=一当n=1时，瓦=S[=1；当n>2时，bn=Sn-Sn-1=- =3n-1又因为瓦=1适合公式,所以b=3"-1.(2)因为.,(n为奇数)=J2n-l,(n为奇数)儿,(n为偶数)=13nT,(n为偶数)根据题意，数列｛7｝的奇数项构成一个以首项为1，公差为4的等差数列,数列｛cn｝的偶数项构成一个以首项为3,公比为9的等比数列,故当n为偶数时，〃=3季+呼3=中++，1—*7 2. L O当n为奇数时，Tn=Tn.x+cn3n-3,「 <n2+n,3n-3——4-2n-1=——"F——Tn=故吗二。+=心力为偶数N on2+n3n—3小*”—5—+—j—，n为奇数z O【解析】本题考查的知识要点：等差和等比数列通项公式的求法，用分类求和的方法求数列的前n项和，属于中档题型.(1)利用题中的已知条件由递推关系式求数列的通项公式，注意对首项的验证.(2)根据(1)的结论利用分类的方法进行求和，注意数列的项数.41.如图，四边形ABCD为梯形，AD//BC,ADLAB,侧面尸A8为等边三角形，平面4BP1平面ABC。，AD=2BC=2,点M在边尸C上，且PM=2MC.(1)证明：P4〃平面BOM;(2)当二面角C-BM-。的平面角的正切值为历时，求四棱锥P-4BCD的体积.【答案】(1)证明：连结AC交BD于N,再连结MN,由△BNCMDN捌箓=瑞=最所以黑由△BNCMDN捌箓=瑞=最所以黑NAMCPM所以4P〃MN,乂P4c平面BDM,MNu平面BDM,所以P4〃平面BDM；(2)作P。14B于0,平面4BP1平面ABCD,平面4BPD平面ABC。=4B,POu平面ABP,PO_L平面ABCD,以0为坐标原点，建立空间直角坐标系，设AB=a,呜分办Bg,0,0),cg,l,0),D(-p2,0),•.BC=(0,1,0), =(一黑，华)，前=(一见2,0),设平面BCM的一个法向量记=(x1,y1,z1)t平面BDM的一个法向量元=(x2,y2*z2)m•BC=0m•BC=0=m•BM=0得沆=(1,0,务a2yf3an»令％i=1，一办+*+工为=°n-FD=0nBM=0n-FD=0nBM=0令%2=1，得元=a,1一泉，I2V3an~7X2+*+-7-z2=0O 3 O设二面角C—BM—D的平面角的平面角为6,则tan8=VS,即cos。=?,cos<jnfn)=——\3 ==g,解得Q=2,同事71 1+2 LL•，•Vp-ABCD=3X—5—X2xV3=V3.【解析】本题考查空间线面平行的判定以及空间几何体体积的求法，考查利用向量求二面角的方法.(1)连结AC交BD于N,证明4P〃MN,由线面平行的判定定理即可证得PA〃平面BDM;（2）作P014B于0,设4B=a,以0为坐标原点，建立空间宜角坐标系，求出平面BCM的法向量沆，平面BDM的法向量记，由cos（而元=?解得a,即可求得体积.42.购买盲盒，是当下年轻人的潮流之一.每个系列的盲盒分成若干个盒子，每个盒子里面随机装有一个动漫、影视作品的图片，或者设计师单独设计出来的玩偶，消费者不能提前得知具体产品款式，具有随机属性.某礼品店2021年1月到8月出售的盲盒数量及利润情况的相关数据如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月销售量/千个3456791012月利润/万元3.64.14.45.26.27.57.99.1（1）求出月利润y（万元）关于月销售量x（千个）的回归方程（精确到0.01）;（2）2022年冬奥会临近，该店售卖装有奥运吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”玩偶的两款盲盒，小明同学购买了4个装有“冰墩墩”玩偶的盲盒，4个装有“雪容融”玩偶的盲盒，从中随机选出3个作为元旦礼物赠送给同学.用X表示3个中装有“冰墩墩”玩偶的盲盒个数，求X的分布列和数学期望.参考数据：£匕蜉=460,^=1^7(=379.5附：线性回归方程歹=m+8中,'号箫竽=黔箸,a=【答案】解：(1)由参考数据可得，TOC\o"1-5"\h\zrX?-1x；Vf-8xy379.5-8x7x6 43.5b='j = = as0.64,%户产460-8X72 68•»a=y—b'X=6—0.64x7*1.52.•••月利润y关于销售量x(千个)的线性回归方程为y=0.64%+1.52;(2)由题中数据可知，X的值可能为0,1,2,3,n/c、 1P(x=0)=^±=-,P(x=l)=誓斗，P(x=2)=等=：,C；1P(*=3)F-•••X的分布列为:X0123p1T437371U数学期望E(X)=0x^+lx1+2x^+3x^=1.【解析】本题考查线性回归方程的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题.(1)根据题中数据，求出a与方即可：(2)由题中数据可知，X的可能值为0,1,2,3,求出各自的概率进行求解即可..已知椭圆C:《+'=l(a>b>0)的左右焦点分别为尸式一1,0),F?。。).过F?与x轴垂直的直线与椭圆C交于点O,点。在x轴上方，且|CFi|=苧.(1)求椭圆C的方程；(2)过点F2的直线/与椭圆C交于4,8两点,是否存在一定点M使得kM4+kMB为定值，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)由题意得IDF2I=J(沿2-22=亨='且〃=〃一1,解得a=V2,b2=1,故椭圆C的方程9+y2=1；(2)当k=0时，kMA+kMB=0；若存在定点M,根据对称性设设x=ty+1,代入/+y2=1得+2)y2+2ty-1=0,设401，%),8(如,力)，故Yi+?2= ,丫2=正专，故■+*=且+*-=1—+1—MUX!~mx2~mtyi+l-mty2+l-m2tyty2+(1-m)(yi+y2)

12yly2+(1-m)t(yi+72)+(1—m)又因为2ty02+(1-m)(7i+y2)=当m=2时，kMA+kMB=0.故存在M(2,0),使得kMA+/CM8为定值6

【解析】本题考杳椭圆方程，定值问题，属