线性代数相关知识培训教程课件

线性代数一、行列式二、矩阵三、n维向量四、线性方程组五、矩阵的特征值和特征向量六、二次型线性代数一、行列式二、矩阵三、n维向量四、线性方程组五、矩1.行列式的定义一、行列式1.行列式的定义一、行列式N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和,每项为取自表中不同行不同列n个元素的乘积,符号由这n个元素列标排列的逆序数决定(行标按自然顺序排列),奇排列带负号,偶排列带正号.N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和,每项为取自表中不同2.行列式的性质2.行列式的性质线性代数相关知识培训教程课件利用行列式性质，将行列式化成上三角，再按上式计算利用行列式性质，将行列式化成上三角，再按上式计算余子式与代数余子式3.行列式按行（列）展开余子式与代数余子式3.行列式按行（列）展开线性代数相关知识培训教程课件例1例1线性代数相关知识培训教程课件4.克拉默法则4.克拉默法则定理定理定理定理二、矩阵1.矩阵的概念记作二、矩阵1.矩阵的概念记作简记为简记为几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).

称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,记作只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).

（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零注(5)单位阵：对角线上全为1的对角阵称为单位矩阵（或单位阵）.(5)单位阵：对角线上全为1的对角阵称为单位矩阵（或单位阵）(6)对称矩阵定义设为阶方阵，如果A的元素满足那末称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明(6)对称矩阵定义设为阶方阵，如果A的元2）两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.同型矩阵与矩阵相等1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.2）两个矩阵为同型矩阵,并1)加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为2.矩阵的运算1)加法设有两个矩阵线性代数相关知识培训教程课件2)数与矩阵相乘矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.2)数与矩阵相乘矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性并把此乘积记作3)矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.并把此乘积记作3)矩阵与矩阵相乘设例１注：（1）矩阵乘法不满足交换律(2)矩阵乘法不满足消去律,即例１注：（1）矩阵乘法不满足交换律(2)矩阵乘法不满足消（其中为数）;

若A是阶方阵，则为A的次幂，即并且（注：单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1）（其中为数）;若A是阶方定义

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例4）矩阵的转置转置矩阵的运算性质注：若A为对称阵，则定义把矩阵的行换成同序数的列得到的例4）矩5）方阵的行列式定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质5）方阵的行列式定义由阶方阵的元素伴随矩阵定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵伴随矩阵性质称为矩阵的伴随矩阵.6）逆矩阵伴随矩阵定义行列式的各个元素的代数余子式逆矩阵定义

对于阶方阵，如果有一个阶方阵

则说方阵是可逆的，并把方阵称为的逆矩阵.使得逆矩阵定义对于阶方阵，如果有一个阶方阵定理1

方阵可逆的充要条件是，且

二阶矩阵的逆矩阵用该公式求，三阶及以上矩阵的逆矩阵用初等变换求。定理1方阵可逆的充要条件是，且逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质线性代数相关知识培训教程课件解：解：矩阵方程解矩阵方程解线性代数相关知识培训教程课件定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:3.初等变换和初等矩阵定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:3.初等变换和初等矩定义2矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换定义2矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.初等矩阵注:初等矩阵都是可逆的,其逆矩阵仍为与原矩阵同类型的初等矩阵.定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵

定理设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.初等矩阵的作用定理设是一个矩阵，对施行一次初可逆阵与单位阵等价矩阵的等价可逆阵与单位阵等价矩阵的等价利用初等变换求逆阵的方法：

定理设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵利用初等变换求逆阵的方法：定理设A为可4.矩阵的秩4.矩阵的秩如果矩阵A的秩等于该矩阵的行数(或列数),则称为满秩矩阵,可逆矩阵就是满秩矩阵.如果矩阵A的秩等于该矩阵的行数(或列数),则称为满秩矩阵,可例7：求矩阵的秩。解：但A中有2阶子式不为零，故例7：求矩阵的秩。解：但A中有2阶子式不为零，故例7解例7解求矩阵秩的方法：

把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例8解求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶线性代数相关知识培训教程课件线性代数相关知识培训教程课件线性代数相关知识培训教程课件由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是的一个最高阶非零子式.矩阵A与之对应的三阶子式则这个子式便是的一个最高阶非零子式.矩阵A与之对应与矩阵的秩有关的结论1.初等变换不改变矩阵的秩2.等价矩阵有相同的秩3.设则当B是可逆矩阵时,有4.设则与矩阵的秩有关的结论1.初等变换不改变矩阵的秩2.等价矩阵有线性代数相关知识培训教程课件三、n维向量

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．1.向量组的线性相关性三、n维向量若干个同维数的列向量（或同维数的一个向量由一个向量组线性表示一个向量由一个向量组线性表示解：考虑解：考虑定义2设有两个向量组（1）若向量组B中每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。（2）若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。两个向量组等价定义2设有两个向量组（1）若向量组B中每个向量都能由向向量组的线性相关性则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．由定义3可得：1、任一向量组不是线性相关就是线性无关。2、含零向量的向量组一定线性相关。3、单个非零向量一定是线性无关。4、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。向量组的线性相关性则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关定理2定理2解例11解例11与线性相关性有关的结论:（1）部分相关整体相关。（2）m个n维向量，当维数n

小于向量个数m时一定线性相关。与线性相关性有关的结论:（1）部分相关整体相关。（2）m个2.最大无关组与向量组的秩定义１注：只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.2.最大无关组与向量组的秩定义１注：只含零向量的向量组没有与向量组的秩有关的结论3.等价向量组有相同的秩.与向量组的秩有关的结论3.等价向量组有相同的秩.1.线性方程组的三种表达方式若记（1）四、线性方程组1.线性方程组的三种表达方式若记（1）四、线性方程组则上述方程组（1）可写成矩阵方程如果将矩阵A的列向量组记为则方程组（1）还可表为向量方程则上述方程组（1）可写成矩阵方程如果将矩阵A的列向量组记为则2.线性方程组有解的判定条件2.线性方程组有解的判定条件齐次线性方程组解的性质3.线性方程组解的性质与结构齐次线性方程组解的性质3.线性方程组解的性质与结构基础解系的定义基础解系的定义齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组Ax=b的通解为其中齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；3.线性方程组的解法齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非例11

求解齐次线性方程组解例11求解齐次线性方程组解即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组由此即得由此即得例12

求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换例12求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行故方程组有解，且有故方程组有解，且有所以方程组的通解为所以方程组的通解为五、矩阵的特征值和特征向量五、矩阵的特征值和特征向量求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：特征值、特征向量性质（1）属于不同特征值的特征向量是线性无关。特征值、特征向量性质（1）属于不同特征值的特征向量是线性无关解例13

解例13线性代数相关知识培训教程课件六、矩阵相似与对角化1、相似矩阵与相似变换的概念六、矩阵相似与对角化1、相似矩阵与相似变换的概念2、相似矩阵的性质（1）相似关系是等价关系（4）相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值。2、相似矩阵的性质（1）相似关系是等价关系（4）相似矩阵有3、方阵的对角化如果方阵A与一对角阵相似,则称方阵A可对角化.3、方阵的对角化如果方阵A与一对角阵相似,则称方阵A可对角化4、实对称矩阵的性质(1)特征值为实数；

(2)属于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；

(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．4、实对称矩阵的性质(1)特征值为实数；六、二次型称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．例：例：六、二次型称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形解例解例线性代数相关知识培训教程课件为正定二次型为负定二次型正(负)定二次型的概念例如定义：对于不全为0的一组实数若二次型f恒为正（负）数，则称二次型为正（负）定的。二次型f为正定的充要条件是f的矩阵A的特征值都为正。为正定二次型为负定二次型正(负)定二次型的概念例如定义：对于1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你努力的不够多。

2、孤单一人的时间使自己变得优秀，给来的人一个惊喜，也给自己一个好的交代。

3、命运给你一个比别人低的起点是想告诉你，让你用你的一生去奋斗出一个绝地反击的故事，所以有什么理由不努力!

4、心中没有过分的贪求，自然苦就少。口里不说多余的话，自然祸就少。腹内的食物能减少，自然病就少。思绪中没有过分欲，自然忧就少。大悲是无泪的，同样大悟无言。缘来尽量要惜，缘尽就放。人生本来就空，对人家笑笑，对自己笑笑，笑着看天下，看日出日落，花谢花开，岂不自在，哪里来的尘埃!

5、心情就像衣服，脏了就拿去洗洗，晒晒，阳光自然就会蔓延开来。阳光那么好，何必自寻烦恼，过好每一个当下，一万个美丽的未来抵不过一个温暖的现在。

6、无论你正遭遇着什么，你都要从落魄中站起来重振旗鼓，要继续保持热忱，要继续保持微笑，就像从未受伤过一样。

7、生命的美丽，永远展现在她的进取之中;就像大树的美丽，是展现在它负势向上高耸入云的蓬勃生机中;像雄鹰的美丽，是展现在它搏风击雨如苍天之魂的翱翔中;像江河的美丽，是展现在它波涛汹涌一泻千里的奔流中。

8、有些事，不可避免地发生，阴晴圆缺皆有规律，我们只能坦然地接受;有些事，只要你愿意努力，矢志不渝地付出，就能慢慢改变它的轨迹。

9、与其埋怨世界，不如改变自己。管好自己的心，做好自己的事，比什么都强。人生无完美，曲折亦风景。别把失去看得过重，放弃是另一种拥有;不要经常艳羡他人，人做到了，心悟到了，相信属于你的风景就在下一个拐弯处。

10、有些事想开了，你就会明白，在世上，你就是你，你痛痛你自己，你累累你自己，就算有人同情你，那又怎样，最后收拾残局的还是要靠你自己。

11、人生的某些障碍，你是逃不掉的。与其费尽周折绕过去，不如勇敢地攀登，或许这会铸就你人生的高点。

12、有些压力总是得自己扛过去，说出来就成了充满负能量的抱怨。寻求安慰也无济于事，还徒增了别人的烦恼。

13、认识到我们的所见所闻都是假象，认识到此生都是虚幻，我们才能真正认识到佛法的真相。钱多了会压死你，你承受得了吗?带，带不走，放，放不下。时时刻刻发悲心，饶益众生为他人。

14、梦想总是跑在我的前面。努力追寻它们，为了那一瞬间的同步，这就是动人的生命奇迹。

15、懒惰不会让你一下子跌倒，但会在不知不觉中减少你的收获;勤奋也不会让你一夜成功，但会在不知不觉中积累你的成果。人生需要挑战，更需要坚持和勤奋!

16、人生在世：可以缺钱，但不能缺德;可以失言，但不能失信;可以倒下，但不能跪下;可以求名，但不能盗名;可以低落，但不能堕落;可以放松，但不能放纵;可以虚荣，但不能虚伪;可以平凡，但不能平庸;可以浪漫，但不能浪荡;可以生气，但不能生事。

17、人生没有笔直路，当你感到迷茫、失落时，找几部这种充满正能量的电影，坐下来静静欣赏，去发现生命中真正重要的东西。

18、在人生的舞台上，当有人愿意在台下陪你度过无数个没有未来的夜时，你就更想展现精彩绝伦的自己。但愿每个被努力支撑的灵魂能吸引更多的人同行。1、不是井里没有水，而是你挖的不够深。不是成功来得慢，而是你93线性代数一、行列式二、矩阵三、n维向量四、线性方程组五、矩阵的特征值和特征向量六、二次型线性代数一、行列式二、矩阵三、n维向量四、线性方程组五、矩1.行列式的定义一、行列式1.行列式的定义一、行列式N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和,每项为取自表中不同行不同列n个元素的乘积,符号由这n个元素列标排列的逆序数决定(行标按自然顺序排列),奇排列带负号,偶排列带正号.N阶行列式是一个数,该数是n!项的代数和,每项为取自表中不同2.行列式的性质2.行列式的性质线性代数相关知识培训教程课件利用行列式性质，将行列式化成上三角，再按上式计算利用行列式性质，将行列式化成上三角，再按上式计算余子式与代数余子式3.行列式按行（列）展开余子式与代数余子式3.行列式按行（列）展开线性代数相关知识培训教程课件例1例1线性代数相关知识培训教程课件4.克拉默法则4.克拉默法则定理定理定理定理二、矩阵1.矩阵的概念记作二、矩阵1.矩阵的概念记作简记为简记为几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).

称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,记作只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).

（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零注(5)单位阵：对角线上全为1的对角阵称为单位矩阵（或单位阵）.(5)单位阵：对角线上全为1的对角阵称为单位矩阵（或单位阵）(6)对称矩阵定义设为阶方阵，如果A的元素满足那末称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明(6)对称矩阵定义设为阶方阵，如果A的元2）两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.同型矩阵与矩阵相等1）两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.2）两个矩阵为同型矩阵,并1)加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为2.矩阵的运算1)加法设有两个矩阵线性代数相关知识培训教程课件2)数与矩阵相乘矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.2)数与矩阵相乘矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性并把此乘积记作3)矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.并把此乘积记作3)矩阵与矩阵相乘设例１注：（1）矩阵乘法不满足交换律(2)矩阵乘法不满足消去律,即例１注：（1）矩阵乘法不满足交换律(2)矩阵乘法不满足消（其中为数）;

若A是阶方阵，则为A的次幂，即并且（注：单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1）（其中为数）;若A是阶方定义

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例4）矩阵的转置转置矩阵的运算性质注：若A为对称阵，则定义把矩阵的行换成同序数的列得到的例4）矩5）方阵的行列式定义由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质5）方阵的行列式定义由阶方阵的元素伴随矩阵定义行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵伴随矩阵性质称为矩阵的伴随矩阵.6）逆矩阵伴随矩阵定义行列式的各个元素的代数余子式逆矩阵定义

对于阶方阵，如果有一个阶方阵

则说方阵是可逆的，并把方阵称为的逆矩阵.使得逆矩阵定义对于阶方阵，如果有一个阶方阵定理1

方阵可逆的充要条件是，且

二阶矩阵的逆矩阵用该公式求，三阶及以上矩阵的逆矩阵用初等变换求。定理1方阵可逆的充要条件是，且逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质线性代数相关知识培训教程课件解：解：矩阵方程解矩阵方程解线性代数相关知识培训教程课件定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:3.初等变换和初等矩阵定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:3.初等变换和初等矩定义2矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．逆变换逆变换逆变换定义2矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等方阵.初等矩阵注:初等矩阵都是可逆的,其逆矩阵仍为与原矩阵同类型的初等矩阵.定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵

定理设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.初等矩阵的作用定理设是一个矩阵，对施行一次初可逆阵与单位阵等价矩阵的等价可逆阵与单位阵等价矩阵的等价利用初等变换求逆阵的方法：

定理设A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵利用初等变换求逆阵的方法：定理设A为可4.矩阵的秩4.矩阵的秩如果矩阵A的秩等于该矩阵的行数(或列数),则称为满秩矩阵,可逆矩阵就是满秩矩阵.如果矩阵A的秩等于该矩阵的行数(或列数),则称为满秩矩阵,可例7：求矩阵的秩。解：但A中有2阶子式不为零，故例7：求矩阵的秩。解：但A中有2阶子式不为零，故例7解例7解求矩阵秩的方法：

把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例8解求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶线性代数相关知识培训教程课件线性代数相关知识培训教程课件线性代数相关知识培训教程课件由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是的一个最高阶非零子式.矩阵A与之对应的三阶子式则这个子式便是的一个最高阶非零子式.矩阵A与之对应与矩阵的秩有关的结论1.初等变换不改变矩阵的秩2.等价矩阵有相同的秩3.设则当B是可逆矩阵时,有4.设则与矩阵的秩有关的结论1.初等变换不改变矩阵的秩2.等价矩阵有线性代数相关知识培训教程课件三、n维向量

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．1.向量组的线性相关性三、n维向量若干个同维数的列向量（或同维数的一个向量由一个向量组线性表示一个向量由一个向量组线性表示解：考虑解：考虑定义2设有两个向量组（1）若向量组B中每个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。（2）若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。两个向量组等价定义2设有两个向量组（1）若向量组B中每个向量都能由向向量组的线性相关性则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．由定义3可得：1、任一向量组不是线性相关就是线性无关。2、含零向量的向量组一定线性相关。3、单个非零向量一定是线性无关。4、两个向量线性相关的充分必要条件是对应分量成比例。向量组的线性相关性则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关定理2定理2解例11解例11与线性相关性有关的结论:（1）部分相关整体相关。（2）m个n维向量，当维数n

小于向量个数m时一定线性相关。与线性相关性有关的结论:（1）部分相关整体相关。（2）m个2.最大无关组与向量组的秩定义１注：只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.2.最大无关组与向量组的秩定义１注：只含零向量的向量组没有与向量组的秩有关的结论3.等价向量组有相同的秩.与向量组的秩有关的结论3.等价向量组有相同的秩.1.线性方程组的三种表达方式若记（1）四、线性方程组1.线性方程组的三种表达方式若记（1）四、线性方程组则上述方程组（1）可写成矩阵方程如果将矩阵A的列向量组记为则方程组（1）还可表为向量方程则上述方程组（1）可写成矩阵方程如果将矩阵A的列向量组记为则2.线性方程组有解的判定条件2.线性方程组有解的判定条件齐次线性方程组解的性质3.线性方程组解的性质与结构齐次线性方程组解的性质3.线性方程组解的性质与结构基础解系的定义基础解系的定义齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质其中为对应齐次线性方程组的通解，为非齐次线性方程组的任意一个特解.非齐次线性方程组解的结构非齐次线性方程组Ax=b的通解为其中齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解；3.线性方程组的解法齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；非例11

求解齐次线性方程组解例11求解齐次线性方程组解即得与原方程组同解的方程组即得与原方程组同解的方程组由此即得由此即得例12

求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行初等变换例12求解非齐次方程组的通解解对增广矩阵B进行故方程组有解，且有故方程组有解，且有所以方程组的通解为所以方程组的通解为五、矩阵的特征值和特征向量五、矩阵的特征值和特征向量求矩阵特征值与特征向量的步骤：求矩阵特征值与特征向量的步骤：特征值、特征向量性质（1）属于不同特征值的特征向量是线性无关。特征值、特征向量性质（1）属于不同特征值的特征向量是线性无关解例13

解例13线性代数相关知识培训教程课件六、矩阵相似与对角化1、相似矩阵与相似变换的概念六、矩阵相似与对角化1、相似矩阵与相似变换的概念2、相似矩阵的性质（1）相似关系是等价关系（4）相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值。2、相似矩阵的性质（1）相似关系是等价关系（4）相似矩阵有3、方阵的对角化如果方阵A与一对角阵相似,则称方阵A可对角化.3、方阵的对角化如果方阵A与一对角阵相似,则称方阵A可对角化4、实对称矩阵的性质(1)特征值为实数；

(2)属于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；

(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．4、实对称矩阵的性质(1)特征值为实数；六、二次型称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．例：例：六、二次型称为二次型.只含有平方项的二次型称为二次型的标准形解例解例线性代数相关知识培训教程课件为正定二次型为负定二次型正(负)定二次型的概念例如定义：对于不全为0的一组实数若二次型f恒为正（负）数，则称二次型为正（负）定的。二次型f为正定的充要条件是f的矩阵A的特征值