《复变函数论》课程教学大纲

数学与应用数学专业《复变函数论》课程教学大纲（课程代码：06112159）本课程教学大纲由数学与统计学院讨论制定，数学与统计学院教学工作委员会审定，教务处审核批准。一、课程基本信息课程名称：复变函数论课程代码：06112159课程类别：专业拓展课适用专业：数学与应用数学课程修读性质：选修学分：3学分 学时：48学时二、课程目标（一）课程总目标复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识；使学生逐步提高数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高；同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识，特别是和现在生活息息相关的数学应用知识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而提高做好中学数学教育工作的能力。（二）课程具体目标1.知识目标在知识理论方面，通过复变函数论的学习，使学生了解复变函数的概念、性质和解析函数的特性；理解解析函数的积分理论、级数理论和几何理论等基本理论；掌握复数的计算、判断复变函数的可微性及解析性、复积分的计算、复变函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求简单的共形映射等基本方法；巩固和加深理解微积分学的有关知识。2.能力目标在能力方面，通过复变函数论的学习，使学生掌握数学研究的基本思想和方法，提高学生的逻辑思维能力和复杂的计算能力，获得独立地分析和解决有关理论和实际问题的能力，使学生能够利用复变函数的知识解决其它自然科学方面(如电磁学、流体学、理论物理等)的问题。3.素质目标在素质方面，通过复变函数论的学习，使学生获得必要的数学修养，提高学生的发散思维能力和创造能力。课程目标与专业毕业要求的关系示例课程目标支撑的毕业要求支撑的毕业要求指标点课程目标13.核心素养(H)了解复变函数的概念、性质和解析函数的特性；理解解析函数的积分理论、级数理论和几何理论等基本理论；使学生逐步提高数学修养，掌握数学研掌握复数的计算、判断复变函数的可微性及解析性、复积分的计算、复变函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求简单的共形映射等基本方法。巩固和加深理解微积分学的有关知识。课程目标27.创新创业(L)使学生掌握数学研究的基本思想和方法，提高学生的逻辑思维能力和复杂的计算能力，获得独立地分析和解决有关理论和实际问题的能力，使学生能够利用复变函数的知识解决其它自然科学方面(如电磁学、流体学、理论物理等)的问题。使学生获得必要的数学修养，提高学生的发散思维能力和创造能力。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而提高做好中学数学教育工作的能力。三、课程学习内容（一）理论学习内容及要求示例序号课程模块学习内容课程目标学习重点和难点学时1复数与复变函数1.了解复数的引进过程及在整个数学发展过程中所起的重要作用；2.理解复数的概念，复平面上的点集、复变函数、极限与连续的概念，能用复数方程或不等式表示常见的区域和曲线；3.了解单连通区域、多连通区域，了解引进扩充复平面的思想和方法；4.掌握复数的计算、复变函数极限和连续的计算；5.掌握用复数解决几何问题的思想和方法。1.复数的概念、性质、几何意义、表示形式及计算；2.复平面上的点集、单连通区域、多连通区域；3.复变函数的概念、极限与连续；4.复球面与无穷远点。1.通过知识的传授让学生认知到复数和实数的不同；2.掌握复数与复变函数的内容；3.了解复数在代数和几何上的应用。82解析函数理解复变函数的可微与解析函数的概念、理解C-R条件与函数可微性、解析性的关系；2.掌握复变函数可导与解析的充要条件，会判断函数可导性与解析性；3.了解复变函数中各类基本初等函数的定义和性质以及它们与实初等函数的异同点；4.掌握根式函数的单值解析分支并能求其函数值。1.复变函数的导数与微分，解析函数及其性质，解析函数的求导公式与求导法则；利用柯西－黎曼条件（C-R条件）判定解析函数；2.初等解析函数；3.初等多值函数的单值解析分支。1.通过和实函数中导数，微分概念的比较给出解析函数，并推导出C-R条件；2.初等解析函数是数分中基本初等函数的延伸，要注意对比学习；3.学习过程中注意初等多值函数的概念和基本初等函数的区别，尤其是打破了原有函数值唯一的要求。另外，注意单值解析分支的寻找。83复变函数的积分1.理解复变积分的概念、解析函数与调和函数的关系；2.掌握复积分的计算方法，柯西积分定理、柯西积分公式和解析函数的平均值定理；3.会灵活运用柯西定理、柯西公式和柯西高阶导数公式来求积分；4.了解柯西不等式、刘维尔定理和代数学基本定理；5.掌握会用已知的调和函数求相应的解析函数。1.复变函数积分的概念、基本性质和常用计算方法；2.柯西积分定理及推广、柯西积分公式及其推论；3.解析函数的无穷可微性；4.解析函数与调和函数的关系。1.注意和数分中曲线积分之间的联系。注意参数积分法，但这种方法在复变中并不常用；2.要理解并掌握柯西积分定理，它是基础后面会反复用到。注意柯西积分公式及其推论的应用范围；3.它是以柯西积分公式为基础的，要通过类比法来学习；4.学习解析函数和调和函数的关系，要注意调和函数在物理中的应用.104解析函数的幂级数表示法1.了解复数列的极限，复级数与实级数的区别；2.理解幂级数的概念、基本性质、会求幂级数的收敛半径和收敛域；3.理解泰勒级数的定义，幂级数的和函数在收敛圆周上的情况；4.掌握一些初等函数的泰勒展开式，会在指定点的邻域内将解析函数展成幂级数5.掌握解析函数零点的孤立性、内部唯一性定理以及最大模原理的条件和结论。1.复级数的概念和基本性质，解析函数项级数的魏尔斯特拉斯定理；2.幂级数的敛散性及其和函数的解析性质；指定点的邻域内将解析函数展成幂级数；3.解析函数零点的孤立性、内部唯一性定理以及最大模原理。1.主要通过和数分中级数概念和性质的对比来总结复级数的概念和性质，以及解析函数项级数的性质；2.主要通过和数分中幂级数敛散性的判断和结论的对比来总结复级数的概念和性质，以及解析函数项级数的性质；3.通过了解解析函数的孤立性给出唯一性定理。给出解析函数当虚部为0时，和实可微函数间的关系。85洛朗级数与孤立奇点1.掌握解析函数洛朗展式、孤立奇点的概念和性质及分类。2.会求简单函数的洛朗展式，会判断孤立奇点的类型(包含无穷远点的情形)。3.了解整函数与亚纯函数的概念。1.双边幂级数和洛朗级数的定义；孤立奇点的定义与分类；解析函数的洛朗展式；洛朗级数与泰勒级数的关系；解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式；解析函数在无穷远点邻域内的性态；孤立奇点∞类型的判定定理；4.整函数与亚纯函数的定义及其分类。1.给出双边幂级数和洛朗级数的定义，了解孤立奇点的分类；2.通过类比给出洛朗级数的定义及展开式的方法，掌握孤立奇点领域内的洛朗展式；3.通过和原点处孤立奇点的类型给出孤立奇点∞类型的判定定理；4.了解整函数与亚纯函数的定义及其分类。86留数理论及其应用1.理解留数的概念；2.掌握留数的基本定理和计算；掌握无穷远点的留数的定义及其求法；3.会用留数定理计算实积分；4.了解辐角原理及其应用；1.留数的概念、基本定理和计算；函数在无穷远点的留数；2.用留数定理计算实积分和积分路径上有奇点的积分；对数留数；3.辐角原理；儒歇定理。1.理解留数定理和柯西定理及柯西积分公式间的关系，会用留数定理计算复积分；2.掌握用留数定理计算实积分和积分路径上有奇点的积分；对数留数；3.理解辐角原理，会灵活应用儒歇定理。6本课程主要以课堂讲授为主，辅之以学生课外自学，建议利用多媒体和黑板讲解穿插教学四、课程考核（一）考核内容与考核方式序号课程模块学习内容所属学习模块/项目考试占比考试方式1复数与复变函数1.了解复数的引进过程及在整个数学发展过程中所起的重要作用；2.理解复数的概念，复平面上的点集、复变函数、极限与连续的概念，能用复数方程或不等式表示常见的区域和曲线；3.了解单连通区域、多连通区域，了解引进扩充复平面的思想和方法；4.掌握复数的计算、复变函数极限和连续的计算；5.掌握用复数解决几何问题的思想和方法。复数与复变函数30%闭卷2解析函数理解复变函数的可微与解析函数的概念、理解C-R条件与函数可微性、解析性的关系；2.掌握复变函数可导与解析的充要条件，会判断函数可导性与解析性；3.了解复变函数中各类基本初等函数的定义和性质以及它们与实初等函数的异同点；4.掌握根式函数的单值解析分支并能求其函数值。解析函数20%闭卷3复变函数的积分1.理解复变积分的概念、解析函数与调和函数的关系；2.掌握复积分的计算方法，柯西积分定理、柯西积分公式和解析函数的平均值定理；3.会灵活运用柯西定理、柯西公式和柯西高阶导数公式来求积分；4.了解柯西不等式、刘维尔定理和代数学基本定理；5.掌握会用已知的调和函数求相应的解析函数。复变函数的积分15%闭卷4解析函数的幂级数表示法1.了解复数列的极限，复级数与实级数的区别；2.理解幂级数的概念、基本性质、会求幂级数的收敛半径和收敛域；3.理解泰勒级数的定义，幂级数的和函数在收敛圆周上的情况；4.掌握一些初等函数的泰勒展开式，会在指定点的邻域内将解析函数展成幂级数5.掌握解析函数零点的孤立性、内部唯一性定理以及最大模原理的条件和结论。解析函数的幂级数表示法15%闭卷5洛朗级数与孤立奇点1.掌握解析函数洛朗展式、孤立奇点的概念和性质及分类。2.会求简单函数的洛朗展式，会判断孤立奇点的类型(包含无穷远点的情形)。3.了解整函数与亚纯函数的概念。洛朗级数与孤立奇点10%闭卷6留数理论及其应用1.理解留数的概念；2.掌握留数的基本定理和计算；掌握无穷远点的留数的定义及其求法；3.会用留数定理计算实积分；4.了解辐角原理及其应用；留数理论及其应用10%闭卷（二）成绩评定1.平时成绩评定（1）作业完成情况（50分）缺一次作业扣除5分（1）课堂考勤（50分）缺勤一次扣除10分2.期末成绩评定闭卷考试.期末卷面成绩100分。主要采用考试方式，其中平时成绩包括作业和考勤，占40%，期末考试成绩占60%。考试主要内容：《复变函数论》课程根据课程学习的时间和内容划分为：(一)复数与复变函数、(二)解析函数、(三)复变函数的积分、