（泰安专版）2019版中考数学 第一部分 基础知识过关 第四章 图形的初步认识与三角形 第15讲 全等三角形与尺规作图精练

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGEPAGE10学必求其心得，业必贵于专精第15讲全等三角形与尺规作图A组基础题组一、选择题1.用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如下，则说明∠CAD=∠BAD的依据是（）A.SSS B。SASC.ASA D。AAS2.(2018河北)尺规作图要求:Ⅰ。过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ。作线段的垂直平分线；Ⅲ。过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ。作角的平分线.下图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：则正确的配对是()A.①-Ⅳ，②—Ⅱ，③—Ⅰ，④—ⅢB.①—Ⅳ,②—Ⅲ,③—Ⅱ,④-ⅠC。①—Ⅱ，②-Ⅳ，③—Ⅲ,④—ⅠD。①—Ⅳ,②—Ⅰ，③-Ⅱ，④—Ⅲ3。(2016浙江丽水)用直尺和圆规作Rt△ABC斜边AB上的高线CD,以下四个作图中，作法错误的是()4。在△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为(）A。 B。4 C.2 D.55.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°,边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，CD=3，则BC的长为(）A.6 B。6 C.9 D。36。如图,AD是△ABC的角平分线,DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论:①OA=OD;②AD⊥EF;③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;④AE+DF=AF+DE。其中正确的是(）A.②③ B.②④ C.①③④ D.②③④7.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形,其中AD=CD,AB=CB，某同学在探究筝形的性质时,得到如下结论:①AC⊥BD;②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD。其中正确的结论有()A。0个 B。1个 C。2个 D.3个二、填空题8。(2018德州）如图，OC为∠AOB的平分线。CM⊥OB,OC=5,OM=4.则点C到射线OA的距离为.

9.如图，AB=12m，CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,且AC=4m,P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发,运动

分钟后△CAP与△PQB全等。10.(2017江苏淮安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,点D、E分别是AB，AC的中点,点F是AD的中点.若AB=8,则EF=。

三、解答题11.（2018河北，23，9分)如图，∠A=∠B=50°，P为AB中点,点M为射线AC上（不与点A重合）的任意一点,连接MP，并使MP的延长线交射线BD于点N，设∠BPN=α.（1）求证：△APM≌△BPN;（2)当MN=2BN时，求α的度数;(3)若△BPN的外心在该三角形的内部,直接写出α的取值范围。12.（2018泰安)如图，△ABC中,D是AB上一点,DE⊥AC于点E,F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H,若FG=AF,AG平分∠CAB，连接GE，GD.(1)求证：△ECG≌△GHD;(2）小亮同学经过探究发现:AD=AC+EC.请你帮助小亮同学证明这一结论；（3)若∠B=30°，判定四边形AEGF是不是菱形,并说明理由.B组提升题组一、选择题1。（2018南京）如图,AB⊥CD,且AB=CD,E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD.若CE=a，BF=b,EF=c，则AD的长为（)A.a+c B。b+c C。a—b+c D.a+b-c2.数学活动课上,四位同学围绕作图问题“如图,已知直线l和直线l外一点P,用直尺和圆规作直线PQ,使PQ⊥l于点Q”.分别作出了下列四个图形.其中作法错误的是(）3.如图,G,E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点,且AG=CE,AE⊥EF,AE=EF,现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH。其中，正确的结论有(）A.1个 B.2个 C。3个 D。4个二、填空题4。如图,Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BD平分∠ABC且与AC边交于点D，AD=2,则点D到边BC的距离是。

5.如图,△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB,垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB.

6.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点，CE=5,F为DE的中点。若△CEF的周长为18，则OF的长为。

三、解答题7。如图,△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°，四边形BCDE是平行四边形，E为AC中点，BD平分∠ABC，点F在AB上，且BF=BC。求证:（1）DF=AE;(2)DF⊥AC.第15讲全等三角形与尺规作图A组基础题组一、选择题 1.A从角平分线的作法可得,△AFD与△AED的三边全部相等,则△AFD≌△AED.故选A。2.D根据尺规作图的方法可知正确的配对是①—Ⅳ,②—Ⅰ,③—Ⅱ,④—Ⅲ。故选D。3。DA.根据作图的方法可知,CD是Rt△ABC斜边AB上的高线,不符合题意。B.根据“直径所对的圆周角是直角”知CD是Rt△ABC斜边AB上的高线，不符合题意.C.根据相交圆的公共弦的性质可知CD是斜边AB上的高线,不符合题意。D。无法证明CD是Rt△ABC斜边上的高线,符合题意.故选D。4。B∵∠ABC=45°,AD⊥BC，∴在等腰直角三角形ABD中,AD=BD,又∵∠ADB=∠ADC=90°，∠BHD+∠DBH=90°=∠EBC+∠C,∴∠BHD=∠C,∴△BHD≌△ACD，∴BH=AC=4。5.C由垂直平分线的性质定理得BD=AD，∴∠B=∠BAD=30°，∴AD平分∠BAC。∴在Rt△ADC中，AD=2CD=6，即BD=6。∴BC=BD+CD=9.6。D如果OA=OD,则结合已知条件易证得四边形AEDF是矩形,则∠BAC=90°,但由题中条件得不到∠BAC=90°,所以①不正确.首先根据全等三角形的判定方法，判断出△AED≌△AFD,则AE=AF,DE=DF.然后根据全等三角形的判定方法，判断出△AEO≌△AFO,则∠AOE=∠AOF=90°,即AD⊥EF,所以②正确.如果∠BAC=90°,则四边形AEDF的四个角都是直角,四边形AEDF是矩形,结合DE=DF,判断出四边形AEDF是正方形,故③正确。根据△AED≌△AFD,得到AE=AF,DE=DF,进而得到AE+DF=AF+DE，故④正确。故选D.7.D在△ABD与△CBD中,∴△ABD≌△CBD（SSS）,故③正确.∴∠ADB=∠CDB，在△AOD与△COD中，∴△AOD≌△COD（SAS),∴∠AOD=∠COD=90°,AO=OC=AC，∴AC⊥BD,故①②正确.故选D。二、填空题8.答案3解析过C作CF⊥AO.∵OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,∴CM=CF.∵OC=5,OM=4，∴CM=3，∴CF=3。故答案为3.9。答案4解析∵CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，∴∠A=∠B=90°，设运动x分钟后△CAP与△PQB全等，则BP=xm，BQ=2xm，AP=（12—x)m,分两种情况:①若BP=AC,则x=4,此时AP=12—4=8m，BQ=8m，∴AP=BQ,∴△CAP≌△PBQ(SAS）;②若BP=AP,则12—x=x,解得x=6,此时BQ=12m,BQ≠AC，∴△CAP与△PQB不全等.综上所述:运动4分钟后△CAP与△PQB全等。10.答案2解析∵D为AB的中点，AB=8，∴在Rt△ABC中,CD=4,又∵E、F分别为AC,AD的中点,∴根据三角形中位线定理,得EF=2.三、解答题11.解析（1)证明：∵P为AB中点，∴PA=PB。又∵∠A=∠B，∠MPA=∠NPB,∴△APM≌△BPN.(2)由（1）得PM=PN，∴MN=2PN,又∵MN=2BN,∴PN=BN，∴α=∠B=50°。(3)40°<α<90°.∵△BPN的外心在该三角形的内部,∴△BPN是锐角三角形，∴∠BPN和∠BNP都为锐角,又∵∠B=50°，∴40°〈∠BPN<90°,即40°<α〈90°。12。解析（1)证明:∵AF=FG,∴∠FAG=∠FGA,∵AG平分∠CAB，∴∠CAG=∠FAG，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG.又∵DE⊥AC,∴FG⊥DE，又∵FG⊥BC,∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°,∠CGE=∠GED，∵F是AD的中点,FG∥AE,∴H是ED的中点，∴FG是线段ED的垂直平分线,∴GE=GD，∴∠GDE=∠GED,∴∠CGE=∠GDE,∴△ECG≌△GHD。（2)证明:过点G作GP⊥AB于点P,∴GC=GP，∴△CAG≌△PAG，∴AC=AP。由（1)得EG=DG,∴Rt△ECG≌Rt△GPD，∴EC=PD,∴AD=AP+PD=AC+EC.(3）四边形AEGF是菱形,理由如下：∵∠B=30°，∴∠ADE=30°,∴AE=AD,∴AE=AF=FG。由(1）得AE∥FG,∴四边形AEGF是菱形。B组提升题组一、选择题1.D2.A根据垂线的作法,选项A错误.故选A.3.B∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC,∵AG=CE,∴BG=BE,由勾股定理得:BE=GE，∴①错误;∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°,∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°,∵AE⊥EF,∴∠AEF=90°,∵∠BEG=45°,∴∠AEG+∠FEC=45°,∴∠GAE=∠FEC,在△GAE和△CEF中，∴△GAE≌△CEF，∴②正确;∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°—90°=45°,∴③正确;∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°,∴∠FEC〈45°,∴△GBE和△ECH不相似,∴④错误.故选B.二、填空题4.答案2解析过D作DE⊥BC于E。∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴DE=AD=2。故点D到边BC的距离为2。5.答案AH=CB（或EH=EB或AE=CE）解析∵AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D、E,∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=90°,∴∠B+∠BCE=90°，∠B+∠BAD=90°，∴∠BCE=∠BAD,∴AH=CB或EH=EB或AE=CE，可证△AEH≌△CEB。6。答案解析∵四边形ABCD是正方形，∴BO=DO,BC=CD,∠BCD=90°。在Rt△DCE中,∵F为DE的中点，∴CF=DE=EF=DF.∵△CEF的周长为18,∴CE+CF+EF=18。又∵CE=5,∴CF+EF=18-5=13，∴DE=DF+EF=13,∴DC==12,∴BC=12，∴BE=12-5=7.在△BDE中,∵BO=DO,F为DE的中点，∴OF为△BDE的中位线，∴OF=BE=.三、解答题7.证明(1）延长DE交AB于点G，连接AD。∵四边形BCDE是平行四边形，∴ED∥BC，ED=BC。∵点E是A