2023天津版数学高考第二轮复习-3导数的概念及运算

2023天津版数学高考第二轮复习第三章导数及其应用导数的概念及运算

五年高考考点导数的概念和运算.（2021新高考1,7,5分，创新性）若过点（a,b）可以作曲线y=e><的两条切线，则（）A.eb<aB.ea<bC.0<a<ebD.0<b<ea答案D.（2019课标比，理6,文7,5分，基础性）已知曲线y=aex+xlnx在点（l,ae）处的切线方程为y=2x+b,则（）A.a=e,b=-1 B.a=e,b=lC.a=e1,b=l D.a=e1,b=-l答案D.（2019课标II文,10,5分，基础性）曲线y=2sinx+cosx在点（n,-1）处的切线方程为（）A.x-y-n-1=0 B.2x-y-2n-1=0C.2x+y-2n+1=0D.x+y-n+1=0答案C.（2022新高考1,15,5分，综合性）若曲线y=（x+a）ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.答案 （-8,-4）U（0,+8）.（2022新高考11,14,5分，基础性）曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为,.答案 yWx;y=—X(不分先后).(2018天津文10,5分,基础性)已知函数3)=6肥x,f'(X)为f(x)的导函数则f'⑴的值为.答案e.(2020课标HI文,15,5分，基础性)设函数例=9若f'(1)吗则a=.答案1.(2020课标I文,15,5分，基础性)曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为.答案y=2x.(2019天津文,11,5分，基础性)曲线y=cosx-拉点(0,1)处的切线方程为.答案x+2y-2=0.(2019江苏,11,5分，基础性)在平面直角坐标系xOy中点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-l)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是.答案(e,l).(2022全国甲文,20,12分，综合性)已知函数f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点(xi,f(x。)处的切线也是曲线y=g(x)的切线.(1)若xi=-l,求a;(2)求a的取值范围.解析解法一：由题意可知f'(x)=3x2-l,f(xi)="%则曲线y=f(x)在点(xi,f(x。)处的切线方程为y-(xf—xl)=(3*-l)(x-Xi),即y=(3xi—l)x— ①.因为曲线y=f(x)在点(xi,f(xi))处的切线也是曲线y=g(x)的切线，所以［ 有且仅有一组解,即方程x2-(3*-l)x+2婢+a=0有两个相等的实数根，从而A=(3*-1)2-4(2婢+a)=0=4a=9注-8短-6*+1.⑴若xi=-l,则4a=12=a=3.(2)4a=9%i— —6x1+1,令h(x)=9x4-8x3-6x2+l厕h'(x)=36x3-24x2-12x=12x(x-l)(3x+l),令h'(x)>0相］<x<0或x>l,令h'(x)3得x<T或0<x<l,所以h(x)在,0)和(1,+8)上单调递增，在(-8,和(o,1)上单调递减，又h(l)=-4,h(-i)=3所以h(x)>4,所以a2-l.解法二曲题意可知f'(x)=3x2-l,f(xi)=煌-xi，则曲线y=f(x)在点(xi,f(xi))处的切线方程为y-(*-xl)=(3*-l)(x-xi),即y=(3xf-l)x-2婢①，设公切线与曲线y=g(x)的切点为仅2,诏+a),又g1(x2)=2x2,则切线可表示为y-(诏+a)=2x2(x-X2),即y=2x2x-xj+a(2),因为①②示同一直线方程，所以｛3蓝，雪+a贝！J(3好—1)2—8H=4a=4a=9xf—8xf—6xf+1.下面同解法一.易错警示不能认为两曲线的公切线切点相同.12.(2021全国乙文,21,12分，综合性)已知函数f(x)=x3-x2+ax+l.Q)讨论f(x)的单调性；(2)求曲线y=f(x)过坐标原点的切线与曲线y=f(x)的公共点的坐标.解析Q)由f(x)=x3-x2+ax+l可得f'(x)=3x2-2x+a,对于3x2-2x+a=0,a=4-12a.①当a与g时,a<0,即f，(x)20在R上恒成立，此时f(x)在R上单调递增.②当ag时,a>0,方程3x2-2x+a=0的两个根为xi-手时2=笔豆，故当xg98,七野)u出尹+」时,f9)>0,当x」匕要，笔国时,f0)<0,所以f(x)在(-8,七笋，(上笠,+8)上单调递增，在(上要,上要)上单调递减.(2)设过原点的切线与曲线y=f(x)相切于点P(xo,y°),则切线的斜率为f'(xo)=3*2xo+a,故以点P为切点的切线方程为y=(3诏-2xo+a)(x-xo)+yo.由yo=*-/+axo+L且切线过原点得2x1-诏-1=0,即(xo-l)(2诏+Xo+l)=O,解得xo=l,从而得P(l,l+a).所以切线方程为y=(l+a)x,联立(y=(1+a)x,ly=x3-x2+ax+1,消去y得x3-x2-x+l=0,即(x-l)2(x+l)=0,；.x=l或-1,.••公共点为(1,1+a)与(-1,-1-a).疑难点拨单调性问题的本质为解不等式,利用导函数的图象确定符号，当参数影响到导函数的符号时,对其分类讨论;切线问题的核心是切点，而切线与曲线的公共点不一定只有切点，这是一个易错点.13.(2018天津文,20,14分，综合性)设函数f(x)=(x-ti)(x-t2)(x-t3),其中匕他他父,且心上也是公差为d的等差数列.⑴若t2=o,d=i,求曲线y=f(x)在点(0,f(o))处的切线方程；⑵若d=3,求f(x)的极值；⑶若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-66有三个互异的公共点求d的取值范围.解析(1)由已知，可得f(x)=x(x-l)(x+l)=x3-x,故f'(x)=3x2-l.因此f(0)=0,「(0)=-1，又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f'(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.(2)由已知可得f(X)=(X-t2+3)(X-t2)(X-t2-3)=(X-t2)3-9(X-t2)=X3-3t2X2+(3tf-9)x-g+9t2.故f'(x)=3x2-6t2X+3导9.令f'(X)=O,解得X=t2-V5或X=t2+V5.当X变化时，f'(X),f(x)的变化情况如下表：XS，t2-V3)t2-V3(t2-V3,tz+V5)t2+V3(t2+V3,+oo)f'(X)+0一0+f(x)/极大值X极小值/所以函数f(x)的极大值为f(t2-V3)=(-73)3-9x(-V3)=6百;函数f(x)的极小值为f(t2+V3)=(V3)3-9x(V3)=-6V3.⑶曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-6百有三个互异的公共点等价于关于x的方程仅七+6仅七)仅土-d)+(x-t2)+6V3=0有三个互异的实数解.令u=x-t却可得u3+(l-d2)u+6V3=0.设函数g(x)=x3+(ld)x+6百,则曲线y=f(x)与直线y=-(xt)-6百有三个互异的公共点等价于函数y=g(x)有三个零点.g'(x)=3x2+(l-d2).当cPWl时,g'(x)NO,这时g(x)在R上单调递增，不合题意.当cP>l时，令g，(x)=O,解得xi=」p,x2=Jp.易得,g(X)在(-8,X1)上单调递增在［X1,X2］上单调递减，在(X2,+8)上单调递增.g(x)的极大值g(xi)=g(-七)=出鲁1+6百>O.g(x)的极小值g(x2)=g^j=一空也I+6>/3,若g(X2)20,由g(x)的单调性可知函数y=g(x)至多有两个零点，不合题意.3 若g(X2)<0,即@-1>>27,也就是|d|>VIO，此时|d|>X2,g(|d|)=|d|+66>0,且-2|d|<xi,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+6V3<-62同+66<0从而由g(x)的单调性可知函数y=g(x)在区间(-2|d|,xD,(xi,X2),(X2,|d|)内各有一个零点，符合题意.所以,d的取值范围是(-8「m)u(VTU,+8).深度分析函数y=g(x)(xeR)为三次函数，其导函数为二次函数,根据导函数的判别式a分为两类:①△W0时,g(x)为单调函数;②△>0时,g(x)不单调，图象有三段，有两个极值点.无论哪种情况,三次函数的值域均为(-8,+8).本题要求g(x)有三个零点，显然需要A>0,同时g(x)的极大值为正，极小值为负.14.(2018天津理,20,14分，综合性)已知函数f(x)=ax,g(x)=logax,其中a>l.⑴求函数h(x)=f(x)-xlna的单调区间；(2)若曲线y=f(x)在点(xi,f(x。)处的切线与曲线y=g(x)在点(X2,g(X2))处的切线平行，证明xi+g(x2)=-2lnIna.Ina'⑶证明当a2e：时存在直线I,使I是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.解析(1)由已知得,h(x)=ax-xlna,<h'(x)=ax•Ina-lna.令h'(x)=0,解得x=0.由a>l,可知当x变化时,h'(x),h(x)的变化情况如下表：X(-8,0)0(0,+°°)h1(x)-0+h(x)极小值/所以函数h(x)的单调递减区间为(-8,0),单调递增区间为(0,+8).(2)证明:由f'(x)=ax|na,可得曲线y=f(x)在点(xi,f(xi))处的切线斜率为aWna.由g'(x)=£，可得曲线y=g(x)在点(xzg%))处的切线斜率为土.因为这两条切线平行，故有aWna=^,BPx2axi(lna)2=l.两边取以a为底的对数得logaX2+xi+2logalna=0,(3)证明:曲线y=f(x)在点(xi,a*i)处的切线h:y-a*i=aX1lna•(x-x。.曲线y=g(x)在点(xdogaX?)处的切线l2：y-logax2=^(x-X2).11要证明当a2e2时，存在直线I,使I是曲线y=f(x)的切线也是曲线y=g(x)的切线，只需证明当adeZ时，存在*1£(-8,+8八2£(0,+8),使得k与卜重合.

即只需证明当a2《时,u,X1ln(z——；—,Q)方程组X21na ］，_、有解•方程组aX1-x1aX1\na=logax2-—(2)由①得X由①得X2二1

axl(lna)2/代入②彳导a%-xlaWna+xi+d+半则=。.③Inama1因此，只需证明当a?展时，关于xi的方程③存在实数解.设函数u(x)=ax-xax|na+x+J+半则，InaIna1即要证明当a》e£时，函数y=u(x)存在零点.u'(x)=l-(lna)2xax,可知xg(-8,o)时,u'(x)>0;xwO+8)时,u'(x)单调递减,又u'(0)=l>0,u(嵩)=1-Cl(lna)2<0,故存在唯一的Xo,且Xo>O,使得u1(Xo)=O,即l-(lna)2Xoax°=O.由此可得u(x)在(-8而上单调递墙在(Xo,+8)上单调递减.u(x)在X=XO处取得极大值u(Xo).1 , «.21nlna、2+21nlnQ1 , «.21nlna、2+21nlnQ-八 7+X。+———2—； 20.x0(lna) InaIna所以u(xo)=ax。-xOaXo|na+Xo+B+半㈣F面证明存在实数t,使得u(t)<0.由⑴可得ax》l+xlna,当x>专时，有u(x)7l+xlna)(l-xlna)+x+++需=-(lnay^+1+^+^所以存在实数t,使得u(t)<0.1因此当a2标时，存在xiG(-8,+8),使得u(xi)=0.1所以当a2限时，存在直线I,使I是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.三年模拟A组考点基础题组考点导数的概念和运算1.(2020河东检测3)曲线y=xe・i在点(1,1)处切线的斜率等于()A.2B.lC.2eD.e答案A2.(2020河西学情调查,13)设函数f(x)=x3+,则曲线y=f(x)在动点P(x0,f(x。))处的切线斜率的最小值为.答案2V53.(2022天津塘沽一中线上统练,20)已知函数f(x)=ax+lnx+1.(l)a=-l,求函数f(x)的最大值；(2)若f(x)-f,(x)^0恒成立，求a的取值集合；⑶令F(x)=f(x)-ax-l,过点P(xo,y°)作曲线y=F(x)的两条切线，若两切点横坐标互为倒数，求证:点P一定在第一象限内.解析(1)当a=-l时,f(x)=-x+lnx+l，定义域为(0,+8),f'(x)=-l+；=F令f*(x)>04f0<x<l,f(x)单调递增;令f'(x)<0,得x>l,f(x)单调递减.所以f(x)max=f(l)=0.(2)令g(x)=f(x)-f'(x)=ax+lnx+l-a-^(x>0),则g，(x)=a+、^=吟之若a20,则存在g(e)=a(e-l)+(2-j>0,与g(x)=f(x)-f'(x)<0恒成立矛盾，所以必有a<0,令ax2+x+l=0(*),有a=l-4a>0,设方程ax2+x+l=0的两根分别为xi,X2(xi<X2),则xiX2=，<0,所以方所以函数g(x)在(O,X2)上单调递增，在仅2,+8)上单调递减，所以g(x)max=g(x2)W0,注意到g(l)=O,则有X2=l,代入(*),解得a=-2,所以a的取值集合为{-2}.⑶证明:由题意得F(x)=lnx,则F'(x)=i设两切点分别为A(t,lnt),B(p-lnt)(t>l),所以A,B两点处的切线方程分别为y=：x+lnt-l,y=tx-lnt-1,令;x+lnt-l=tx-lnt-1,解得x=1^lnt,所以丫=专譬-1.则P(含Int,窄手巴1).因为31,所以含Int>0,要证明器警-l>0,t-1即证明室罟>1,又t2>l,所以即证Int扁,令h(t)=lnt-&(t>l),则h1(t)=^^>O(t>l),所以h(t)在(1,+8)上是增函数，所以h(t)>h(l)=O,则Int>得，所以号詈-1>0,故点P一定在第一象限内.4.(2022河西二模,20)已知f(x)=ex,xsR,g(x)=lnx,xe(0,+°°).(1)若直线y=kx+2与g(x)的图象相切,求实数k的直(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数；⑶设a<b上饨四与迪与小纱的大小,并说明理由.解析(1)设直线y=kx+2与g(x)=lnx的图象相切于点P(xo,yo),kxQ+2=Inx0,则有k=g'(&)=与解得x°=e3，k=e。Xq⑵当x>0,m>0时，曲线y=f(x)与曲线y=mx2公共点的个数等价于方程f(x)=mx2根的个数所以m=1,令h(x)号=折仅)=炉，则当*6(0,2)时下'仅)<0,即h(x)在(0,2)上单调递减，当xg(2,+8)时,h，(x)>0,即h(x)在(2,+8)上单调递增，故h(2)=滤h(x)的极小值同时也是最小值.所以当x>0时对曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数讨论如下：当时，无公共点；当m=9时，有1个公共点；当me(9,+8)时，有2个公共点.⑶/⑷+颂_ =(b-a+2)/(a)+Se2»(b)2 b-a- 2(b-a)_(b-a+2)ea+(b-a・2)eb2(b-a)=(b-a+2)+(b-a-2)eba一- 2(b-a) (令l(x)=x+2+(x-2)ex,x>0,贝!Jl'(x)=l+(l+x-2)ex=l+(x-l)ex,l'(x)的导函数I"(x)=xex>0,所以l'(x)在(0,+8)上单调递增，且|'(0)=0,因此l'(x)>0,故l(x)在(0,+8)上单调递增，而1(0)=0,所以在。+8)上,l(x)>0,因为当x>0时,l(x)=x+2+(x-2)ex>0且a<b,令x="a>o,则(b-a+2L：2)」a,ea>Q(所以当a<b时陛普>缥®.L b-u5.(2021河北二模,20)已知函数f(x)=x+alnx,其中aGR.Q)求函数f(x)的单调区间；(2)当xg[1,2]时，都有f(x)>0成立,求实数a的取值范围；⑶试问过点P(l,3)可作多少条直线与曲线y=f(x)相切,并说明理由.解析(l)f(x)的定义域为{x|x>0},「仅)=1+?=手.①当a20时，f'(x)>0.此时f(x)在定义域上是增函数.②a<0时，令f'仪)=0,则*=气.X(0,-a)-a(_a,+°°)f'(X)-0+f(x)极小值/综上所述，当a20时，f(x)在(0,+8)上是增函数当a<0时，f(x)在(0,-a)上是减函数在(-a,+8)上是增函数.(2)当x=l时,f(x)=l>0恒成立,.方力;当xg(1,2］时，f(x)>0恒成立，即x+alnx>0恒成立,a>*,令F(»=喘,F'(x)=需,xg(1,2)时尸(x)>0,函数F(x)单调递增,F(2)=G".a>-焉⑶设过P点与曲线相切的切点为(xo,xo+alnXo)(x°>O),则切线斜率k=f'仅。)=1+々孙.•.切线方程为y-(x0+alnx0)=(^)(x-x0),将Q,3)代入整理得axo•Inxo-(2+a)xo+a=O=>alnx0+--(2+a)=0,XQ令g(x)=alnx+：-(2+a)(x>0),g'(x)=：一£=①a=0时,g(x)=-2,不存在直线与曲线y=f(x)相切，②当a>0时,g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数且g(l)=a-2-a=-2<0,当a>0时存在t>0使得e>>-+1>-+l+t.aa即g(e-t)=a(-t+et-l)-2>0恒成立，此时，存在Xo>e-t且XoG(0,1)时,g(Xo)>0,故g(x°)•g(l)<O,；.g(x)在(0,1)上有且仅有一个零点，同理，存在xo>l时,g(xo)>O,，g(x)在(1,+8)上有且仅有一个零点,，9仅)在(0,+8)上有2个零点，即直线与曲线有2条切线.③当a<0时,g(x)在(0,1)上是增函数在(1,+8)上是减函数且g(l)=a2a=-2<0,此时无零点.综上所述，当a>0时，过点P有2条直线与曲线相切;当aWO时，不存在过点P的直线与曲线相切.B组综合应用题组时间：60分钟分值:70分一、填空题(每小题5分，共10分)1.(2020河1饿上测试,17)已知函数f(x)=axlnx-bx(a,bGR)的图象在点(e,f(e))处的切线方程为y=3x-e,则a,b的值分别为.答案1,-12.(2020和平一模,13)函数f(x)=xlnx+a的图象在x=l处的切线被圆C:x2+y2-2x+4y-4=0截得的弦长为2,则实数a的值为.答案-6或2二、解答题(共60分)3.(2022红桥一模,20)已知函数f(x)=«,g(x)=alnx,a@R.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及切线方程；(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时，求其最小值巾(a)的解析式；(3)对⑵中的。匕),证明:当2£(0,+8)时,6匕方1.解析(l)f,(x)=点,『(X)=%\[x=alnx, (a=-由题意得1_a解得2：,2^"x' 【X=e2,所以两曲线的交点坐标为(e2,e),切线的斜率k=f'的畛则切线方程为y-e=a(x-e2),即x-2ey+e2=0.(2)h(x)=«-alnx(x>O),h1(x)=^-；=等，XLX①当a>0时,h(x)在(0,4a2)上单调递减，在(4a4+8)上单调递增，所以e(a)=h(4a2)=2a[l-ln(2a)];②当aWO时,h(x)在(0,+8)上单调递增，无最小值.故h(x)的最小值6(a)的解析式为4>(a)=2a[l-ln(2a)],a>0.⑶证明:由⑵得4>(a)=2a[l-ln(2a)],a>0,则犷(a)=-2ln(2a),令@'匕)=0,解得2=今所以6(a)在(0，)上单调递增，在6,+8)上单调递减，所以<i>(a)max=4>g)=l,所以当ae(0,+8)时,6(a)《l.4.(2022和平二模,20)设a,b为实数，且a>l,已知函数g(x)=a><,h(x)=bx-e2(xGR).⑴当a=e时，曲线g(x)的切线方程为y=h(x)+e2,求b的直(2)求函数f(x)=g(x)-h(x)的单调区间；(3)若对任意b>2e，函数f(x)=g(x)-h(x)有两个不同的零点，求a的取值范围.解析 Q)设切点坐标为(xo,/。),g\xO)=眇。，切线方程为y-ex°=eRx-Xo),即y=ex°x-ex°xO+ex°,.(y=ex°x-ex°x0+ez°,=b, (x0=L.h_"ly=bx 1-铲。a+e、。=0%=e,,Vf(x)=ax-bx+e2,f'(x)=axlna-b,令f'(x)>0,即axlna>b,又a>0,.".axlna>bax>A>Ina当b<0时,ax>白恒成立，f'(x)>O,f(x)在R上单调递增,••f(x)的单调递增区间为(-8,+8),无单调递减区间.当b>。时廿噫=x>log总Xc(l°ga总+8)时，f'(X)>O，f(X)单调递增；xe(-oo,loga号)时,f'(x)<O,f(x)单调递减・••f(x)的单调递增区间为(loga总+8),f(X)的单调递减区间为(-8,1叫A).综上，当b<0时,f(X)的单调递增区间为(-8,+8),无单调递减区间；当b>0时,f(X)的单调递增区间为(log。总+8),f(X)的单调递减区间为(-8Jog。备).⑶•••f(X)有两个不同的零点•••f(1叫冉<0,1b h .b]n2即a1°ga命-blogaA+e2<0,.-.alogai^-b-!^+e2<0,°Ina Ina即止—r--lnp-+e2<0,®t=p-(t>0)/InaInaIna Ina令g(t)=t-tlnt+e2,'/g'(t)=-lnt,...当t>l时,g'(t)<O,；.g(t)在(L+8)上单调递减;当0<t<l时,g'(t)>O,；.g(t)在(0,1)上单调递增.又•.•当0<t<1时,g(t)=t(l-1nt)+e2>0,g(e2)=0,••当且仅当t>e2时,g(t)<0,即白又：对任意b>2e2均成立,.Fna《2=aWe，a^(lre2].5.(2021红桥一模,20)已知函数f(x)=x(lnx-m-l),m£R.(1)若m=2,求曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程；⑵当x>l时,求函数f(x)的单调区间和极值；(3)若对于任意xe[e,e2],都有f(x)<4lnx成立,求实数m的取值范围.解析⑴m=2时,f(x)=(lnx-3)x,则f(e)=-2e,f'(x)=i-x+lnx-3=lnx-2,则f'(e)=-l.所以曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线方程为y+2e=-(x-e),即x+y+e=O.(2)f'(x)=^•x+lnx-m-l=lnx-m(x>l).①当mWO时，因为x>l,所以f'(x)=lnx-m>0,函数f(x)的单调增区间是(L+8),无单调减区间，无极值②当m>0时，令Inx-m=O,解得x=em,当l<x<em时，f便<0;当x“m时，f，(x)>0,所以函数f(x)的单调减区间是(l,em),单调增区间是的,+8),在区间(1,+8)上的极小值为f(em)=(m-m-l)•em=-em,无极大值.(3)因为对于任意xg[e,e4,都有f(x)<4lnx成立，所以f(x)-4ln*<0,即问题转化为仅-4即*-(17)+1火<0对于>(£归,62]恒成立，即m+l>"譬对于xe归£]恒成立令g(X)="譬厕g，(x)=g当，令t(x)=4lnx+x-4,xe[e,e2]Ji!!Jt'(x)=^+l>0,所以t(x)在区间[eg]上单调递增，故t(x)min=t(e)=4+e-4=e>O,BPg'(x)>0,所以g(x)在区间©e2]上单调递增，函数g(x)max=g(e2)=2-*要使m+l>鱼?^对于xg[e,e2]