中南大学材料力学答案

静不定结构一．概念题静不定结构与静定结构的区别是什么？答：静不定结构有多余约束，只用静力学平衡方程不能求出全部的约束力或内力。与静定结构相比，静不定结构有哪些特性答：静不定结构的强度、刚度、稳定性更好。静不定结构的某个约束失效，整个结构的平衡不会破坏。什么是力法的基本体系和基本未知量，为什么首先要计算基本未知量答：静不定结构中，解除多余约束后得到的静定结构称为原静不定结构的基本体系或称静定基。解除多余约束并以多余约束力代替，多余约束力又称原静不定结构的基本未知量。一般多余约束处的变形量已知。所以由该处的变形条件方程首先求出基本未知量。对称结构在对称力或反对称力的作用下，结构的内力各有何特点？答：对称结构在正对称力的作用下，沿结构对称轴切开，则两对称截面上的内力对称，反对称内力为0。对称内力为零。去除多余约束的方式有哪几种？二计算题1如图示ABC梁，已知力FP

,长度l,a，弯曲刚度EI。以固定端外力偶M

作为多余约束A力，分别用卡氏定理和单位力法求梁的约束力，作梁的弯矩图，求C点的挠度。解1）以固定端外力偶M

作为多余约束力，则静定基本结构如图示AB由平衡方程 m 0 FlBA

Fa0PM Fa得：F A A l2）用卡氏定理求梁的约束力

（向下）M FaAB段弯矩方程M1

M F xA A

M A

A P xl 1

， (0x1

l)1M 11x1M l 1ACB段弯矩方程 M2

F xP

(0x2

a)2M 02MAA端的变形条件 0AlMM aM M 用卡氏定理A

1EI0

1dx 1A 0

2 20EIMAll即：(M A0

M FA Pl

1x)(11 l

x)dx 01 1M lA

M l1M lA 2 A

1M lA

1FalP

1Fal0PF a得 M P

M

FP

3Fa PA 2 A l 2l用单位力法求梁的约束力在静定基本结构的A端加单位力偶M0

1。M 1由单位力产生的弯矩方程

m 0 B

lMA0

0 得F A0

0l lAB段M1

M F x0 A0

11 xl

(0x1

l)CB段 M2

0 0x2

a) a)d）A端的变形条件 0Ae)单位力法求变形的公式l l

M MMM1 1MM

2

a2dxa

0 式中M 0A 0

1 EI 2 20l M Fa 1即：(M A0

A P xl 1

)(1

x)dx 0l 1 1M lA

1M l2 A

1M lA

1M lA

1FalP

1Fal0PF a得 M P

M FA P

3Fa PA 2作梁的弯矩图

A l 2lAB 段弯矩方程

M M1

F xA

MM A

F aP xl 1

， (0

l)F P2

3F a 1P x2l 1CB段弯矩方程 M2

F xP

(0x2

a)梁的弯矩图如图所示5）用卡氏定理求C的挠度cylM M aM M cy EI0

1dx F 1 EIP 0

2dxF 2P式中M 1

FPa2

3FaP x2l 1

M1FP

a3ax2 2l 1

(0x1

l)M F x2 P 2

M2xF 2P

(0x2

a)Pl,E,I已知如图示已知二梁的抗弯刚度EI相同，拉杆CD的抗拉刚度EA，求CD解：设拉杆CB受力为N，AB梁在B点的桡度q(2a)y B 8EI

N(2a3 拉杆CB的伸长Na3EI EACD梁在C点的桡度y

Na3C 3EI

y

,

q(2a)4N(2a)3Na

3NaB C 8

3EI

3EI EA求得 N

2qa

2qAa3I3Aa3试求图示刚架的支座反力。

3Aa2I解根据结构对称外力对称故中面C处转角为零且F F FAy By 2

F F ，Ax Bx取相当系统如图示，变形条件为A处的水平位移为零，力法方程为 X 011 1 F12式中F12

1EI

[l2 2

2

Fl3]2EI 111

1[ 22

2l23

2l

l2

2l

20l3]3EIF得X F 121 Ax 11

3F 40E如图所示一UlQ与P系才能保证A和D之间无相对位移解：求得支座力：R R QB C 2由于结构和载荷对称，可取结构的一半进行研究，用卡氏定理求位移AB和BEMAB

Px1

M PlQxBC 2 2求偏导数

M M xxP 1 PA,D两点的相对位移为：llM M 2M

5Pl3

Ql3 2

ABdx

2

BCdx AD EI 0

1 EI 0

2 3

8EI又当

0时，有

5Pl

3Ql

0 得

Q40PAD

3

3EI 3如图所示一两端固定的梁，梁跨度一半上承受均布载荷q（一个支座可沿水平方向滑动，因此不存在轴向反力）解：1+多余约束力（

M ）By, B2静力学方程 R RA B

ql2RlM MB A B

ql28变形条件 yB梁的弯矩方程：

0,

0BAC段

q(lx)2R

(lx)M (0xl)1CB段M2

2 2M RB

B(lx)

B 2(lxl2分别在B处加单位力和单位力偶（顺）有：M0lx (0xl)M 1

(0xl)l20 l y M1M dx M220 l B EI EI0 l2

dx

ql384 EI

RBl3

MBl322EI32l 2l1 M MdxM22l1B EI EI0 l2

dx

ql348EI

RBl M l2B2EI EI2B7 由变形条件y B

0 代入上式得B128R

l192M

7ql2024R

l48MB

ql208 由7和2联立求得：R 13A 32

3R qlB 3211M ql2

5M ql2A 192 B 1927 如图所示桁架，已知力F及各杆的轴向刚度都为EA，长度为a解：1）桁架的支座反力是静定的，取整体为研究对象，求得支座反力1R F RC 3

2 F32)桁架内部为一次静不定，在杆1中间切开后，桁架成为静定基。3）1切口的变形条件，即切口的相对位移0，由单位载荷法 X 011 1 1P NiNili1P EAi NNl

32 EA22122 i i11 EAi

(44 )EA1X 11 11

32

5.828244 2F244 29.656

3 F5杆杆件编号1NiNliNNlNNliiiiiiiNPiNNXi i 1202F3F4F3023Fa4Fa3aa3a4a0.6F2 3( )3