机械动力学之振动的基本理论

返回总目录振动理论与应用第1章振动的基本理论TheoryofVibrationwithApplicationsTheoryofVibrationwithApplications

1引言

振动是一种运动形态，是指物体在平衡位置附近作往复运动。物理学知识的深化和扩展－物理学中研究质点的振动；工程力学研究系统的振动，以及工程构件和工程结构的振动。

振动属于动力学第二类问题－已知主动力求运动。返回首页TheoryofVibrationwithApplications振动理论与应用2

振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题相类似：选择合适的广义坐标；分析运动；分析受力；选择合适的动力学定理；建立运动微分方程；求解运动微分方程，利用初始条件确定积分常数。返回首页引言TheoryofVibrationwithApplications振动理论与应用3

振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广义坐标的原点。研究振动问题所用的动力学定理：矢量动力学基础中的－动量定理；动量矩定理；动能定理；达朗伯原理。分析动力学基础中的－拉格朗日方程。返回首页引言TheoryofVibrationwithApplications振动理论与应用4振动概述所考察的系统既有惯性又有弹性。运动微分方程中，既有等效质量，又有等效刚度。振动问题的共同特点返回首页TheoryofVibrationwithApplications振动理论与应用5

TheoryofVibrationwithApplications返回首页TheoreticalMechanics第1章振动的基本理论1.1振动系统1.2简谐振动1.3周期振动的谐波分析 1.4非周期函数的连续频谱目录6

返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.1振动系统第1章振动的基本理论7

返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.1振动系统振动系统一般可分为连续系统或离散系统。具有连续分布的质量与弹性的系统，称为连续弹性体系统。弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程。在一般情况下，要对连续系统进行简化，用适当的准则将分布参数“凝缩”成有限个离散的参数，这样便得到离散系统。所建立的振动方程是常微分方程。由于所具有的自由度数目上的区别，离散系统又称为多自由度系统。8按系统的自由度划分：振动问题的分类单自由度振动－一个自由度系统的振动。多自由度振动－两个或两个以上自由度系统的振动。

连续系统振动－连续弹性体的振动。这种系统具有无穷多个自由度。返回首页振动概述TheoryofVibrationwithApplications1.1振动系统9按系统特性或运动微分方程类型划分：振动问题的分类线性振动－系统的运动微分方程为线性方程的振动。非线性振动－系统的刚度呈非线性特性时，将得到非线性运动微分方程，这种系统的振动称为非线性振动。返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.1振动系统10返回回首首页页TheoryofVibrationwithApplications1.1振振动动系系统统线性性振振动动：：相相应应的的系系统统称称为为线线性性系系统统。。线性振动的的一个重要要特性是线线性叠加原原理成立。。非线性振动动：相应的的系统称为为非线性系系统。非线性振动动的叠加原原理不成立立。11按激励特性性划分：振动问题的的分类自由振动－没有外部部激励，或或者外部激激励除去后后，系统自自身的振动动。受迫振动－系统在作作为时间函函数的外部部激励下发发生的振动动，这种外外部激励不不受系统运运动的影响响。自激振动－系统由系系统本身运运动所诱发发和控制的的激励下发发生的振动动。参激振动－激励源为为系统本身身含随时间间变化的参参数，这种种激励所引引起的振动动。返回首页振动概述TheoryofVibrationwithApplications1.1振振动系统统12

返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐振动动第1章振振动的基基本理论13返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐振动动1.2.1简谐振动动的表示1.用正正弦函数表表示简谐振振动用时间t的正弦（或或余弦）函函数表示的的简谐振动动。其一般般表达式为为一次振动循循环所需的的时间T称为周期；；单位时间间内振动循循环的次数数f称为频率。。周期T的单位为为秒（s），频频率f的单位为为赫兹（（Hz）），圆频率的单位为弧度/秒（rad/s）。振幅圆频率初相位14返回首页页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐谐振动1.2.1简谐谐振动的的表示图描述了用正弦函数表示的简谐振动，它可看成是该图中左边半径为A的圆上一点作等角速度的运动时在x轴上的投影。如果视x为位移，，则简谐谐振动的的速度和和加速度度就是位位移表达达式关于于时间t的一阶和和二阶导导数，即即15返回首页页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐谐振动1.2.1简谐谐振动的的表示可见，若若位移为为简谐函函数，其其速度和和加速度度也是简简谐函数数，具有有相同的的频率。。在相位上，速度和加速度分别超前位移和。重要特征征:简谐振动动的加速速度大小小与位移移成正比比，但方方向总是是与位移移相反，，始终指指向平衡衡位置。。可得到加加速度与与位移有有如下关关系16返回首页页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐谐振动1.2.1简谐谐振动的的表示旋转矢量OM的模为振幅A，角速度为圆频率，任一瞬时OM在纵轴上的投影ON即为简谐振动表达式2.用旋转矢矢量表示示简谐振振动17返回首页页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐谐振动1.2.1简谐谐振动的的表示记,复数复数Z的实部和和虚部可可分别表表示为简谐振动动的位移移x与它的复复数表示示z的关系可可写为3.用复数表表示简谐谐振动18返回首页页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐谐振动1.2.1简谐谐振动的的表示由于用复数表表示的简简谐振动动的速度度加速度度为也可写成是一复数，，称为复振振幅。它包包含了振动动的振幅和和相角两个个信息。用用复指数形形式描述简简谐振动将将给运算带带来很多方方便。19返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐振动动1.2.2简谐振动动的合成1.两个同频率率振动的合合成有两个同频频率的简谐谐振动由于A1、A2的角速度相等，旋转时它们之间的夹角()保持不变，合矢量A也必然以相同的角速度作匀速转动20返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐振动动1.2.2简谐振动动的合成由矢量的投投影定理A=A1+A2即两个同频频率简谐振振动合成的的结果仍然然是简谐振振动，其角角频率与原原来简谐振振动的相同同，其振幅幅和初相角角用上式确确定。21返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐振动动1.2.2简谐振动动的合成2、两个不同同频率振动动的合成有两个不同同频率的简简谐振动有理数22返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐振动动1.2.2简谐振动动的合成当频率比为为有理数时时，合成为为周期振动动，但不是是简谐振动动，合成振振动的周期期是两个简简谐振动周周期的最小小公倍数。。合成的周期若与之比是无理数，则无这样一个周期。其合成振动是非周期的。若，对于，则有23返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐振动动1.2.2简谐振动动的合成令式中的正弦函数完成了几个循环后，余弦函数才能完成一个循环。这是一个频率为的变幅振动，振幅在2A与零之间缓慢地周期性变化。它的包络线线24返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.2简简谐振动动1.2.2简谐振动动的合成这种特殊的的振动现象象称为“拍拍”，或者者说“拍””是一个具具有慢变振振幅的振动动拍频

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返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.3周周期振动动的谐波分分析第1章振振动的基基本理论26返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.3周周期振动动的谐波分分析周期振动展成傅氏级级数一个周期T中的平均值n=1,2,3,……n=1,2,3,……基频27返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.3周周期振动动的谐波分分析一个周期振动可视为频率顺次为基频及整倍数的若干或无数简谐振动分量的合成振动过程。在振动力学学中将傅氏氏展开称为为谐波分析析周期函数的的幅值频谱谱图，相位位频谱图。。周期函数的的谱线是互互相分开的的，故称为为离散频谱谱。28返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.3周周期振动动的谐波分分析函数的频谱谱，说明了了组成该函函数的简谐谐成分，反反映了该周周期函数的的特性。这种分析振振动的方法法称为频谱谱分析。由于自变量量由时间改改变为频率率，所以频频谱分析实实际上是由由时间域转转入频率域域。这是将周期期振动展开开为傅里叶叶级数的另另一个物理理意义。29返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.3周周期振动动的谐波分分析周期振动的的谐波分析析以无穷级级数出现，，但一般可可以用有限限项近似表表示周期振振动。例1.1已已知一一周期性矩矩形波如图图所示，试试对其作谐谐波分析。。解∶矩形波波一个周期期内函数F(t)可表示为为表示F(t)的波形关关于t轴对称，故故其平均值值为零。30返回首页TheoryofVibrationwithApplications1.3周周期振动动的谐波分分析n=1，2，，3……于是，得F(t)的傅傅氏级数F(t)是奇函数数，在它的的傅氏级数数中也只含含正弦函数数项。在实实际的振动动计算中，，根据精度度要求，级级数均取有有限项。F(t)的