初中数学思想方法的体现

初中数学思想方法的体现数学教育学理论认为，在正常的数学课堂教学和课外活动中，对学生系统地进行数学思想方法的渗透与滋养，有利于学生深刻地理解数学的本质与精髓。因此，在课堂教学中,系统地引导学生认识数学的思想与方法，是中学数学教育的一项重要任务。本文拟对现行初中几何教材中体现的主要数学思想方法进行扼要的分析，以便更好地引导学生认识和掌握。一、集合、对应思想集合和对应是现代数学中的两个极为重要的思想方法，借助于集合与对应思想，数学的研究就显得较为简洁和方便，许多数学概念和理论的阐述就显得更加透彻和深刻。比如，以下问题中就充分体现了集合、对应的思想方法：①所有的三角形组成三角形集合；根据三角形的边的特征，可以将三角形这个集合分为：等腰三角形与不等边三角形两个真子集；或根据三角形的角的大小，将三角形分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形：②所有的四边形，组成四边形集合按其边、角的特征，又可以将其划分为两组对边均不平行的四边形集合、只有一组对边平行的四边形（梯形）集合、两组对边分别平行的四边形（平行四边形）集合……长期训练，自然有利于学生形成现代数学的意识二、分解组合一一分类讨论思想当面临的数学问题不能以统一的形式解决时，常把已知条件涉及的范围分解成若干个子集，在各个子集中分别研究问题局部的解，然后通过组合各局部的解而得原问题的解，这种思想称为分解组合思想，而相应的解题方法常称为分类讨论的方法。在初中几何教材中，以下各类问题，最充分而典型地体现着分类讨论的思想方法：①把两个三角形的形状、大小关系揭示得较为清楚的方法，是把两个三角形分为相似与不相似两大类:②为了充分揭示两个图形间的形状、大小、位置关系，可用图形间是否有轴对称（或中心对称）的关系来描述。所有这些，充分体现了分类讨论的思想方法，有利于学生认识物质世界事物之间的联系与区别。三、运动、变化思想唯物辩证法认为，物质世界永远处于运动、变化、发展的状态。在初中几何教学中，借助于图形的分解、组合、放大、缩小、旋转、平移、翻折等形式，向学生渗透运动、变化、发展、联系、转化等哲学观点，十分具体而方便。如:①课本上的附图，看上去是静止的，但教学过程中，借教具分解、组合、画由图形的过程是运动的：②研究等腰三角形的性质时，添加辅助线，是十分典型的运动、变化、转化的过程;③借助于折叠、测量、检验等手段，认识、掌握两个图形是否具有轴对称的特性，这个过程是运动、变化的；④引导学生，用位似变换的方法，将一个已知图形放大（或缩小）若干倍,这个过程更是自然地运动、变化的。所有这些，都在向学生充分展示着“运动”、“变化”、“矛盾转化”等哲学思想。四、方程、函数思想方程思想是解决常量数学问题的重要思想，是促使未知向已知转化的重要思维策略。函数思想、变量思想，是运动、变化、发展、矛盾转化等哲学思想在数学中的综合体现，是处理变量数学问题的基本思想。由于函数思想充分体现了集合、对应、映射等基本的数学思想，因而就使中学数学能接近数学学科的现代水平，使学生进而获得基本的、深刻的、有用的高等数学思想方法。在初中几何教材中，体现方程思想和函数思想的知识很

多。例如：①当已知直角三角形莫两边的大小而求第三边时，学生自然先想到借方程的思想方法，用勾股定理去解决问题；②给定△ABC依次连结其各边中点将到（记为）△1,依次连结△1各边中点，得到△2,依次连结42的各边中点得到43,--依次连结^n-1各边中点得到△n,…显然，当变化时，^n的边长、周长、面积均在相应地变化；且决定△n的边长、周长、面积大小的量中，n居主要地位，而△ABC的相应的量，却居次要地位；借此实例，不仅可以向学生渗透运动、变化、联系等观念，还可以十分方便地引导学生了解主要矛盾与次要矛盾、矛盾的主要方面与次要方面等思想观念。根据辩证唯物论原理，可见，这里建立常量与变量或变量与变量之间的关系式（方程或函数式，是排除现象干扰，抓住事物本质特征的极好训练方式。五、转化一一化归思想化归，是转化、归结的意思。通常彳艮多复杂的问题，总可以借助于若干知识、技能、方法、思想、观念、策略，逐步转化为一些很简单的问题而获得解决。化归，是数学学习和科学研究中的基本方法；系统地学习、掌握并运用化归的方法，对于拓宽解题思路、提高学习效率、培养学习能力是十分重要的。现行初中几何教材中，体现化归思想的知识很多。如：证明两线段相等的问题，可化归为证明：①有两个三角形全等：②有平行线、平行四边形、等腰三角形（或梯形）;③同时等于第三条线段；④两个图形轴对称（或中心对称）…等形式的问题而获得解决。诸如此类问题的解决，可以有效地引导学生认识转化的思想，形成化归的习惯与能力，从而提高分析问题和解决问题的能力。六、数形结合思想数形结合思想，是研究变量数学的最基本工具，从辩证法意义上讲，没有数形结合，仅是孤立地研究物质世界的数量关系或空间形式，十分狭隘和肤浅，不仅遏制着数学的发展，而且人类对物质世界客观规律的认识也永远只能处于片面的、孤立的和浅表的状态。数形结合思想，把问题的数量关系转化为图形的性质，或将图形的性质转化为数量关系，是数学活动中的一种十分重要的思维策略。数与形的结合，不仅使几何问题获得了有力的代数工具，同时也使许多数学课题具有了明显的直观性，从而开拓了新的研究方向。比如：①勾股定理，是体现数形结合思想的杰生典型；借助于图形中的面积关系，表达三边长之间的大小关系，极利于学生直观地理解勾股定理的深刻内涵；而借助于简洁的代数表达，可以十分简捷地揭示直角三角形三边之间的本质联系：②三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等若干图形的周长与面积，均可以简洁地用一个简明的公式表示由来……从数学审美的意义上去讲，正是充分运用了数形结合的思想方法，数学的简洁美、和谐美、对称美等美学特征才得到了充分的体现。纵观现行初中几何教材，涉及的数学思想方法永远不止前文所述。如数学模型化思想方法的滋养，极利于学生将书本上的数学原理迁移到生产、生活实践中，引导学生加深对数学与实践关系的认识；整体思想的渗透与熏陶，有利于学生学会全面分析问题；形式化、符号化的