压杆稳定问题

关于压杆稳定问题第一页，共六十九页，2022年，8月28日压杆稳定性的概念第二页，共六十九页，2022年，8月28日压杆稳定性的概念现象粗短压杆塑性材料(Steel)脆性材料（Iron）压力增加压力增加强度问题第三页，共六十九页，2022年，8月28日压杆稳定性的概念强度满足情况下，变形不能过大刚度问题变形特点：连续性第四页，共六十九页，2022年，8月28日压杆稳定性的概念细长压杆PPPPP<PcrP>PcrPP内燃机挺杆油缸中活塞杆第五页，共六十九页，2022年，8月28日压杆稳定性的概念其它结构柱壳受轴压作用变形特点：突发性稳定性问题第六页，共六十九页，2022年，8月28日压杆稳定性的概念细长压杆弯曲原因

——这是由于在杆件的受压变形过程中，往往伴随着杆件的弯曲变形，因为实际压杆的轴线存在着初始曲率作用在杆件上的外力作用线一般也不与杆件的轴线恰好重合杆件的材料不可能达到理想的均匀性第七页，共六十九页，2022年，8月28日压杆稳定性的概念如果杆件的抗弯刚度比较大，并且，轴向压力在一定的范围内，杆件的变形可分别由杆件的压缩和弯曲变形叠加而得到——组合变形如果轴向压力逐渐增大，轴向压力对杆件弯曲变形的影响就不可忽略，并且，当轴向压力达到某一特定值时，杆件的变形极度增大，从而导致受压杆件丧失承载能力PwPcrPP第八页，共六十九页，2022年，8月28日压杆稳定性的概念PP现假想有一微小的横向力Q同时作用于直杆上，则在力P和Q作用下，直杆发生压缩和弯曲的耦合变形。受压杆件的理想力学模型

考虑受轴向压力P作用的一理想直杆，则其直线形态是一个平衡态。PPQ第九页，共六十九页，2022年，8月28日压杆稳定性的概念如果撤去横向力Q后，杆的弯曲变形消失，直杆恢复到其原来的直线平衡状态，则称直杆的直线平衡态是稳定的平衡态。撤去横向力Q后，杆的弯曲变形不能消失，杆的轴线不能保持为一条曲线，则称直杆的直线平衡态是不稳定的平衡态。杆的直线平衡态由稳定平衡转化为不稳定平衡时所受的轴向压力称为临界压力，简称为临界力。第十页，共六十九页，2022年，8月28日P小大稳定的不稳定的压杆稳定性的概念当P较小时，P当P较大时，PP撤去横向力Q稳定的PP撤去横向力Q不稳定的临界压力PcrPQPQ第十一页，共六十九页，2022年，8月28日压杆稳定性的概念压杆稳定性的工程实例第十二页，共六十九页，2022年，8月28日细长中心受压直杆临界力的欧拉公式第十三页，共六十九页，2022年，8月28日细长中心受压直杆临界力的欧拉公式压杆的线（性）弹性稳定性问题设细长中心受压直杆在临界力的作用下处于不稳定平衡的直线形态，如果此时材料仍处于理想的线弹性范围内，（即虎克定理成立），则称细长中心受压直杆的稳定性问题为线弹性稳定性问题线弹性稳定性问题是结构稳定性问题分析中最简单的一类，其中又以细长中心受压直杆的稳定性问题为最基本的下面以两端绞支的细长中心受压直杆为例，说明压杆临界压力的分析和计算方法第十四页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式如图所示，考虑两端绞支，长为l的等截面细长中心受压直杆，设直杆在临界压力Pcr的作用下发生失稳，产生微小弯曲。APcrBl设杆件失稳后轴线的挠度为v(x)，则任一横截面上的弯矩为这里，压力Pcr取为正值，位移v(x)以沿y轴正向为正。xxyvPcrM(x)m变形前后问题第十五页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式将弯曲M(x)代入梁弯曲的挠曲线微分方程，得令则梁挠曲线微分方程变为这是一个二阶线性齐次常微分方程APcrBlxxyvPcrM(x)m第十六页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式方程的通解为其中，A、B和k为待定常数利用边界条件得APcrBlxxyvPcrM(x)m第十七页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式利用边界条件得由此可得若则APcrBlxxyvPcrM(x)m第十八页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式意味着直杆保持直线平衡状态，不存在非直线的平衡态，即直杆未发生失稳，显然无意义若得由此求得APcrBlxxyvPcrM(x)m第十九页，共六十九页，2022年，8月28日dAPcrBl欧拉公式Pcrn中最小的值称为直杆的临界压力，记为Pcr。即此时，直杆的挠曲线为若杆中点处的挠度为d，利用条件得第二十页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式至此，得到结论对两端绞支的等截面细长中心受压直杆，其临界压力为此式称为欧拉公式临界压力Pcr下，直杆的失稳挠曲线为其形状为半个正弦波dAPcrBl第二十一页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式两端绞支的等截面细长中心受压直杆的失稳挠曲线为这表明在线性弹性稳定性理论的范畴内，受压直杆在临界压力处是一个随遇平衡状态。这里，d是一个未定的量，即只要d是一个小量，上式均成立。dAPcrBl第二十二页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式在实际中，这种随遇平衡状态是不存在的，前面的分析之所以得到这样的结论，其原因是我们采用了近似的线性弹性稳定性理论。更严格合理的分析需采用非线性弹性稳定性理论。梁弯曲挠曲线的精确微分方程这里，q

为挠曲线上一点的切线与x

轴的夹角。APcrBl第二十三页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式求解上述非线性微分方程，可得挠曲线中点挠度d与压力P之间的近似关系其图形为PdPcrAB可见，只有当PPcr时，压杆才可能存在轴线非直线的平衡态，即直杆发生失稳，并且，挠度d与压力P之间存在一对一关系，既不存在随意平衡的状态第二十四页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式中点挠度d与压力P的曲线在P=Pcr处的切线就是采用挠曲线近似微分方程得到的d—P曲线。可见，采用挠曲线近似微分方程得到的d—P曲线在压杆微弯的平衡形态下，呈现随遇平衡的假象。PdPcrABB'大挠度理论、小挠度理论、实际压杆第二十五页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式在两端绞支等截面细长中心受压直杆的临界压力公式中形心主惯矩I的选取准则为若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形绞），I

应取最小的形心主惯矩，得到直杆的实际临界力若杆端在不同方向的约束情况不同，I应取挠曲时横截面对其中性轴的惯性矩。即，此时要综合分析杆在各个方向发生失稳时的临界压力，得到直杆的实际临界力（最小值）。第二十六页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式思考题第二十七页，共六十九页，2022年，8月28日不同约束下压杆临界力的欧拉公式•压杆的长度系数第二十八页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数考虑下端固定、上端自由并在上端承受轴向压力作用的等截面细长杆，其几何尺寸见图，确定此压杆的临界压力解根据杆端的约束情况可知，杆在临界压力作用下的挠曲线形状如图所示。设此时压杆上端的挠度为D，挠曲线为w(x)。临界力引起杆的任一横截面上的弯矩为第二十九页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数将弯矩代入梁挠曲近似微分方程令则控制方程化简为方程的通解为A，B和k为待定常数，由边界条件确定。第三十页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数利用边界条件可得利用边界条件得表明压杆未发生失稳若解1由解2得第三十一页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数此时，D为任意小量。相应的轴向压力为其最小值为临界压力Pcr，即对应于临界压力的挠曲线为第三十二页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数一端固定、一端自由的压杆临界压力为Pcr两端绞支压杆临界压力为PcrPcr2l

称为一端固定、一端自由压杆的相当长度，即其临界压力等于长为2l的两端绞支压杆的临界压力长度系数的物理意义类比法：两端的弯距第三十三页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数通常，杆端的约束越强，杆的抗弯能力就越大，从而其临界压力也就越高。对于各种杆端约束情况，细长等截面中心受压直杆的临界压力公式（欧拉公式）可写成统一的形式：这里

ml——称为原压杆的相当长度

m——称为原压杆的长度系数第三十四页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数几种典型支承约束条件下直杆的欧拉公式第三十五页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数例考虑如图所示一端固定、另一端铰支，长为l的等截面细长中心受压直杆，试确定其临界压力Pcr。APcrBl解根据压杆的约束情况，压杆失稳后，在铰支端处不仅存在轴向压力Pcr，而且存在横向剪力Q的作用。QPcrQMB设杆件失稳后轴线的挠度为v(x)，则任一横截面上的弯矩为mmxM(x)yx第三十六页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数代入挠曲线的近似微分方程，得令则控制微分方程化简为此方程的通解为APcrBlQPcrQMBmmxM(x)yx第三十七页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数利用边界条件得从而，有挠曲线表达式利用边界条件APcrBlQPcrQMBmmxM(x)yx第三十八页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数得由于，压杆失稳时，有从而必须有其最小非零解为即（超越方程）APcrBlQPcrQMBmmxM(x)yx第三十九页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数从而可得压杆的临界压力此时，压杆的挠曲线程为APcrBlQPcrQMBmmxM(x)yx第四十页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数为确定挠曲线的拐点，令即APcrBlyxx1由此可得到在的解长度系数为m=1-0.3=0.7第四十一页，共六十九页，2022年，8月28日Pcr长度系数例考虑如图所示两端固定、但上端可有自由水平位移的等截面细长中心受压直杆，试确定其临界压力Pcr。解根据压杆的约束情况，压杆失稳后，在上端处不仅存在轴向压力Pcr，而且存在弯矩MB的作用。ABPcrlPcrMAMB设杆件失稳后轴线的挠度为v(x)，则任一横截面上的弯矩为mmxM(x)yx第四十二页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数代入挠曲线的近似微分方程，得令则控制微分方程化简为此方程的通解为ABPcrlPcrMAMBmmxM(x)yx第四十三页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数利用边界条件得从而，有挠曲线表达式利用边界条件ABPcrlPcrMAMBmmxM(x)yxd第四十四页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数得由于，压杆失稳时，有从而必须有其最小非零解为ABPcrlPcrMAMBmmxM(x)yxd第四十五页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数从而可得压杆的临界压力此时，压杆的挠曲线方程为代入得ABPcrlPcrMAMBmmxM(x)yxd第四十六页，共六十九页，2022年，8月28日长度系数为确定挠曲线的拐点，令ABPcrl即x1此点处的挠度为长度系数为m=2x1/l=1.0PcrlPcr第四十七页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式的应用范围第四十八页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式的应用范围临界应力与柔度当杆件承受临界压力Pcr作用而仍处在直线平衡状态下维持不稳定平衡时，横截面上的压应力yxzPo由于从而scr称为临界应力第四十九页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式的应用范围记压杆横截面对中性轴的惯性半径为于是无量纲量

称为压杆的长细比或柔度，一般记为第五十页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式的应用范围于是，临界应力可表示为柔度物理意义：1.综合反映长度l

、支持方式m

、截面几何性质i对临界应力影响。2.压杆的长细比越大，临界压力越小，因此，压杆越容易失稳。第五十一页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式的应用范围上述公式给出了临界压力和细长比的关系，它在scr—l平面内是一条双曲线，通常称为欧拉临界应力曲线。scrl第五十二页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式的应用范围适用范围即只有当llp时，才能应用欧拉公式计算压杆的临界压力。scrllpsp称满足llp的压杆为大柔度压杆

小变形和Hooke定律第五十三页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式的应用范围临界应力的经验公式scr≤

s

p压杆

llp大柔度杆Euler公式

linearelasticstabilitysespss

s

p<scr≤

s

s,此时，材料的应力应变关系不呈现线性关系，而是非线性关系。第五十四页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式的应用范围直线公式（非细长杆）适用材料:合金钢\铝合金\铸铁\松木sespssscr=a-bls

p<scr≤

s

s压杆

l0

≤

l<lp中柔度杆直线公式

inelasticstabilityscr>

s

s压杆

l<lo小柔度杆

strengthproblem第五十五页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式的应用范围抛物线公式（非细长杆）适用材料:结构钢/低合金钢sespss适用范围：强度问题和稳定性问题scr=a1-b1l20

≤

l<lp由于结构钢存在残余应力第五十六页，共六十九页，2022年，8月28日欧拉公式的应用范围注意到λ=0，σcr=σs,λ=λp,σcr=σp=σs/2scrlpspss临界压力总图l0小中大lscrllpspQ235钢临界压力总图小中大第五十七页，共六十九页，2022年，8月28日压杆的稳定性计算第五十八页，共六十九页，2022年，8月28日压杆的稳定性计算这些因素导致压杆临界压力的降低。中心受压直杆的数学模型，并不能反映实际压杆受压后的变形情况，因为实际压杆的轴线不可能是理想的直线外压力的作用线通常也不恰好与直杆的轴线重合由于加工中的扎制、切割、焊接等原因，压杆中存在着残余应力，压杆材料呈现一定的非均匀性第五十九页，共六十九页，2022年，8月28日压杆的稳定性计算如果严格考虑这些因素来设计压杆的承载能力，得到符合实际情况的极限应力，必须借助电子计算机进行复杂的计算和分析，然而，即便采用这种做法，也不可能包含实际中的所有情况。为此，引入稳定性条件轴向压力稳定安全系数稳定许用压力第六十页，共六十九页，2022年，8月28日压杆的稳定性计算注1：先计算柔度λ，再计算Fcr。注2：nst说明高于强度安全系数突发性带来很大破坏(不同平衡态跳跃)

敏感性（几何，材料，加载缺陷）整体性第六十一页，共六十九页，2022年，8月28日压杆的稳定性计算稳定分析，以毛面积进行计算强度分析，以净面积进行计算注3：工程算法-折减系数法材料的许用