2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：轨迹(含解析及考点卡片)

2022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：轨迹（10题）—.选择题（共10小题）TOC\o"1-5"\h\z（2021•吴兴区二模）如图，在等边三角形ABC中，A8=3,点P为BC边上一动点，连接AP,在AP左侧构造三角形OAP,使得NAOP=120°,OA=OP.当点尸由点B运动到点C的过程中，点O的运动路径长为（ ）PCA.生旦 B.V3 C.%In D.«兀\o"CurrentDocument"3 9（2021秋•廉江市期末）如图，。。的半径为2,点C是圆上的一个动点，CALr轴，CB_Ly轴，垂足分别为A、B,。是48的中点，如果点C在圆上运动一周，那么点。运动4 2（2021秋•汉阳区校级月考）如图，RtAABC中，NA=90°,NB=30°,AC=1,将Rt/XABC延直线/由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为（ ）A如③三B.（8+4百）兀 c.（4+5小兀D.（2+V3）nTOC\o"1-5"\h\z6 3 6（2021•鞍山二模）如图，抛物线y=-f-2x+3与x轴交于A,C两点，与y轴交于点B,点P为抛物线上一动点，过点P作尸。〃AB交y轴于Q,若点P从点A出发，沿着直线A8上方抛物线运动到点B,则点Q经过的路径长为（ ）A.3 B.9 C.3 D.92 4 2（2021•宁波模拟）如图，点A,8分别在x轴，y轴正半轴上（含坐标原点）滑动，且满足。4+。8=6,点C为线段AB的中点，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD,当A由点。向右移动时，点O移动的路径长为（ ）A.3 B.4 C.3近 D.2（2020•桂林）如图，已知窟的半径为5,所对的弦AB长为8,点P是众的中点，将窟绕点4逆时针旋转90°后得到AB',则在该旋转过程中，点尸的运动路径长是（ ）

A.2/B.yf^rt C.2\[^rt D.2n2（2021•岳麓区校级一模）如图，在RtAAOB中，乙480=90°,N4OB=30。，A8=3^3,扇形AOC的圆心角为60°,点。为金上一动点，P为线段BO上的一点，且尸8=2尸Q,当点。从点A运动至点C,则点P的运动路径长为（ ）（2020•淄博）如图，放置在直线/上的扇形0A8.由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③.若半径OA=2,408=45°,则点。所经过的运动路径的长是（ ）（2019•武汉）如图，AB是。。的直径，M、N是窟（异于4、B）上两点，C是就上一动点，NACB的角平分线交。。于点O,NB4C的平分线交CO于点£当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ）（2021秋•市中区期中）如图，直线/i：y=x+l与直线/2：y=Lx△相交于点P（-1,2X20）.直线/1与y轴交于点4.一动点C从点A出发，先沿平行于X轴的方向运动，到达直线/2上的点8]处后，改为垂直于X轴的方向运动，到达直线/I上的点4处后，再沿

平行于X轴的方向运动，到达直线/2上的点比处后，又改为垂直于X轴的方向运动，到达直线上的点A2处后，仍沿平行于X轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点81，Al，B2>A2<B3>Aj,82014，A2014，…则当动点c至1J达A2021处时，运动C.2C.22°2°+1D.22022-22022年中考数学复习之小题狂练450题（选择题）：轨迹（10

题）参考答案与试题解析选择题（共io小题）（2021•吴兴区二模）如图，在等边三角形ABC中，A8=3,点P为边上一动点，连接AP,在AP左侧构造三角形OAP,使得/AOP=I20°,OA=OP.当点P由点8运动到点C的过程中，点O的运动路径长为（ ）PCA.士B.5/3 C.生应it D.百兀3 9【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轨迹.【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力.【分析】由题意，可知。点的运动轨迹为线段00',当P点在8点时，NOPC=90°,当尸点在C点时，NACO=30°,则△OAO'是等边三角形，求出O（7=OB=OP=F，即可求点。的轨迹长.【解答】解：如图，•.•NACB=60°,NAOC=120°,；.4、。、P、C四点共圆，'：OA=OP,ZAOP=\20°,/.ZAPO=ZOAP=30°,VAO-AO.AZACO=ZAPO=30°,/.zaco=Azacb=30°,2...点。在NACB的角平分线上运动,二。点的运动轨迹为线段。0',当尸点在B点时，ZOPC=90°,当尸点在C点时，/ACO=30°,:.NOCB=30°,'：AB=3,：.OP=CB'tan30Q=3*瓜3"：OA=O'A,ZAOO'=60°,：.0O=0B=0P=M，.•.点。的运动路径长为、门，故选：B.【点评】本题考查点的运动轨迹，熟练掌握等边三角形的性质，由尸点的运动情况确定0点的运动轨迹是解题的关键.TOC\o"1-5"\h\z（2021秋•廉江市期末）如图，。。的半径为2,点C是圆上的一个动点，CAlxtt，CB•Ly轴，垂足分别为A、B,。是AB的中点，如果点C在圆上运动一周，那么点。运动过的路程长为（ ）A. B. C.71 D.2n\o"CurrentDocument"4 2【考点】坐标与图形性质；圆周角定理；轨迹.【专题】矩形菱形正方形；推理能力.【分析】根据题意知四边形OACB是矩形，可得点。是对角线AB、OC的交点，即=工。C,从而可知点。运动轨迹是一个半径为1圆，求得此圆周长即可.2【解答】解：如图，连接OC，,.•C4_Lx轴，CB_Ly轴,...四边形。4cB是矩形,二点。在AC上，且。。=_1OC,2；。0的半径为2,,如果点C在圆上运动一周，那么点。运动轨迹是一个半径为1圆，/.点、D运动过的路程长为21rl=如，故选：D.【点评】本题主要考查点的轨迹问题，矩形的判定和性质，根据四边形OACB是矩形且D为AB中点判断出点D的运动轨迹是解决此题的关键.（2021秋•汉阳区校级月考）如图，RtAABC中，乙4=90°,NB=30°,AC=\,将为△ABC延直线/由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为（ ）A.单史空B,（8+4百）兀 c.结包D,⑵后1r6 3 6【考点】含30度角的直角三角形；轨迹.【专题】几何综合题；推理能力.【分析】点A第一次滚动到图2位置时，共向右无滑动滚动三次，第一次滚动，圆心角为120°,半径为1；第二次滚动，圆心角为150°,半径为«；第三次滚动，点A没有移动，计算出每一次滚动点A经过的路径长再求出它们的和即可.【解答】解：如图，A第一次滚动到图2位置时，共向右无滑动滚动三次，第一次滚动，圆心角为180°-60°=120°,'：AC=l,...半径长为1,点a经过的路径长为：12°x兀*1=空；180 3第二次滚动，圆心角为180°-30°=150°,VZA=90°,ZB=30°,AC=l,：.BC=2AC=2,/ms=VbC2-AC2=V22-12=^二半径长为F，TOC\o"1-5"\h\z:.点A经过的路径长为：.变*.*返=硒冗,180 6第三次滚动，点A没有移动，.•.点A经过的路径长为0,...当A第一次滚动到图2位置时，顶点A所经过的路径的长为：空_+殳包兀+0=3 6\o"CurrentDocument"（4+5%）兀 ,6故选：C.【点评】此题考查点的运动轨迹、弧长的计算公式、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，解题的关键是确定滚动的次数和每一次滚动时的圆心角和半径.(2021•鞍山二模)如图，抛物线y=-/-2x+3与x轴交于A,C两点，与y轴交于点8,点P为抛物线上一动点，过点P作PQ〃A8交y轴于。，若点P从点A出发，沿着直线AB上方抛物线运动到点B,则点。经过的路径长为( )【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；轨迹.【专题】二次函数图象及其性质：推理能力.【分析】分别求出点A、B的坐标，运用待定系数法求出直线A8,P。的解析式，再求出它们与x轴的交点坐标即可解决问题.【解答】解：对于y=-*-2x+3,令x=0,则y=3,：.B(0,3),令y=0,贝!|x=-3或1,•.•点A在点C的左侧,/.A(-3,0),设AB所在直线解析式为y=kx+b,将A、8点代入得：「3k+b=0,lb=3解得：卜=1,lb=3二直线AB的解析式为：y=x+3,'：PQ//AB,，设PQ的解析式为：y=x+a,•••点。经过的路径长是直线PQ经过抛物线的切点与y轴的交点和点B的距离的2倍，•••方程-?-2x+3=x+a有两个实数根，A=9-4（。-3）=0,解得：a=—f4：.Q（0,21）,4当点尸与点A重合时，点。与点8重合时，此时点Q的坐标为（0,3）,点。经过的路径长为2义（詈一3）=±，故选：£）.【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，抛物线与直线的交点问题，点。经过的路径长是直线PQ经过抛物线的切点与y轴的交点和点B的距离的2倍是解题的关键.（2021•宁波模拟）如图，点A,8分别在x轴，y轴正半轴上（含坐标原点）滑动，且满足OA+OB=6,点C为线段AB的中点，将线段AC绕点A顺时针旋转90°得到线段AD,当A由点。向右移动时，点D移动的路径长为（ ）A.3 B.4 C.3-72 D.-22L2【考点】轨迹；坐标与图形变化-旋转.【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力.【分析】分别讨论A点在O点处，A点在（6,0）处时，点。的位置，从而确定。点的轨迹为线段，再结合图形即可求解.【解答】解：如图，；04+08=6,点C为线段A8的中点,：.AC=BC,由旋转可知，AC=AD,.•.当A点在。点处时，CO=3,此时。（3,0）,,：OA+OB=6,：.ZBAO=45°,当A点在（6,0）处时即A'处，A4'=3,VZflAD'=90°,：.ZD'AA'=45°,△A4D为等腰直角三角形，.•.A£>'=3&,.•.点D移动的路径长为3近，故选：C.【点评】本题考查点的运动轨迹，能够根据4点运动情况确定。点的运动轨迹，数形结合解题是关键.（2020•桂林）如图，已知窟的半径为5,所对的弦AB长为8,点P是谕的中点，将窟绕点A逆时针旋转90°后得到标片，则在该旋转过程中，点P的运动路径长是（ ）3，———P”A.渔71 B.V5n C.25/51T D.2n2【考点】勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；轨迹；旋转的性质.【专题】与圆有关的计算；运算能力；推理能力.【分析】根据已知症的半径为5,所对的弦AB长为8,点尸是窟的中点，利用垂径定理可得4C=4,POLAB,再根据勾股定理可得AP的长，利用弧长公式即可求出点尸的运动路径长.【解答】解：如图，设定的圆心为0,连接OP,0A,AP',AP,AB'•.•圆。半径为5,所对的弦A8长为8,点P是窟的中点，根据垂径定理，得AC=1AB=4,P0LAB,2oc=Voa2-ac2=3,：.PC=OP-OC=5-3=2,.,.AP=^AC2+pc2=275,:将定绕点A逆时针旋转90°后得到忘尸，：.ZPAP'=NBAB'=90°,=吧咨星倔.180则在该旋转过程中，点P的运动路径长是&TT.故选：B.【点评】本题考查了轨迹、垂径定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、弧长计算、旋转的性质，解决本题的关犍是综合运用以上知识.（2021•岳麓区校级一模）如图，在RtZXAOB中，乙48。=90°,乙4OB=30°,A8=3日,扇形AOC的圆心角为60°,点。为AC上一动点，P为线段8。上的一点，且PB=2PD,当点。从点A运动至点C,则点P的运动路径长为（ ）A.到^兀.B.2史无 c.4>/3 D.3433 3【考点】含30度角的直角三角形；圆周角定理；轨迹.【专题】动点型；与圆有关的计算；推理能力.【分析】如图，在OB上取一点M,使得BM=2OM,连接PM,OD.利用平行线分线段成比例定理可得PM=4«,点P在是以M为圆心4«为半径的圆弧上运动.求出圆心角NP'MP"即可解决问题.【解答】解：如图，在。8上取一点M,使得BM=2OM,连接PM,OD.在RtZ\ABC中，VZABC=90°,NAOB=30°,AB=3^：.OA=2AB=6yJ^,"：BP=2PD,BM=2MO,BP-BM-o•一“一''一一N,PDMO：.PM//OD,APM=BP=2,"ODBD百，.•.PM=Zoo=4«,3...点P在是以用为圆心4y为半径的圆弧上运动.当点。与A重合时，NP'MB=ZAOB=3>0°,当点。与C重合时，NBMP"=ZBOC=90°,：.ZP'MP"=60",.•.点P的运动路径长为竺二生应=更71,180 3故选：A.【点评】本题考查轨迹，三角形中位线定理，解直角三角形，弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题.（2020•淄博）如图，放置在直线/上的扇形048.由图①滚动（无滑动）到图②，再由图②滚动到图③.若半径OA=2,乙408=45°,则点。所经过的运动路径的长是（ ）A.2n+2 B.3n C. D__^L+22 2【考点】轨迹.【专题】动点型；与圆有关的计算；应用意识.【分析】利用弧长公式计算即可.点O的运动路径的长=00］的长3的长+°102的长=90•兀・2490•冗・2445•兀,2180 180 180_5九- »2故选：C.【点评】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.（2019•武汉）如图，AB是的直径，M、N是窟（异于A、B）上两点，C是诵上一动点，NAC8的角平分线交。。于点。，NBAC的平分线交CO于点E.当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（ ）A.5/2 B.— C.3 D.在2 2 2【考点】圆周角定理；轨迹.【专题】与圆有关的计算.【分析】如图，连接EB.设OA=z•.作等腰Rt^AQB,AD=DB,NAOB=90°,则点£在以。为圆心D4为半径的弧上运动，运动轨迹是百，点C的运动轨迹是诵，由题意NM0N=2NGDF,设/G£)F=a,则/M0N=2a,利用弧长公式计算即可解决问题.【解答】解：如图，连接EB.设。A=r.,：AB是直径，，NACB=90°,；£是44(78的内心，：.ZAEB=\35°,作等腰RtZkAOB,AD=DB,ZADB=90°,则点E在以。为圆心OA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF，点。的运动轨迹是MN，•:/MON=2/GDF,设NGOF=a,则NMON=2a人 2a•兀.而的长_ 180一r-■,GFW^ZL^r^2180故选：A.【点评】本题考查弧长公式，圆周角定理，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题.10.(2021秋•市中区期中)如图，直线小y=x+l与直线，2：丫=工乂』相交于点?(-1，0).直线与y轴交于点A.一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线/2上的点Bi处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线/1上的点4处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线/2上的点比处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线人上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点Bi,A],Bi，Ai，Bi，A3,…，比014，A2014，…则当动点C到达A2021处时，运动【考点】一次函数的性质；两条直线相交或平行问题；轨迹.【专题】规律型；运算能力.【分析】由直线直线h：y=xU可知，A(0,1),则与纵坐标为1,代入直线/2：产工+工22中，得Bi(1,1),又4、Bi横坐标相等，可得Ai(1,2),则4Bi=l,A\B\=2-1=1,可判断△AA1B1为等腰直角三角形，利用平行线的性质，得△A1A2B2、△A2A3B3、…、都是等腰直角三角形，根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线八、/2的解析式，分别求4B1，42&的长，得出一般规律，即可得到运动的总路径的长=2X(22021-1)=22°22-2.【解答】解：由直线"：y=x+l可知，A(0,1),根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线八、/2的解析式可知，Bi(1,1),AB\=\,Ai(1,2),A\B\=2-1=1,B2(3,2),A2(3,4),482=3-1=2,A汨2=4-2=2,4253=7-3=4=231»…，4383=7-3=4=23”,由此可得A,岛=2"1所以，当动点C到达A2021处时，运动的总路径的长=2X(1+2+22+23+……+22020),设S=1+2+22+23+ +22°2。①，则25=2+22+23+24 +22M②,②-①，得：S=22021-1,二运动的总路径的长=2X(22021-1)=22022-2.故选：D.【点评】本题考查了一次函数的综合运用.关键是利用平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，平行于y轴的直线上点的横坐标相等，得出点的坐标，判断等腰直角三角形，得出一般规律.考点卡片.坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到X轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号.2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律.3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题..一次函数的性质一次函数的性质：%>0,y随x的增大而增大，函数从左到右上升；上<0,y随x的增大而减小，函数从左到右下降.由于与y轴交于（0,b）,当b>0时，（0,h）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当时，（0,b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴..两条直线相交或平行问题直线y=H+6,（JtWO,且hb为常数），当上相同，且6不相等，图象平行；当人不同，且人相等，图象相交；当上人都相同时，两条线段重合.（1）两条直线的交点问题两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解.（2）两条直线的平行问题若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即％值相同.例如：若直线yi=%ix+bi与直线y2=&2x+历平行，那么％|=上..二次函数的性质二次函数丫=«?+灰+,（aWO）的顶点坐标是（-红，4a「？）,对称轴直线一2，2a4a 2a二次函数丫=—+版+£（aWO）的图象具有如下性质：①当a>0时，抛物线y=o?+6x+c（a/0）的开口向上，x<一2时，），随x的增大而减小；2a2x>-也时，y随X的增大而增大；工=一2时，y取得最小值4aq2』”即顶点是抛物线2a 2a 4a的最低点.②当a<0时，抛物线y=o?+灰+c（aWO）的开口向下，x<一2时，y随x的增大而增大；2ax>-也时，y随x的增大而减小；》=一2时，y取得最大值43m 即顶点是抛物线2a 2a 4a的最高点.③抛物线产—+以+，（aWO）的图象可由抛物线产or2的图象向右或向左平移卜也|个单2a位，再向上或向下平移自空±1个单位得到的.4a.二次函数图象上点的坐标特征2二次函数y=«?+fcv+c（a#0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-旦，4ac-b）2a4a①抛物线是关于对称轴x=-*-成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足2a函数函数关系式.顶点是抛物线的最高点或最低点.②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值.③抛物线与X轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（处，0）,（X2，0）,则其-… x1+x9对称轴为x= 2.抛物线与x轴的交点求二次函数.yuo^+bx+c（a,b,c是常数，aWO）与x轴的交点坐标，令y=0,BPax^+bx+c=0,解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标.（1）二次函数了=01?+/«+0（a,b,c是常数，a#0）的交点与一元二次方程0^+灰+°=0根之间的关系.△=X-4ac决定抛物线与x轴的交点个数.△=/-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=/-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=庐-4"<0时，抛物线与x轴没有交点.（2）二次函数的交点式：y=a（x-xi）（x-x2）（a,b,c是常数，aWO）,可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（xi，0）,（X2，0）..等腰三角形的性质(1)等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.(2)等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等.【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】(3)在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线：④顶角平分线.以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论..等边三角形的性质(1)等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形.①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法：②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的.(2)等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴：它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴..含30度角的直角三角形(1)含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.(2)此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数.(3)注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边..勾股定理(1)勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么。2+廿=/.(2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中.(3)勾股定理公式J+ynd的变形有：a=J2,2,b=J02J及。=，2+卜2.VcbVcava+b(4)由于a1+序=2>£,所以c>a,同理c>b,即直