现代控制理论第六章分析课件

第六章状态反馈和状态观测器

6.1状态反馈的定义及其性质6.2极点配置6.3应用状态反馈实现解耦控制6.4状态观测器第六章状态反馈和状态观测器

6.1状态反馈的定义及其性16.1状态反馈的定义及其性质则闭环系统的结构如图6.1.1所示。给定系统在系统中引入反馈控制律6.1状态反馈的定义及其性质则闭环系统的结构如图6.1.2的状态空间表达式为：图6.1.1的状态空间表达式为：图6.1.13状态反馈性质(1)时，为单纯的状态变量反馈。若，则，状态反馈就等价于输。出反馈。若，则状态反馈性质(1)时，为单纯的状态变量反馈。若，则，状态反4①利用矩阵运算直接可推出（见书）(2)D=0时，可以求得闭环系统的传递函数阵②在图6.1.1中令并改用图6.1.2表示①利用矩阵运算直接可推出（见书）(2)D=0时，可以求得闭5图6.1.2图6.1.26

和输出反馈所组成从到b的传递函数矩阵。输出反馈传递函数阵的公式求出，不难用(为单位矩阵)图中a和b之间的部分，可以看成是由系统和输出反馈所组成从到b的传递函数矩阵。输出反馈传递函数阵7于是，从到的传递函数矩阵即为于是，从到的传递函数矩阵即为8证注意到系统和的能控性矩阵分别为由，可知的列向量可以由

的列向量的线性组合表示。

定理6.1.1对于任何实常量矩阵，系统完全能控的充要条件是系统完全能控。证注意到系统和的能控性矩阵分别为由，可知的列向量可以9

的列向量可以由()的的线性组合表示。列向量依此类推，不难看出≤的线性组合表示。这意味着的列向量可以由的列向量的列向量可以由()的的线性组合表示。列向量依此类推，不难10系统也可看成是由系统经过状态反馈而获得的，因此，同理有于是定理得证。所以系统的能控性等价于系统的能控性，系统也可看成是由系统经过状态反馈而获得的，因此，同理有11

完全能控能观，引入反馈例6.1.1系统完全能控能观，引入反馈例6.1.1系统12

：不难判断，系统仍然是能控的，但已不再能观测。则闭环系统的状态空间表达式为：不难判断，系统仍然是能控的，但已不再能观测。则闭环系统13

定理6.2.1给定系统通过状态反馈任意配置极点的充完全能控。要条件6.2.1极点配置定理6.2极点配置定理6.2.1给定系统通过状态反馈任意配置极点的充完全能14证:只就单输入系统的情况证明本定理充分性：因为给定系统能控，故通过等价变换必能将它变为能控标准形

这里，为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有，证:只就单输入系统的情况证明本定理充分性：因为给定系统15对式(6.2.2)引入状态反馈则闭环系统的状态空间表达式为对式(6.2.2)引入状态反馈则闭环系统的状态空间表达式为16

其中，显然有系统的闭环特征方程为其中，显然有系统的闭环特征方程为17同时，由指定的任意个期望闭环极点可求得期望的闭环特征方程通过比较系数，可知同时，由指定的任意个期望闭环极点可求得期望的闭环特征方程18由此即有又因为所以由此即有又因为所以19

且对任意，有非奇异变换阵使系统结构分解必要性：采用反证法，设不完全能控，则必且对任意，有非奇异变换阵使系统结构分解必要性：采用反20解：因为例6.2.1给定系统的状态空间表达式为求状态反馈增益阵，使反馈后闭环特征值为系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律能配置闭环特征值。任意解：因为例6.2.1给定系统的状态空间表达式为求状态反馈211)由得2)由得3)1)由得2)由得3)224)5)4)5)236)算法2：直接配置1)将带入系统状态方程，求得闭环系统的特征多项式

其中,是反馈矩阵的函数6)算法2：直接配置1)将带入系统状态方程，242)计算理想特征多项式3)列方程组

并求解。

其解,即为所求例6.2.2同例6.2.1。解：设所需的状态反馈增益矩阵k为因为经过状态反馈后，闭环系统特征多项式为的2)计算理想特征多项式3)列方程组25根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征多项式为根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征多项式为26比较两多项式同次幂的系数，有：8,812,42321211=++=++=+kkkkkk得：即得状态反馈增益矩阵为:

与例6.2.1的结果相同6.2.3讨论状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的公因子被对消所致。(1)比较两多项式同次幂的系数，有：8,812,4232121127对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动系统传递函数的零点。(2)若系统是不完全能控的，可将其状态方程变换成如下形式：(3)

其中，的特征值不能任意配置。(4)系统综合往往需要将不稳定的极点，移到

s平面的左半部，这一过程称为系统镇定。

只有的全部特征值都具有负实部时，系统才能稳定。对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动系统传递函数的零点。(286.3应用状态反馈实现解耦控制6.3.1问题的提出考虑MIMO系统

(6.3.1)6.3应用状态反馈实现解耦控制6.3.1问题的提出考虑M29式(6.3.2)可写为在的条件下，输出与输入之间的关系，可用传递函数描述：(6.3.2)式(6.3.2)可写为在的条件下，输出与输入之间的关系，可30每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少个输入所控制我们称这种交互作用的现象为耦合。一般说来，控制多输入多输出系统是颇为困的。例如,要找到一组输入如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入的控制，这必将大大的简化控制实现这样的。控制称为解耦控制，或者简称为解耦。每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少个输入所控制我们312)状态反馈控制律采用如下形式：3)输入变换矩阵为非奇异的图6.3.1+-1)即系统的输出个数等于输入个数；三个基本假定：2)状态反馈控制律采用如下形式：3)输入变换矩阵为非奇异的32解耦控制问题:寻找一个输入变换矩阵和状态反馈增益矩阵对,使得系统的传递函数阵显然，经过解耦的系统可以看成是由个独立单变量子系统所组成。解耦控制问题:寻找一个输入变换矩阵和状态反馈,使得系统的传递33图

6.3.2图6.3.2346.3.2实现解耦控制的条件和主要结论定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。1)已知传递函数阵其中都是严格真的有理分式(或者为零)。令是的分母的次数与分子的次数之差6.3.2实现解耦控制的条件和主要结论定义两个特征量并简要35此处的表示的第行。不难看出

由

所唯一确定的

(2)若A,B,C已知，则状态反馈不改变此处的表示的第行。不难看出由所唯一确定的(2)36例6.3.1给定系统其中:例6.3.1给定系统其中:37其传递函数矩阵为:得到:其传递函数矩阵为:得到:38因也可求得同样，由两种方法求得的也相同。因也可求得同样，由两种方法求得的也相同。39定理6.3.1前面系统在状态反馈下实现解耦控制的充要条件是为非奇异。其中，定理6.3.1前面系统在状态反馈下实现解耦控制的充要条件40证：对等式两边分别求导，根据和的定义可知证：对等式两边分别求导，根据和的定义可知41当且仅当矩阵为非奇异时，由方程组可唯一确定出和在状态反馈下,有:当且仅当矩阵为非奇异时，由方程组可唯一确定出42输出仅与输入有关,且仅能控制。定理得证在状态反馈下，系统的状态空间表达式为:输出仅与输入有关,且仅能控制。定理得证43

其传递函数矩阵为:其传递函数矩阵为:446.3.3算法和推论

算法：1)求出系统的2)构成矩阵，若非奇异，则可实现状态反馈解耦；否则，不能状态反馈解耦。3)求取矩阵和,则就是所需的状态反馈控制律。6.3.3算法和推论算法：2)构成矩阵，若非45例6.3.2给定系统试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解耦后的传递函数矩阵。例6.3.2给定系统试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律46解：1)在例6.3.1中已求得

2)因为为非奇异的,所以可状态反馈解耦.3)因为所以有解：1)在例6.3.1中已求得47于是4)反馈后，对于闭环系统有于是4)反馈后，对于闭环系统有48推论：1)能否态反馈实现解耦控制取决于和。2)求得，，则解耦系统的传递函数矩阵即可确定。3)系统解耦后，每个SISO系统的传递函数均为重积分形式。须对它进一步施以极点配置。4)要求系统能控，或者至少能镇定否则不能。保证闭环系统的稳定性。推论：1)能否态反馈实现解耦控制取决于和。2)496.4状态观测器问题的实质就是构造一个新的系统(或者说装置)，利用原系统中可直接测量的输入量和输出量作为它的输入信号，并使其输出信号满足6.4.1状态观测器的存在条件定理6.4.1给定线性系统6.4状态观测器问题的实质就是构造一个新的系统(或者说50证:因为证:因为51即所以,只有当时，上式中的才能有唯一解即只有当系统是状态完全能观测时,状态向量才能由以及它们的各阶导数的线性组合构造出来。即所以,只有当时，上式中的才能有唯一解即526.4.2全维状态观测器开环状态估计器：构造一个与原系统完全相同的模拟装置(1)6.4.2全维状态观测器开环状态估计器：构造一个与原系统完53图6.4.1图6.4.154从所构造的这一装置可以直接测量。这种开环状态估计器存在如下缺点：每次使用必须重新确定原系统的初始状态并对估计器实施设置；①②在

有正实部特征值时，最终总要趋向无穷大。(2)闭环全维状态观测器。状态观测器的动态方程可写为：从所构造的这一装置可以直接测量。这种开环状态估计器存在如下缺55因为

其解为若,则有由于,观测器中的特征值配置问题等价与对偶系统中极点配置问题。定理6.4.2若n维线性定常系统是状态完能观，则存在状态观测器因为其解为若,则有由于56其估计误差满足在负共轭特征值成对出现的条件下，可选择矩阵来任意配置的特征值。例6.4.1为例6.2.1的系统设计一个全维状态观测器，并使观测器的极点为，。解:系统完全能观测的，可构造任意配置特征值全维状态观测器。1)由,得；其估计误差满足在负共轭特征值成对出现572)观测器的期望特征多项式为得；3)4)2)观测器的期望特征多项式为3)4)585)6)5)6)59得全维状态观测器得全维状态观测器60其模拟结构如图为图6.4.2返回其模拟结构如图为图6.4.2返回61第六章状态反馈和状态观测器

6.1状态反馈的定义及其性质6.2极点配置6.3应用状态反馈实现解耦控制6.4状态观测器第六章状态反馈和状态观测器

6.1状态反馈的定义及其性626.1状态反馈的定义及其性质则闭环系统的结构如图6.1.1所示。给定系统在系统中引入反馈控制律6.1状态反馈的定义及其性质则闭环系统的结构如图6.1.63的状态空间表达式为：图6.1.1的状态空间表达式为：图6.1.164状态反馈性质(1)时，为单纯的状态变量反馈。若，则，状态反馈就等价于输。出反馈。若，则状态反馈性质(1)时，为单纯的状态变量反馈。若，则，状态反65①利用矩阵运算直接可推出（见书）(2)D=0时，可以求得闭环系统的传递函数阵②在图6.1.1中令并改用图6.1.2表示①利用矩阵运算直接可推出（见书）(2)D=0时，可以求得闭66图6.1.2图6.1.267

和输出反馈所组成从到b的传递函数矩阵。输出反馈传递函数阵的公式求出，不难用(为单位矩阵)图中a和b之间的部分，可以看成是由系统和输出反馈所组成从到b的传递函数矩阵。输出反馈传递函数阵68于是，从到的传递函数矩阵即为于是，从到的传递函数矩阵即为69证注意到系统和的能控性矩阵分别为由，可知的列向量可以由

的列向量的线性组合表示。

定理6.1.1对于任何实常量矩阵，系统完全能控的充要条件是系统完全能控。证注意到系统和的能控性矩阵分别为由，可知的列向量可以70

的列向量可以由()的的线性组合表示。列向量依此类推，不难看出≤的线性组合表示。这意味着的列向量可以由的列向量的列向量可以由()的的线性组合表示。列向量依此类推，不难71系统也可看成是由系统经过状态反馈而获得的，因此，同理有于是定理得证。所以系统的能控性等价于系统的能控性，系统也可看成是由系统经过状态反馈而获得的，因此，同理有72

完全能控能观，引入反馈例6.1.1系统完全能控能观，引入反馈例6.1.1系统73

：不难判断，系统仍然是能控的，但已不再能观测。则闭环系统的状态空间表达式为：不难判断，系统仍然是能控的，但已不再能观测。则闭环系统74

定理6.2.1给定系统通过状态反馈任意配置极点的充完全能控。要条件6.2.1极点配置定理6.2极点配置定理6.2.1给定系统通过状态反馈任意配置极点的充完全能75证:只就单输入系统的情况证明本定理充分性：因为给定系统能控，故通过等价变换必能将它变为能控标准形

这里，为非奇异的实常量等价变换矩阵，且有，证:只就单输入系统的情况证明本定理充分性：因为给定系统76对式(6.2.2)引入状态反馈则闭环系统的状态空间表达式为对式(6.2.2)引入状态反馈则闭环系统的状态空间表达式为77

其中，显然有系统的闭环特征方程为其中，显然有系统的闭环特征方程为78同时，由指定的任意个期望闭环极点可求得期望的闭环特征方程通过比较系数，可知同时，由指定的任意个期望闭环极点可求得期望的闭环特征方程79由此即有又因为所以由此即有又因为所以80

且对任意，有非奇异变换阵使系统结构分解必要性：采用反证法，设不完全能控，则必且对任意，有非奇异变换阵使系统结构分解必要性：采用反81解：因为例6.2.1给定系统的状态空间表达式为求状态反馈增益阵，使反馈后闭环特征值为系统是状态完全能控，通过状态反馈控制律能配置闭环特征值。任意解：因为例6.2.1给定系统的状态空间表达式为求状态反馈821)由得2)由得3)1)由得2)由得3)834)5)4)5)846)算法2：直接配置1)将带入系统状态方程，求得闭环系统的特征多项式

其中,是反馈矩阵的函数6)算法2：直接配置1)将带入系统状态方程，852)计算理想特征多项式3)列方程组

并求解。

其解,即为所求例6.2.2同例6.2.1。解：设所需的状态反馈增益矩阵k为因为经过状态反馈后，闭环系统特征多项式为的2)计算理想特征多项式3)列方程组86根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征多项式为根据要求的闭环期望极点，可求得闭环期望特征多项式为87比较两多项式同次幂的系数，有：8,812,42321211=++=++=+kkkkkk得：即得状态反馈增益矩阵为:

与例6.2.1的结果相同6.2.3讨论状态反馈不改变系统的维数，但是闭环传递函数的阶次可能会降低，这是由分子分母的公因子被对消所致。(1)比较两多项式同次幂的系数，有：8,812,4232121188对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动系统传递函数的零点。(2)若系统是不完全能控的，可将其状态方程变换成如下形式：(3)

其中，的特征值不能任意配置。(4)系统综合往往需要将不稳定的极点，移到

s平面的左半部，这一过程称为系统镇定。

只有的全部特征值都具有负实部时，系统才能稳定。对于单输入单输出系统，状态反馈不会移动系统传递函数的零点。(896.3应用状态反馈实现解耦控制6.3.1问题的提出考虑MIMO系统

(6.3.1)6.3应用状态反馈实现解耦控制6.3.1问题的提出考虑M90式(6.3.2)可写为在的条件下，输出与输入之间的关系，可用传递函数描述：(6.3.2)式(6.3.2)可写为在的条件下，输出与输入之间的关系，可91每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少个输入所控制我们称这种交互作用的现象为耦合。一般说来，控制多输入多输出系统是颇为困的。例如,要找到一组输入如能找出一些控制律，每个输出受且只受一个输入的控制，这必将大大的简化控制实现这样的。控制称为解耦控制，或者简称为解耦。每一个输入控制着多个输出，而每一个输出被多少个输入所控制我们922)状态反馈控制律采用如下形式：3)输入变换矩阵为非奇异的图6.3.1+-1)即系统的输出个数等于输入个数；三个基本假定：2)状态反馈控制律采用如下形式：3)输入变换矩阵为非奇异的93解耦控制问题:寻找一个输入变换矩阵和状态反馈增益矩阵对,使得系统的传递函数阵显然，经过解耦的系统可以看成是由个独立单变量子系统所组成。解耦控制问题:寻找一个输入变换矩阵和状态反馈,使得系统的传递94图

6.3.2图6.3.2956.3.2实现解耦控制的条件和主要结论定义两个特征量并简要介绍它们的一些性质。1)已知传递函数阵其中都是严格真的有理分式(或者为零)。令是的分母的次数与分子的次数之差6.3.2实现解耦控制的条件和主要结论定义两个特征量并简要96此处的表示的第行。不难看出

由

所唯一确定的

(2)若A,B,C已知，则状态反馈不改变此处的表示的第行。不难看出由所唯一确定的(2)97例6.3.1给定系统其中:例6.3.1给定系统其中:98其传递函数矩阵为:得到:其传递函数矩阵为:得到:99因也可求得同样，由两种方法求得的也相同。因也可求得同样，由两种方法求得的也相同。100定理6.3.1前面系统在状态反馈下实现解耦控制的充要条件是为非奇异。其中，定理6.3.1前面系统在状态反馈下实现解耦控制的充要条件101证：对等式两边分别求导，根据和的定义可知证：对等式两边分别求导，根据和的定义可知102当且仅当矩阵为非奇异时，由方程组可唯一确定出和在状态反馈下,有:当且仅当矩阵为非奇异时，由方程组可唯一确定出103输出仅与输入有关,且仅能控制。定理得证在状态反馈下，系统的状态空间表达式为:输出仅与输入有关,且仅能控制。定理得证104

其传递函数矩阵为:其传递函数矩阵为:1056.3.3算法和推论

算法：1)求出系统的2)构成矩阵，若非奇异，则可实现状态反馈解耦；否则，不能状态反馈解耦。3)求取矩阵和,则就是所需的状态反馈控制律。6.3.3算法和推论算法：2)构成矩阵，若非106例6.3.2给定系统试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律和解耦后的传递函数矩阵。例6.3.2给定系统试求使其实现解耦控制的状态反馈控制律107解：1)在例6.3.1中已求得

2)因为为非奇异的,所以可状态反馈解耦.3)因为所以有解：1)在例6.3.1中已求得108于是4)反馈后，对于闭环系统有于是4)反馈后，对于闭环系统有109推论：1)能否态反馈实现解耦控制取决于和。2)求得，，则解耦系统的传递函数矩阵即可确定。3)系统解耦后，每个SISO系统的传递函数均为重积分形式。须对它进一步施以极点配置。4)要求系统能控，或者至少能镇定否则不能。保证闭环系统的稳定性。推论：1)能否态反馈实现解