2022届中考数学压轴难题押题附答案解析

2022年中考数学压轴题1.图①，二次函数yuaf+bx+c(aWO)的图象经过点4(-1.0),并且与直线产=3-2相交于坐标轴上的8、C两点，动点尸在直线8c下方的二次函数的图象上.(1)求此二次函数的表达式：(2)如图①，连接尸C,PB,设的面积为S,求S的最大值：(3)如图②，抛物线上是否存在点。，使得N482=2N4BC?若存在，则求出直线8。的解析式及。点坐标；若不存在，请说明理由.解：⑴对于直线尸>2,令x=0,则y=-2,令y=0,即亍-2=0,解得：x=4,故点6、C的坐标分别为(4,0)、(0,-2),抛物线过点4、8两点，则y=a(aH-1)(x-4),将点C的坐标代入上式并解得：a=\,故抛物线的表达式为尸#-最-2①；(2)如图2,过点尸作P”〃y轴交8c于点H,

1o 1设点P（x,^x2-2.v-2）,则点，（x,亍-2）,(,^x-2—吴+全+2)=(,^x-2—吴+全+2)=_x2+4x,S=S&phb^Saphc=/PH。V-l<0,故S有最大值，当x=2时，S的最大值为4；（3）①当点0在8c下方时，如图2,R延长80交y轴于点“，过点C作SC_LBC交x轴于点尺，交80于点S,过点S作SKJ_x轴于点K,,:NABQ=2/ABC,则8c是N48”的角平分线，则为等腰三角形，则点C是RS的中点，设RC=x=SB应改为RC=x=CS.TOC\o"1-5"\h\zcrI or在△8OC中，tan/O8C=急=a=tan//?OC=最,则设RC=x=CS,则8c=2x,则RB=Jx?+(2x)2=0=BS,i i 1 i_ Av在ASAB中，Snsb=/SR*BC=/BR・SK，即5x2x・2x=2KS•圆，解得：KS=浜,4xre7? 4 4：.sinZRBS=瑞=意=g,则tanNRBH=全在RtZ\O8在RtZ\O8"中，OH=OB,tanNRBH=4x寺=竽，则点〃（0,—竽）,由点8、〃的坐标得，直线6〃的表达式为y=g（x-4）②,联立①②并解得：x=4（舍去）或?，当x=W时，尸一寻故点2（石，-等）：②当点。在8c上方时,1192同理可得：点0的坐标为（一斗，—）:综上，点0的坐标为4,一等）或（一名■）.2.如图，在平面直角坐标系中，四边形Z8C。为正方形，已知点Z（-6,0）,。（-7,3）,点、B、C在第二象限内.（1）点8的坐标是.（-3,1）:（2）将正方形48。以每秒1个单位的速度沿x轴向右平移/秒，若存在某一时刻,,使在第一象限内点8、。两点的对应点夕、D'正好落在某反比例函数的图象上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（3）在（2）的情况下，问是否存在x轴上的点尸和反比例函数图象上的点。，使得以「、。、夕、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点尸、0的坐标；若不存在，请说明理由.•.•四边形Z8CQ为正方形，：.AD=AB,NB/tD=90°,'：ZEAD+ZADE^90°,ZEAD+ZBAf^90°,...N4DE=NBAF.

(Z.AED=Z.BFA=90°在△/£)£和△84尸中，^\z.ADE=Z.BAF,Lad=BA:.△ADEQMBAF(44S),；.DE=4F,AE=BF.•点/(-6,0),D(-7,3),：.DE=3,AE=\,...点8的坐标为(-6+3,0+1),即(-3,1).故答案为：(-3,1).(2)设反比例函数为y=由题意得：点B'坐标为(-3+r,1),点0'坐标为(-7+33),・・•点夕和。'在该比例函数图象上，.肚=-3+t,,U=3(-7+O，解得：f=9,k=6,...反比例函数解析式为y=p(3)假设存在，设点尸的坐标为(加，0),点0的坐标为(”，-).n以尸、。、B'、D'四个点为顶点的四边形是平行四边形分两种情况:①当B'D'为对角线时,•.•四边形夕PD'0为平行四边形,n-3=1 ,解得:13p(y.o),Q(-,4)：13m13p(y.o),Q(-,4)：13m=~n=2②当夕D,为边时.•.•四边形尸。夕D'为平行四边形,(m-n=6-2 rm=7昨_。=3-1，解得:｛：=；，<71：.P(7,0),Q(3,2)；・・,四边形夕QPD1为平行四边形，(n-m=6-2 __7n6 &解得：产一一/0 =3—1 In=-3in

：.P(-7,0),0(-3,-2)；综上可知：存在x轴上的点尸和反比例函数图象上的点0,使得以尸、0、夕、。'四13 3个点为顶点的四边形是平行四边形，符合题意的点P、。的坐标为尸(彳，0)、Q(-,4)或尸(7,0)、。(3,2)或尸(-7,0)、。(-3,-2)..如图，在RtZ\48C中，NZC8=90°,以斜边上的中线CQ为直径作。O,与8c交于点与的另一个交点为£,过〃作垂足为M(1)求证：MN是。。的切线；(2)若的直径为5,sin5=*求EO的长.【解答】(1)证明：连接OM,如图1,•：OC=OM,：・4OCM=4OMC,在RtZXXBC中，C。是斜边48上的中线,：.CD=^AB=BD,:.NDCB=NDBC,：.4OMC=NDBC,：.OM//BD,■:MNLBD,：.OMLMN,过O,...MN是。。的切线；(2)解：连接。M,CE, 图2是。。的直径，：.ZCED=90Q,NDMC=90°,即DM1.BC,CEYAB,由(1)知：BD=CD=5,二〃为8C的中点，Vsin5=4.•.cos8=耳,在RtA^A/D中，BM=BD,cos^=4,:・BC=2BM=8,在RtZ\CE3中，BE=BC・cosB=*532 7：.ED=BE-80=学一5=g..已知NMPN的两边分别与OO相切于点4B,OO的半径为八(1)如图1,点C在点4,8之间的优弧上，/MPN=80°,求N4C8的度数;

（2）如图2,点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形4尸8c为菱形，N4尸8的度数应为多少？请说明理由；（3）若尸C交。。于点。，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含/•的式子表示）.图1 图2 （备用图）【解答】解：（1）如图1,连接。/,OB,图1,：PA,尸8为0。的切线，；.NPAO=NPBO=90°,*/ZAPB+ZPACh-ZPBO+ZAOB=360°,4尸8+408=180°,VZJP5=80°,.,.408=100°,/.ZACB=50°；(2)如图2,当4P8=60°时，四边形ZP8c是菱形,连接。1,OB,由(1)可知，NAOB+NAPB=180°,VZJP5=60°,.•.408=120°,AZJC5=60°=NAPB,•.•点c运动到尸c距离最大，...PC经过圆心，'：PA,尸8为。。的切线，：.PA=PB,NAPC=NBPC=30°,又,：PC=PC,:.△APgtXBPC(SAS),：.^ACP=ZBCP=3>0°,AC=BC,：.ZAPC=ZACP=30°,：.AP=AC,：.AP=AC=PB=BC,四边形ZP8C是菱形；(3);。。的半径为r,：.OA=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,VZJOP=90°-ZAPO=60°,的长度=6睛?=圻，阴影部分的周长=口+2。+丽=+$=(V3+1+J)r..如图，叫为。。的切线，尸8c为。。的割线，尸于点O,△/£>(7的外接圆与8C的另一个交点为E.证明：NBAE=NACB.【解答】证明：连接。4,OB,OC,BD.'：OALAP,ADLOP,，由射影定理可得：PAi=PD'PO,AD2=PD'OD.…（5分）又由切割线定理可得PA'PB^PC,.PB・PC=PD'PO,.D、B、C、。四点共圆，…（10分）.NPDB=NPCO=乙OBC=NOOC,4PBD=NCOD,.△PBDsACOD,PDBD布=而’…（15分）.BD'CD=PD'OD=AD1,.BDAD=CD又NBDA=NBDP+9Q°=ZODC+90°=ZADC,:ABDAsAADC,：.NBAD=NACD,：.AB是△/£>C的外接圆的切线,.如图，点/为歹轴正半轴上一点,4,8两点关于x轴对称，过点4任作直线交抛物线y=1x2于尸，。两点.(1)求证：NABP=NABQ；（2）若点4的坐标为（0,1）,且NP80=6O°,试求所有满足条件的直线尸0的函数解析式.【解答】（1）证明：如图，分别过点尸，。作y轴的垂线，垂足分别为C,D.设点4的坐标为（0,1）,则点8的坐标为（0,-/）.设直线尸0的函数解析式为》=京+3并设P,。的坐标分别为（xp,yp）f（X0，»0）.由（y=kx+t=27'3,27得石公—kx—t=0,于是XpX。=—13EPt=—^xpXq.十口BC于是 =yp+t=舞2+t2o-lXp2~lXpXQ—2 922, 、-Xp(Xp-XQ)-2=_生BD%+t3XQi+t3XQ^~XPXQ/q(xqF)XQ,PC又因为777；XpBC所以77_PCQDXQBDQD因为N8CP=N8O0=9O°,所以ABCPsABD。,故N48尸=N4B0；(2)解：设PC=a,DQ=b,不妨设a》b>0,由(1)可知ZABP=ZABQ=30°,BC=V3a,BD=V3b,所以4。=百。-2,AD=2-V36.因为PC〃DQ,所以△ZCPs/\4