2022届湖南省湘潭市一模数学试题及答案解析

湘潭市2022届高三第一次模拟考试数学注意事项：.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。.回答选择题时,选出每小题答案后.用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如有改动，用橡皮擦干净后.再选涂其他答案；回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。.考试结束后.将本试卷和答题卡一并交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的..已知集合A={-1,0,1,2,3},8={#2，＞2},则Ap|B=A.{0,1,2,3} B.{1,2,3} C.{2,3} D.{-1,0,1}.已知i为虚数单位,复数百=l-2i,zz=2+i,则复数Ng对应的复平面上的点位于A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 D, c,.如图，在直四棱柱ABCD-AiBiGD中，下列结论正确的是A.AC与B5是两条相交直线 丫/：\TB.AA〃平面BB.D, ：；\\\\C.B.C//BD,四点共面.我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533—1606年）所著.程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.20岁起便在长江中下游一|带经商.因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍.刻苦钻研，时有心得.终于在他60岁时，完成了《算法统宗》这本著作.该书中有如下问题:“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头.几盏灯？”根据诗词的意思,可得塔的最底层共有灯A.192盏 B.128盏 C.3盏 D.1盏.已知函数/（jr）=sin2i,贝I]A.八工）的周期为手B.将/（工）的图象向左平移于个单位,得到的图象对应的函数解析式为y=cos2了

。/(7)的图象关于点(孑,0)对称D./S的图象关于直线工=占对称.已知抛物线。：，=2/>](立>0)的焦点为F,点T在C上，且IFT|=1•，若点M的坐标为(0,1),且则C的方程为A.a?=2工或/=8才 B.丁=1或J=8工C.V=21或V=47 D.V=工或/=4工.某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行了调查.调查中使用了下面两个问题：问题一：你的父亲阳历生日日期是不是奇数？问题二：你是否经常吸烟？调查者设计了一个随机化装置：一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子.每个被调查者随机从袋子中摸取1个球(摸出的球再放回袋子中)，摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，回答,,是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不要做.如果一年按365天计算,且最后盒子中有60个小石子，则可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为A.7% B.8% C.9% D.30%.已知定义域为R的函数/(Z)的导函数为/'(z),且/'(7)>/(7),若实数a>0.则下列不等式恒成立的是A.a/(lna)》ek"(a-l) B.a/(lna)&e-T/(a-1)C.e--'/(lna)>a/(a-l) D.b"(Ina)&a/(aT)二、多项选择题：本题共』小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分..已知向量。=(1,2).6=(2,—4),且。与b的夹角为a,则A.a-b=(l,-2)BA.a-b=(l,-2)B.\b\=2\a\10.已知随机变量X服从正态分布N(0,2D.则A.X的数学期望为E(X)=0C.P(X>0)=J.若6"=2,6''=3,则A.->1 B.a2+b2<--a c.已知双曲线C：，一,=l(a>0/>0)的左,正确的有a//b D.cosa=一七5B.X的方差为D(X)=2P(X>2)=yC.a6V《 D.44 10/点为6，工，右顶点为A,则下列结论中,A.若a=6,则C的离心率为一B.若以储为圆心"为半径作圆B，则圆B与C的渐近线相切C.若P为C上不与顶点重合的一点，则△PRF2的内切圆圆心的横坐标H=aD.若M为直线z=《(c=y?+6r)±纵坐标不为0的一点，则当M的纵坐标为C士丝巫三叵时,△MAF?外接圆的面积最小三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分..已知角a的终边经过点（1,2）,则sina—cosa=..已知定义域为R的偶函数八①）在［0,+8）上单调递减，且2是函数/（1）的一个零点,则不等式/（工）>0的解集为..已知某正方体外接球的表面积为3“，则该正方体的棱长为..用实数m（,m=0或1）表示命题p的真假，其中m=0表示命题p为假，m=l表示命题p为1?真.设命题V丁6z,x—■1+X—•—>a（aCR）.（1）当a=2时,,〃= ;（2）当时，实数a的取值范围为 .四、解答题：本题共6小题不々0分.解答应写出必要的文字说明、证明证程及演算步骤..（本小题满分10分）已知S,,为数列｛a,,｝的前n项和，且a”+i=a“+d,（”eN",d为常数），若S3=12,a3a；,+2a3-5as-10=0.求：（1）数列匕力的通项公式；（2）S,的最值..（本小题满分12分）在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a",c,若4csinB-（乃+科加=0.（1）求sinC的值；（2）是否存在角A,B（AVB）,满足tanAtanB=VI?若存在，求出A,B的值；若不存在，请说明理由..（本小题满分12分）某学校举行“英语风采”大赛.有30名学生参加决赛.评委对这30名同学分别从“口语表达”和“演讲内容”两项进行评分，每项评分均采用10分制，两项均为6分起评,两项分数之和为该参赛学生的最后得分.若设“口语表达”得分为x.,•演讲内容”得分为丫，比赛结束后，统计结果如下表：演讲内容6分7分8分9分10分口语表达6分110007分321208分123109分1m21110分001n1（1）从这30名学生中随机抽取1人，求这名学生的最后得分为15分的概率;（2）若“口语表达''得分X的数学期望为首.求0①的值；②这30名参赛学生最后得分的数学期望..（本小题满分12分）如图，在三棱锥P-ABC中.PAJ_底面ABC,/ABC=90°,PA=2.AC=2笈.（1）求证:平面PBCJ_平面PAB；（2）若二面角P-BC-A的大小为45°,过点A作ANJ_PC于N,求直线AN与平面PBC所成角的大小..（本小题满分12分）已知圆锥曲线E上的点M的坐标（工口）满足，（7+痣）?+。+，（I一（1）说明E是什么图形，并写出其标准方程；（2）若斜率为1的直线/与E交于》轴右侧不同的两点A,B,点P为（2,1）.①求宜线/在y轴上的截距的取值范围；②求证:NAPB的平分线总垂直于z轴..（本小题满分12分）已知e为自然对数的底数.函数/（jr）=er,g（j-）=zn^+M（7M,neR）.⑴若〃?+”=0,且/（了）的图象与*（.r）的图象相切，求，〃的值；（2）若户工）》8（工）对任意的j6R恒成立，求，〃+”的最大值.湘潭市2022届高三第一次模拟考试-数学

参考答案、提示及评分细则.【命题意图】本题电点考查元素与集合的关系，集合的运算,指数函数的性质等数学基础知识，属容易题.【答案】C【解析】因为3={*2">2}={1|l>1},所以AnB={2.3}.故选：C..【命题意图】本题重点考查复数的几何意义，复数的运算等复数的基础知识•属容易题.【答案】D【解析】因为之=（1-2i）（2+i）=4—3i.所以.应对应的复平面上的点为（4,—3）,它位于第四象限.故选:D..【命题意图】本题重点考查棱柱的结构特征.空间点线面的位置关系，考查学生的空间想象能力•属容易题.【答案】B【解析】因为,所以AAi〃平面,所以B正确；A.C.D都不正确.故选：B..【命题意图】本题重点考查等比数列的概念、通项公式与前〃和等数列的基础知识，考查学生的阅读理解能力、数学应用能力和家国情怀•属容易题.【答案】A【解析】设这个塔顶层有1盏灯,则问题等价于一个首项为公比为2的等比数列的前7项和为381,所以一=381，解得”=3,所以这个塔的最底层有3X277=192盏灯.故选：A..【命题意图】本题重点考查正弦函数的图象与性质.属容易题.【答案】B【解析】因为/3=sin2i的周期为兀,它的图象关于直线.r=竽+号■和点（竽.0）（4£Z）对称，所以A,C,D都不对;将“了）的图象向左平移十个单位,得到的图象对应的函数解析式为y=sin2（彳+年）=sin（21+登）=cos2«r,所以B正确.故选：B..【命题意图】本题重点考查直线的方程.抛物线的定义、标准方程与性质,直线与圆锥曲线的位置关系等解析几何的基础知识,考查函数与方程•转化与化归的思想,属中档题.【答案】A【解析】设♦为（.5）.则萧=《工。5—1）,又F（g,O）,所以才=（吾・一1）,因为MF_LMT,所以砒•研=0,可得§入一皿+1=0,又乂=2.0,联立，消去0•得式―4及+4=0,所以仙=2.故T（j,2）,又|尸丁|=北+§=,，所以£一§==,即22—52+4=0•解得/>=1,或p=4,44r 乙乙P所以C的方程为/=2①或/=81,故选：A..【命题意图】本题重点考查概率的有关知识.考查学生的阅读理解能力与数学应用意识•属中档题.【答案】C【解析】因为一个装有大小、形状和质量完全一样的50个白球和50个红球的袋子中，随机摸出1个球,摸到白球和红球的概率都为•，因此•这200人中，回答了第一个问题的有100人，而一年365天中.阳历为奇数的有186天，所以对第一个问题回答“是”的概率为摺改0.51,所以这100个回答第一个问题的学生中•约有51人回答了“是从而可以估计，在回答第二个问题的100人中，约有9人回答了“是”，所以可以估计出该地区中学生吸烟人数的百分比为9%.故选：C.

.【命题意图】本题屯点考查函数与导数、不等式的有关知识,考杳转化与化归的思想,考杳学生的数学综合解题能力•属稍难题.【答案】D【解析】令=则/（1）=/所以g（.r）为增函数.又当a>0时，Ina4a—1，所以g（Ina）4g（0—1）.即,（［："）4/（：J）.所以e""（Ina）/（a-D.故选：D..【命题意图】本题重点考查平面向量的坐标运算，向量的模，向量共线的条件.数量积，向量的夹角等平面向量的基础知识•属容易题.【答案】BD【解析】对于A,因为。一6=（1—2,2+4）=（—1.6）,所以A不正确；对于B,因为|.|=/\周=2同，所以B正确；对于C.因为十H9，所以C不正确；对于D・因为cosa=S^0a=—1所以D正确.故选：BD.75X275 5.【命题意图】本题重点考查正态分布的有关概念和性质•属容易题.【答案】AC【解析】由正态分布的定义及正态曲线的性质，可知A,C正确，B,D不正确.故选：AC..【命题意图】本题重点考查指数与对数的运算,基本不等式，比较法等数学基础知识.考查学生的估算能力，属中档题（选对A,得2分很容易）.【答案】ACD【解析】由已知，有a=log62,〃=10gb3.对于A,有，=署|=1。团3>1.所以A正确：对于B,因为。+6=10即2+*3=1,且a>0心O.a#仇所以《芦〉（娶）一•得标+加>>1•，所以B不正确：对于C,因为—幅2+10耿3=1,且。>0.6>0皿#6所以MV（g）=［■，所以C正确；对于D.因为。一a=log63—log62,而Iog63—log62一4=log6［金，因为©玄"1='2右”=+十三+…>1,所以log..^-^>0，故。-a>=・所以D正确.故选：ACD..【命题意图】本题重点考杳双曲线的定义与几何性质•直线与圆的位置关系，正弦定理，三角变换及基本不等式等有关知识.考查学生的综合解题能力.属稍难题（选对A,得2分很容易）.【答案】ABD【解析】对于A,因为。=〃,所以2a2=一,故（、的离心率，=£=△，所以A正确；a对于B・对于B・因为储（一c,0）到渐近线b.r-ay=Q的距离为d=y/fr+«2=〃.所以B正确：对于C,由双曲线的定义，可得△PF।F：的内切圆圆心的横坐标工=±a,所以C不正确；对于D,由正弦定理，可知△MAF,外接圆的半径为R=°.所以当sin/AMF：最大时,R最小.Zsin/AM-因为？•<&,所以/AMFz为锐角,故sinZAMF,最大,只需tanZAMF,最大.由对称性，不妨设M（（“）C>O）.设直线工=:与工轴的交点为N,则lanNAMF2=tan（/NMFz-zNMA）=——~~金 —.tIah'（c~a）2by/a（c—a）当且仅当，="、一2，即，=”巫三反时,tan/AM6取最大值.c~t c由双曲线的对称性可知.当，=-2■隼三2时.tanNAMF?也取得最大值，所以D正确.故选：ABD..【命题意图】本题重点考查一:用函数的定义.属容易题.【答案鹿t解析】因为■ 275 1^所以 V5【解析】因为sina=/ .=—=—.cosa=.. =七，所以sina-cosa=Ml?+2? 5 —22 5 5故答案为:g..【命题意图】本题重点考查函数的奇偶性，单调性•函数的零点，数形结合等函数的基础知识•属容易题.【答案】〈/I-2V/V2}【解析】因为2是函数/Q）的一个零点，所以/（2）=0,因为函数八］）是偶函数，所以原不等式等价于/（1^|）＞/（2）,又因为函数/（z）在［0,+8）上单调递减.所以|川V2•解得一2Vz＜2.故答案为：{川一2VzV2}..【命题意图】本题重点考查正方体与球的结构特征，球的表面积等立体几何的基础知识，考查学生的空间想象能力•属容易题.【答案】1【解析】设正方体的棱长为a，外接球的半径为R.则乃a=2R,又4久R?=3m所以R=g，故a=L故答案为：.【命题意图】本题是一道新定义创新题，重点考杳命题,分段函数.函数的图象与性质等函数的基础知识，考查学生的阅读理解能力及函数与方程，数形结合，转化与化归，分类与整合等数学思想方法,属稍难题（第（1）问中档题.第（2）问稍难题）.【答案】（1）0;（2）0《得.（第（1）问2分,第（2）问3分）【解析】⑴当。=2时,不等式|/一十I+|l（~|＞2对才=1不成立.所以p为假命题，故，〃=0;⑵因为5=1,所以命题p为真命题，令f（N）=|1—十I+所一•1~|,卷一2①（〈十）则人工）=«1■,（十＜工＜,）,所以当工《十时，/⑺为减函数.当上》-|■时，/⑺为增函数,要使VhCZ,2l卷,（4卷）lx—~2'I+IJ成立，只需x=0和x=1时.|工:|+|工|都成立.所以J _.得故答案为：（D0;（2）a4*..【命题意图】本题重点考杳等差数列的定义、通项公式与求和公式等数列的基础知识.考查函数与方程,分类与整合等数学思想方•法,属容易题.TOC\o"1-5"\h\z【解析】（1）由S3=12,得a2=4, 1分由。3。二+2々3—5«-,—10=0,得（。3—5）（。5+2）=0,所以03=5,或々5=-2, 3分（。2=4由《，得此时.“=〃+2；1%=5・1。2=4 ,由 •得=6,d=—2.此时,4=一2〃+8；I=-2所以a”=〃+2,或a”=-2〃+8； 5分（2）当a“=”+2时.我=仁旦，因为与=亡产是关于正整数n的增函数,所以S,=3为S”的最小值.S.无最大值； 7分当a”=-2"+8时5=—/+7"=一（”一工7+竽.因为"为正整数，所以当”=3或"=4时,S”有最大值S3=S《=12,Sj,无最小值. 10分18.【命题意图】本题重点考查正弦定理，诱导公式、同角三角函数关系与两角和的正切公式等三角函数的基础知识•考查转化与化归的数学思想和学生的探究能力，（1）属容易题・（2）属中档题.【解析】（1）因为4csinB-（代+&■）〃=（）,由正弦定理，得4sinCsinB—（%'+>/2"）sinB=0»TOC\o"1-5"\h\z又因为OVBV-^■，所以sinB#0♦故sin ； 4分（2）假设存在角八・3（八V3）,满足tanAtanB=畲，由sinC=也上及0VCV晟•，可得tan。=2+6\因为八+3=芯一C,所以tan（A+£0=-2—瓜、 7分由tan（A+B）=：anA-：an£=-2一阴，可得tanA+tanB=l+Q, 10分1-tan八tandftanAtanB=J3 -由（ ，且AVB.解得tanA=1JanB=伍，ItanA4-tan8=1+5/^"从而A=---.B=-y*，故存在A=，«B=---满足题意. 12分4J 4 319.【命题意图】本题重点考查概率统计的有关知识.考杳学生的阅读理解能力和数据处理能力•属中档题.【解析】（D因为15=6+9=7+8=8+7=9+6,所以最后得分为15的人数有0+1+2+1=4,故从这30名学生中随机抽取1人，这名学生的最后得分为15分的概率为T77="Tr； 4分30 10（2）①由表可知“口语表达”得分X有6分、7分、8分、9分、10分，且每个分数分别有2人,8人，7人的+5人，〃+2人.所以“口语表达”得分X的分布列为：X678910P2而830730〃?+530〃+2~30~49 125656 + 10（〃+2）49又“口语表达”得分的数学期望为今,所以痣+噂+/+*；，+ £=今0 3。oU3U30 JO0化简.得9加+10〃=56.因为学生共有30人,所以小+〃=6・

②这30名参赛学生最后得分的分布列为得分121314]■1617181920143493231303030303030303030所以这30名参赛学生最后得分的数学期望为TOC\o"1-5"\h\z12XI4-13X4+14X34-15X4+16X94-17X34-18X24-19X3+20X147479 八 30 =3o=T- "分20.【命题意图】本题雨点考杳空间点线面的位置关系，二面角•宜线与平面所成的角等立体几何的基础知识•考查学生的空间想象能力和运算推理能力，3）属容易题，（2）属中档题.【解析】（1）因为PA_L底面A3C,所以PA_LBC.又NABC=90°,所以AB_LBC,又PA.AB为平面内的两条相交直线•所以BC_L平面PAB,因为BCU平面PBC,所以平面PBC_L平面PAB； 4分（2）解法一由（1）可知，NABP为二面角P-BC-A的平面角，所以NABP=45°, 尸又PA=2,AC=2VZ,/ABC=90°,所以AB=BC=2,过点A作AM_LPB于M,则AM_L平面PBC且M为中点，连接MN, V则NANM为直线AN与平面PBC所成的角, C<2 在RtZkANM中.AM=V^.AN=^.所以sin/ANM=^=曰'故NANM=60°,所以直线AN与平面PBC所成的角为60°. 12分解法二建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知•可得B（0,0,0）M（2,0.O）,P（2,O,2）,C（O,2,O）,设」、（/,丁,之），冰=入帚（0〈人〈1）.则j：=2-2A.y=2A.z=2-2A.因为ANJ_PC,京=（7一2,、,之），育=（-2,2,—2）,所以一2（1—2）+2y—2之=0,解得;1=4■，所以N（春等），故肺=（一春,春,春）,O OOO OOO设平面。3。的法向量为。=(工,〉,2),因为该=(0,2,0),萨=(2,0,2),la-BC=0l2y=0由1 > ,得\ . »1a•BP=0 \2x+2z=0令/=1.则z——1,所以—为平面PBC的一个法向量.所以cos<a.AN所以cos<a.AN>="TT_#&挈2,TOC\o"1-5"\h\z故直线AN与平面P3C所成的角的正弦值为华，所以直线AN与平面P3C所成的角为60°. 12分.【命题意图】本题重点考查直线的倾斜角、斜率与方程.椭圆的定义与标准方程•直线与圆锥曲线的位置关系等解析几何的基础知识，考查坐标法•函数与方程.数形结合,转化与化归等数学思想方法，（1）属容易题，（2）属稍雉题.【解析】（D圆锥曲线E是以（一四,0）,（伍,0）为焦点，长轴长为2代的椭圆, 2分其标准方程为8+可=1; 4 分（2）①设直线/：、=/+/〃，A,yi）,夙工2,北），---b^-=i由《6 3 ，消去y,得3/+4m4+2wi2—6=0,ly=x+zw解得解得一30〃V一伍，所以直线/在.y轴上的截距的取值范围为（一3,一四）； 8分②因为点P在椭圆上•若直线/过点P,即点A（或点B）与P重合，则/与E的另一个交点为（一•1•,一,），不合题意,所以点A（或点3）与P不重合；若AP或3尸的斜率不存在，则直线/过点（2,—1）,此时./与E只有一个交点，所以AP