2021-2022学年江苏省无锡市锡山区九年级（上）月考数学试卷（10月份）（附答案详解）

2021-2022学年江苏省无锡市锡山区查桥中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）.下列方程是一元二次方程的是（）A.2x+y=1B.x2+1=0C.x(x+3)=x2D.x2+1=1.。。的半径为4,线段OP=4,则点P与。。的位置关系是（）3.D.不能确定A.点尸在外B.点P在。。内C.点P在。。上如图，已知。。的半径为13,弦AB长为24,则点O到AB的距离是（3.D.不能确定65C.4D.3.如图，。。的直径CC过弦EF的中点G,Z.EOD=40°,则〃>CF等于()80°50°40°20°.以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧长也相等：（3）三点确定一个圆；（4）垂直于弦的直径必平分弦.其中正确的命题的个数是（）1个 B.2个 C.3个 D.4个6.如图，。。的直径48=12,CO是。。的弦，CDLAB,垂6.足为P,且BP：AP=1：5,则CO的长为（）A.4V28V2C.2V5D.45/57.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份平均每月的增长率为x,那么x满足的方程是（）50（14-x）2=18250+50（1+x）+50（1+x）2=182

50(1+2x)=18250+50(1+x)+50(1+2x)2=1828.已知方程+1=0有两个不相等的实数根，则人的取值范围是()A.k>— B.k〈— C.k丰— D.k<—且kH04 4 4 4.定义：如果一元二次方程a/+bx+c=0(aW0)满足a+b+c=0,那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程a/+bx+c=0(a#0)满足a-b+c=0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”.对于“和美方程”，下列结论正确的是()A.方程两根之和等于0 B.方程有一根等于0C.方程有两个相等的实数根C.方程有两个相等的实数根D.方程两根之积等于0.如图，MN是半径为1的。。的直径，点A在。。上，^AMN=30°,8为AN弧的中点，点尸是直径上一个动点，则P4+PB的最小值为()A.2V2 B.V2 C.1 D.2.方程(m-2)xm2-2+(3— -2=0是一元二次方程，则m=..已知一元二次方程/-6x+c=0有一个根为1,则另一个根为..一个三角形的两边长分别为4c/n和7c/n,第三边长是一元二次方程--10x+16=0的实数根，则三角形的周长是cm..直角三角形的两边长为6和8,则此三角形的外接圆半径为..一条弦把圆分成1：5两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是..网民小李的。。群里共有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有90条消息，设小李的Q。群里共有好友x个，可列方程为：..如图是一条水铺设的直径为2米的通水管道横截面，其水面 宽1.6米，则这条管道中此时水深为米. / \

.如图，BC是。。弦，。是BC上一点，交。。于点A,连接AB.0C,若乙4=20。，Z.C=30°,则乙4OC的度数为..对于实数a,b,定义运算“一'：a*b 乎干［例如4*2,因为4>2,kab-bL{a<b).所以4*2=42-4x2=8,若小是一元二次方程——5%+6=0的两个根，则与*%2= •.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点。为圆心的圆过点/I(729,0),直线y=丘一2k+3与。0交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为..解方程：(1)。-1)2=9：(2)x2-2x-8=0；(3)3y(y-l)=2(y-l)；(4)2/—5x—3=0；(5)x2+4x-21=0(用配方法)；(6)(2x-l)2-2(2x+1)=0..己知关于x的方程关于x的方程刀2-(k+2)x+2k=0.(1)试说明：无论k取什么实数值，方程总有实数根.(2)若等腰AABC的一边长。为1,另两边长江c恰好是这个方程的两个实数根,求AABC的周长？.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB.(1)作出A8所在圆的圆心O；(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)若弧A8的中点C到弦A8的距离为20/n,AB=80m,求AB所在圆的半径..如图，。0的直径AB与弦CQ交于点E,AE=5,BE=1,CD=4V2,求EC的长.

D..如图，AB是。。的直径，弦CD1AB于点E,点尸在。。上，且PD〃CB,弦PB与CD交于点、F(1)求证：FC=FB-,(2)若CD=24,BE=8,求。。的直径..某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问：(1)应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？(2)店主想要获得每天800元的利润，小红同学认为不可能.如果你同意小红同学的说法，请用两种不同的方法进行说明.如果你不同意，简要说明理由..阅读下列材料：己知实数相，〃满足(2m2+/+i)(2ni2+/-1)=80,试求27nn2的值.解:设2加2+n2=t,则原方程变为(t+l)(t-1)=80,整理得t2-l=80.t2=81,所以t=±9,因为27n2+1>0,所以2m2+〃2=9.上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整休，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化.根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程.(1)已知实数x、y,满足(2■+2y2+3)(2*2+2y2-3)=27,求/+y2的值；(2)已知RtZiACB的三边为.、氏c(c为斜边)，其中a)满足+/)(a2+川一4)=5,求RtAACB外接圆的半径..对于一个三角形,设其三个内角的度数分别为£、y。和z。,若x、y、z满足/+y2=z2,我们定义这个三角形为美好三角形.△ABC中，若乙4=50°,乙B=70°,则AABC(填“是”或“不是”)美好三角形；(2)如图，锐角△ABC是。。的内接三角形，ZC=60°,4c=4,。。的直径是4位，

求证：aabc是美好三角形；(3)已知△ABC是美好三角形，44=30。，求4c的度数..在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发，沿AB边向点8以每秒1cm的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动P、。两点在分别到达8、C两点后就停止移动，设两点移动的时间为/秒，回答下列问题：(1)如图1,当♦为几秒时，APBQ的面积等于5crn2?(2)如图2,当亡=，秒时，试判断△DPQ的形状，并说明理由：(3)如图3,以。为圆心，PQ为半径作。Q.①在运动过程中，是否存在这样的，值，使。Q正好与四边形OPQC的一边(或边所在的直线)相切？若存在，求出r值；若不存在，请说明理由；②若OQ与四边形。尸QC有三个公共点，请直接写出，的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解：42x+y=l是二元一次方程，故本选项不符合题意；B.x2+1=0是一元二次方程，故本选项符合题意；+3）=/整理可得3%=0,是一元一次方程，故本选项不符合题意；£>./+三=1是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意；X故选：B.根据一元二次方程的定义逐个判断即可.本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程..【答案】C【解析】解：•；OP=4,•••OP等于。。的半径，二点尸与。。上.故选C.根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系..【答案】B【解析】解：过。作0C_L4B于C,v。。过O,1.♦.AC=BC=-AB=12,2在RtAAOC中，由勾股定理得：0C=V132-122=5.故选：B.过。作0C14B于C,根据垂径定理求出AC,根据勾股定理求出OC即可.本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC的长..【答案】D【解析】解：：。。的直径CO过弦EF的中点G,.•.曲=5?1（垂径定理），/.DCF=g/E。。（等弧所对的圆周角是圆心角的一半）,4DCF=20".故选：D.欲求Z_DCF,又已知一圆心角，可利用圆周角与圆心角的关系求解.本题考查垂弦定理、圆心角、圆周角的应用能力..【答案】B【解析】解：在同圆或等圆中能够重合的弧叫做等弧，所以等弧所对的弦相等；所以(1)正确；在同圆或等圆中，圆心角相等，它们所对的弧长也相等，所以(2)错误；不共线的三点确定一个圆，所以(3)错误；垂直于弦的直径必平分弦，所以(4)正确.故选：B.根据圆心角、弧、弦的关系对(1)(2)进行判断；根据确定圆的条件对(3)进行判断；根据垂径定理对(4)进行判断.本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可..【答案】D【解析】解：：。。的直径48=12,1OB=-AB=6»2vBP：AP=1：5,BP=-AB=-x12=2,6 6...OP=OB-BP=6—2=4,vCD1AB,•••CD=2PC.如图，连接OC,在Rt^OPC中，vOC=6,OP=4,:.PC=VOC2-OP2=V62-42=2V5,CD=2PC=2x2V5=4V5.故选：D.先根据。。的直径AB=12求出的长，再由BP：AP=1：5求出8P的长，故可得出OP的长，连接0C,在RtZiOPC中利用勾股定理可求出PC的长，再根据垂径定理即可得出结论.本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.【解析】【分析】主要考查由实际问题抽象出一元二次方程增长率问题，一般增长后的量=增长前的量X(1+增长率)，如果该厂五、六月份平均每月的增长率为X,那么可以用X分别表示五、六月份的产量，然后根据题意可得出方程.【解答】解：依题意得五、六月份的产量为50(1+》)、50(1+x)2,50+50(1+x)+50(1+x)2=182.故选：B..【答案】D【解析】【分析】本题考查一元二次方程的定义，考查根的判别式，为基础题.令原方程根的判别式A=b2-4ac>0,求得k的取值，保证二次项的系数不为0即可.【解答】解：由题意得4=b2—4ac=1—4fc>0,且k*0,解得：k<二且k=0.4故选D.【答案】A【解析】解：,:把x=1■代入方程ax?+bx+c=0得出：a+b+c=0,把x=-1代入方程a/+bx+c=0得出a-b+c=0,二方程a/+bx+c=0(a力0)有两个根x=1•和x=—1>1+(-1)—-0,即只有选项A正确；选项C、B、。都错误.故选4根据已知得出方程a/+bx+c=0(a*0)有两个根x=1和x=-1.再判断即可.本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力..【答案】B【解析】【分析】本题考查的是圆周角定理及勾股定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解.过A作关于直线MN的对称点A',连接AB,由轴对称的性质可知AB即为P4+PB的最小值，由对称的性质可知而=1分，再由圆周角定理可求出/AOB的度数，再由勾股定理即可求解.【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A,连接AB,由轴对称的性质可知A'B即为PA+PB的最小值，连接。8,OA',AA',AA'关于直线MN对称,.-.AN=诵，v4AMN=30",/.A'ON=60°,乙BON=30",A/.A'OB=90",^.Rt^A'OB^,OB=OA'=1,A'B=VOB2+OA'2=Vl2+l2=V2,即PA+PB的最小值为企.故选B..【答案】一2【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的定义，属于基础题，注意掌握一元二次方程的定义是解答本题的关键.根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0,未知数的最高次数为2,可得相的值.【解答】解：「关于x的方程(m-2)xm2-2+(3-m)x-2=0是一元二次方程，e(tn-2Hotm2-2=2'解得：m=-2.故答案为：—2..【答案】5【解析】解：设另外一个根为外，则1+不=6,解得：x2=5,故答案为：5.根据根与系数的关系可得出两根之和为6,从而得出另一个根.

本题考查了根与系数的关系：若/，X2是一元二次方程。/+历：+。=()(。40)的两根H'j",X]+X2=--，Xj%2=->.【答案】19【解析】解：vx2-10x+16=0,(x-2)(x-8)=0,则x-2=0或x-8=0,解得%=2,x2=8；当x=2时，三角形三边长度为2、4、7,2+4<7,不能够成三角形；当x=8时，三角形三边长度为4cvn,1cm,8cw,此时周长为4+7+8=19(cm),故答案为：19.利用因式分解法求出方程的解，再依据三角形三边关系对所求x的值取舍，继而得出答案.本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键..【答案】4或5【解析】解：由勾股定理可知：①当8为斜边时，直角三角形的斜边长为：8；②当8为直角边时，直角三角形的斜边长为：62+82=10；因此这个三角形的外接圆半径为4或5.故答案为：4或5.直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，分两种情况：①8为斜边长；②6和8为两条直角边长，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径.本题考查了三角形的外接圆与外心，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆..【答案】30°或150°C【解析】解:

•条弦AB把圆分成1：5两部分，如图，二弧AC'B的度数是三X360°=60°,弧ACB的度数是360。-60°=300°,6:.Z-AOB=60°»乙4cB=-Z.AOB=30",2AlAC'B=180°-30°=150°,故答案为：30°或150°.根据题意画出图形，得出两种情况，求出两段弧的度数，即可求出答案.本题考查了圆周角定理的应用，注意：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半..【答案】x(x-1)=90【解析】解：设有x个好友，依题意，x(x-1)=90,故答案为：x(x-1)=90.每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息;设有x个好友，每人发x—1条消息，则发消息共有x(x—1)条.本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，类似于几名同学互赠明信片，每两名同学之间会产生两张明信片，即：可重复；与每两名同学之间握手有区别..【答案】0.4TOC\o"1-5"\h\z【解析】解：作出弧AB的中点。，连接。£),交AB于点C /则OD1AB.AC=^AB=0.8m. / \在直角A04C中，OC=70Al-AC2=-0.82=。上血.! ，」:则水深CD=OD-OC=1-0.6=0.4m. ...jf....利用垂径定理，以及勾股定理即可求解.此题涉及圆中求半径的问题，此类在圆中涉及弦长、半径、圆心角的计算的问题，常把半弦长，圆心角，圆心到弦距离转换到同一直角三角形中，然后通过直角三角形予以求解，常见辅助线是过圆心作弦的垂线..【答案】100°【解析】解：设乙4OC=x°,则=vZ.AOC=Z.ODC+乙C,Z.ODC=乙B+4力，x=20°+30°+-x,2解得x=100".故答案为:100°.设41OC=x。，根据圆周角定理得到48的度数，根据三角形的外角的性质列出方程,解方程得到答案.本题考查的是圆周角定理和三角形的外角的性质，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键..【答案】3或一3【解析】【分析】首先解方程/-5x+6=0,再根据—求出Xi*的值即可.kab—&(q<b).此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及利用材料分析解决新问题，根据已知进行分类讨论是解题关键.【解答】解：・・・％i，不是一元二次方程/-5x+6=0的两个根，(x-3)(%-2)=0,解得：久=3或2,①当%=3,孙=2时，*x2=32—3x2=3；②当％1=2,x2—3时，*x2=3x2-32=—3.故答案为：3或一3..【答案】8TOC\o"1-5"\h\z【解析】解：对于直线y=kx—2k+3=k(x—2)+3,当％= 3a2时,y=3,故直线、=土工一21+3恒经过点(2,3),记为点D. ( 、过点。作CH_Lx轴于点“， 一\则有。，=2,DH=3,OD=VOW2-0D=V13.•••点4(国,0),0A=V29,:.OB=0A=V29.由于过圆内定点O的所有弦中，与。。垂直的弦最短，如图所示，因此运用垂径定理及勾股定理可得：BC的最小值为2BC=2y/OB2-OD2=2x4=8.故答案为：8.易知直线、=依一21+3过定点。(2,3),运用勾股定理可求出OZ),由条件可求出半径OB,由于过圆内定点。的所有弦中，与QD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定理就可解决问题.本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点(2,3)以及运用“过圆内定点。的所有弦中，与。。垂直的弦最短”这个经验是解决本题的关键..【答案】解：(l);(x-1)2=9,x-1=±3,：•x1=4fx2——2；vx2—2x—8=0,•・(x-4)(%+2)=0,则x—4=0或x+2=0,解得=4,x2=-2；(3)・・・3y(y-1)=2(y-1),・・3y(y-l)—2(y—l)=0,则(y-i)(3y—2)=0,・・y-1=。或3y—2=0,解得刈=1，为=g；v2x2—5x—3=0,(x—3)(2x+1)=0,则x-3=0或2x+l=0,解得=3,x2=—(5)x2+4x-21=0,・•・x24-4x=21,:./+4%+4=21+4,即(％+2)2=25,x4-2=±5,••• =-3,&=-7；(6)整理为一般式，得：4x2-8x-1=0,贝|J4/-8x=1,：•x2-2x=4.，•x2—2x+1=1+即(x—l)2=pAX-1=±—,2；•X1=1+/,x2=1—当【解析】(1)利用直接开平方法求解即可；(2)将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；(3)先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；(4)将左边利用十字相乘法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案；(5)将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；(6)整理为一般式后，利用配方法求解即可.本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.22.【答案】(1)证明：••△=b2-4ac=(k+2)2-Qk=(k-2)2>0,••无论女取任意实数值，方程总有实数根：(2)解：分两种情况：①若b=c,••方程/一(k+2)x+2k=0有两个相等的实数根，••△=b2-4ac=(k—2)z=0,解得k=2,二此时方程为/—4x+4=0,解得/=x2=2,••△ABC的周长为5；②若b力c,则b=a=1或c=a=1,即方程有一根为1,.•把x=1代入方程/~(k+2)x+2k=0,得1一(k+2)+2k=0,解得k=1,二此时方程为*2-3x+2=0,解得%=1.x2=2,•••方程另一根为2,•••1、1、2不能构成三角形，所求aABC的周长为5.综上所述，aABC的周长为5.【解析】(1)把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出ANO可知方程总有实数根；(2)根据等腰三角形的性质分情况讨论求出6,c的长，并根据三角形三边关系检验，综合后求出△ABC的周长.本题主要考查方程根的判别式及等腰三角形的性质，掌握方程根的判别式与方程根的情况的关系是解题的关键，注意分类讨论.23.【答案】解(1)如图1,图1在圆弧AB上任取一点。，分别作AB、4。的中垂线于交0,则点。即为所求.(2)如图2,设圆弧AB所在圆的半径为r,贝必。=r,OH=r-20,vOC1AB,■■AH=-AB=W,2•.在RtAAHO中，由勾股定理得：4。2+3-20)2=产，••r=50m.【解析】(1)根据圆的概念和线段垂直平分线的性质作图；(2)根据垂径定理求出A”的长，根据勾股定理计算即可.本题考查的是垂径定理的应用、尺规作图以及勾股定理的应用，掌握尺规作图的一般步骤和垂径定理是解题的关键..【答案】解：设EC=x,则EC=CD-CE=4V^-x,根据题意得4EBE=CE-DE,所以x(4或一x)=51,整理得—4V2x+5=0.解得x=2V2土V3,即EC的长为2鱼+6或2鱼-V3.［解析】设EC=x,贝=CD-CE=442-x,根据相交弦定理x(4位-x)=5-1,然后解一元二次方程即可.本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等..【答案】(1)证明：vPD//CB,・•・Z,PDC=乙DCB,：.PC=BD,・•・Z,FBC=乙FCB,・・・FC=FB.(2)解:如图：连接OC,设圆的半径为r,在RtAOCE中，OC=r,OE=r—8,CE=12,r2=(r-8)2+122,解方程得：r=13.所以。。的直径为26.【解析】本题考查的是垂径定理，勾股定理，难度不大.⑴根据平行线的性质得到"DC=〃>CB,,得到无=防，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC=F8.(2)连接OC,由垂径定理得到CE=12,在RtAOCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径.26.【答案】解：(1)设将每件商品提价x元，则每天可售出该商品(200-20x)件，根据题意得:(10-8+x)(200-20x)=640,整理得：x2-8x+12=0,解得：X1=2,必=6，:.10+x=12或16.答：每件售价定为12元或16元.(2)同意小红同学的说法，理由如下：⑴设将每件商品提价y元，则每天可售出该商品(200-20y)件，根据题意得:(10-8+y)(200-20y)=800,整理得：y2-8y+20=0.•••A=(-8产-4x1x20=-16<0,•••该方程无解，.♦•小红同学的说法正确；(ii)设将每件商品提价a元，每天的利润为w元，则每天可售出该商品(200-20a)件,根据题意得：w=(10-8+a)(200-20a)=-20a2+160a+400=-20(a-4)2+720,—20<0,.•.当a=4时，卬取最大值，最大值为720,v720<800,•••小红同学的说法正确.【解析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的最值，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)。)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(ii)利用配方法，求出二次函数的最值.(1)设将每件商品提价x元，则每天可售出该商品(200-20切件，根据每天的利润=每件商品的利润x每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论；(2)(。设将每件商品提价y元，则每天可售出该商品(200-20y)件，根据每天的利润=每件商品的利润x每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=-16<0,即可得出该方程无解，进而可得出小红同学的说法正确：(ii)设将每件商品提价a元，每天的利润为w元，则每天可售出该商品(200-20a)件，根据每天的利润=每件商品的利润x每天的销售量，即可得出w关于a的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可得出其最大值，由该值小于800,即可得出小红同学的说法正确.27.【答案】解：(1)设2/+2y2=t,则原方程可变为(t+3)(t-3)=27,解得t=±6,2x2+2y2>0,:.2x2+2y2=6,:.x2+y2=3；(2)(a2+b2)(a2+炉-4)=5,^a2+b2=t,则原方程可变为t(t-4)=5,即产-4t-5=0,解得ti=5,t2=va2+b2>0,:.a2+b2=5,c2=5,c=^5»•••外接圆的半径为今【解析】(1)设2/+2丫2=3则原方程可变为(t+3)(t—3)=27,解方程即可得到结论；(2)设a?+=3则原方程可变为t(t-4)=5,列方程即可得到结论.本题主要考查换元法解方程的方法和勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设

元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理..【答案】不是【解析】(1)解：•••△ABC中，44=50。，48=70。,ZC=60°.:502+6024702,•.△4BC不是美好三角形；故答案为：不是；(2)证明：连接04、OC：AC=4,OA=OC=2V2,•・△04C是直角三角形，即乙40c=90。，Z.B=45°,:ZC=60°,乙4=75",••即三个内角满足关系:452+602=752,•.△ABC是美好三角形；(3)解：设4C=x。，则48=(150—x)。，若为最大角，则/=(150-x)2+302,解得x=78,若NB最大角，则(150-©2=/+3()2,解得x=72,综上可知，4c=78°或72°.(1)利用美好三角形的定义得出△ABC的形状进而求出即可；(2)利用勾股定理的逆定理得出△ABC的形状进而得出答案；(3)利用美好三角形的定义进而分别得出NC的度数.此题主要考查了圆的综合以及勾股定理的应用，利用数形结合以及分类讨论得出得出是解题关键..【答案】解：(1)•.•当运动时间为r秒时，PA=t,BQ=2t,:,PB=6—t,BQ=2t.•・•△P8Q的面积等于5cm2,