专业题材2极值点偏移问答利器极值点偏移判定定理-玩转压轴题,突破140分之高三数学解答题高端精品解析版

专题。2：极值点偏移问题利器——极值点偏移判定定理一、极值点偏移的判定定理对于可导函数yf(x),在区间(a,b)上只有一个极大.(小)值点x0,方程f(x)0的解分别为x1,x2,且ax1x2b,(1)若f(xi)f(2x°x2),则色」()x。，即函数yf(x)在区间(xi，x2)上极(小)大值点2xo右(左)偏；(2)若f(xi)f(2xox?),则当一生()x0,即函数yf(x)在区间(x1,x2)上极(小)大值点2xo右(左)偏.证明：(1)因为对于可导函数yf(x),在区间(a,b)上只有一个极大(小)值点x0,则函数f(x)的单调递增(减)区间为(a,xo),单调递减(增)区间为2x0单调递增(减)区间为(a,xo),单调递减(增)区间为2x0x2x0,又f(xi)f(2xox2),故xi()2xo点x0右(左)偏；(2)证明略.1X~\L/「、7左「快右慢(极值点左偏m卫力)左慢右快2［一一:―:——/—\.一i―尸』——/"住|十吟(x0,b),由于axix2b,有xx0,且x2,所以江3()x0,即函数极(小)大值2Jrtr'I』1\1(极值点右偏m2―x2)2—f_J1Xl//V}左快右慢(极值点左偏m①a2)左慢右快(极值点右偏m风)2)22二、运用判定定理判定极值点偏移的方法1、方法概述：(1)求出函数f(x)的极值点x0；(2)构造一元差函数F(x)f(x0x)f(x0x)；(3)确「定函数F(x)的单调性；(4)结合F(0)0,判断F(x)的符号，从而确定f(x0x)、f(x0x)的大小关系.口诀：极值偏离对称轴.，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随^2、抽化模型答题模板：若已知函数f(x)满足f(x1)f(x2),x0为函数f(x)的极值点，求证：x1x22x0.(1)讨论函数f(x)的单调性并求出f(x)的极值点x0;假设此处f(x)在(，x0)上单调递减，在(x0,)上单调递增(2)构造F(x)f(x0x)f(x0x)；注：此处根据题意需要还可以构造成F(x)f(x)f(2x0x)的形式.(3)通过求导F'(x)讨论F(x)的单调性，判断出F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x0x)与f(x0x)的大小关系；假设此处F(x)在(0,)上单调递增，那么我们便可得出F(x)F(x0)f(x0)f(x0)0,从而得到：xx0时，f(x°x)f(x0x).(4)不妨设xix°x2,通过f(x)的单调性，f(xi)f(x2),f(%x)与f(x°x)的大小关系得出结论；接上述情况，由于xx0时，f(x0x)f(x0x)且x1x0x2,f(x1)f(x2)，故f(xi)f(x2)f[x0(x2x。)]f[x0(x2x。)]f(2x0x2),又因为xix0,2x0x2x0且f(x)在(，x0)上单调递减，从而得到xi2x0x2,从而xix22x0得证.(5)若一要证明f'(=x2)0,还需进一步讨论匚”与x0的大小，得出汉―0所在的单调区间，从

222而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证^此处只需继续证明：因为x1x22x0,故~x―x2x0,由于f(x)在(，x0)上单调递减，故2f'(x_^2)0.2【说明】(1)此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；(2)此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求f(x)的单调性、极值点，证明f(x0x)与f(x0x)(或f(x)与f(2x0x))的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如xix22x0或f'(x~~竺)0的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题2三、对点详析，利器显锋芒★已知函数f(x)xex(xR).(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若xix2,且f(x1)f(x2),证明：x〔x22.1解析】容易求得第(1)问：/住)在(YOD上单调递婚，在Q.+刈上单调递遍，」(8的极值是了。＞二、sU)o|:花造田豺产mv…则尸。0二计/--矿心幻］,当工＞0时.产⑴在(&招0上单调递增，又尸(0)=0,百《工”0,即-月.；修X的，不妨设为《画,由11:知期无＞1,"⑷寸5):加+6—叨＞f口―G—1)]="2—巧).•'x21,..2x21,f(x)在(，1)上单调递增，，x12x2,x1x22.

TOC\o"1-5"\h\z,一，4431一—★函数f(x)x-x与直线ya(a—)交于A(x1，a)、B(x2,a)两点.33证明：x1x22.t解析】设/〈三，因数/(刈=/一的单调递展区间为(Y0[),单调递增区间为(1.W)，有4)1,3谩F(x)=fQ+Q-fQ-©，FW=8(3?-2^+l)＞0,故产⑴单调递熠区间为"工十乃，又广(。)=0,所以当上＞0时，F(力＞F{0〕=0,即工+0时Jf区)=75)+2-巧)-又再＜1,2-丐Ml,又函数=/一单调递遍区间为(一工D,所以修v2-三.即百+巧u2.2一一★已知函数f(x)—lnx,右x〔x2,且f(x1)f(xz),证明：xix24.x2【解析】由函数f(x)一Inx单倜性可知：若f(x1)f(x2),则必有xi2x2。x所以4x12,所以4x12,而f(x1)f(4x1)-Inx1x124x1ln(4x1)，人22令h(x)人22令h(x)-lnxln(4x),则x4xh,(x)22x2(4x)2_2_2222(4x)2xx(4x)x(4x)

x2(4x)2__28(x2)

x2(4x)2所以函数h(x)所以函数h(x)在(0,2)为减函数，所以h(x)h(2)0,所以f(x所以f(x1)f(4x1)0即f(x1)★已知函数fxx2exaxf(4x),所以f(x2)f(4xz),所以x1x24.21有两个零点.设x1，x2是fx的两个零点，证明：x〔x22.

【解析】不妨设石由题意知=7(%)=0.要证不等式成立，只需证当范《1父无时，婷不等式成立即可一令F⑺=〃1—工)-〃1+*则F区=十1_产1当丁>0时1F[x)<o.：.F(x)<^(0)=oaf(lr-jr)</(l+x).令犬=1—巧/贝(与)=/(石)=，(1—(1—巧))式/(1+。一书>)=/(2—巧)：即广(出)</(2-/).而天」-%e(Lh),且『00在U+r)上递增，Six<2一月,艮口玉+毛u工四、招式演练xa2一★已知函数gxe—x,其中aR,e2.71828L为自然对数的底数，fx是gx的导函数.2(I)求fx的极值；(n)若a1,证明：当x1x2,且fx1fx2时，x1x20.【答案J(1)当a0时，fx无极值；当a0时，fx有极小值fInaaalna;(2)详见解析.求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可;【解析】(I)求出函数的导数，解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可;(n)求出函数f(x)的导数，设函数F(x)=f(x)-f((n)求出函数f(x)的导数，设函数明即可.试题解析:x(I)fxgxeax的定乂域为当a0时，fx0在x时成立，fx在上单调递增，fx当a0时，fx0在x时成立，fx在上单调递增，fx无极值.当a0时，exa0解得xIna,由fx0得xIna；由fx0得xIna,所以fx在,lna上单调递减，在Ina上单调递增，-故fx有极小值fInaaaIna（n）当a1时，fxexx的定义域为,,fxex1,由fxex10,解得x0.当x变化时，fx,fx变化情况如「下表:x,000,fx0+fx单调递减极小值单调递增Xx2，且fx1fx2，则x10x2（不妨设xx2）设图数F（x）=r]=/-x-l，工+"一\r-2x（x＜0|,*'&e;当K＜。时，。＜/VL二£工十二》2,，当工（0时，F（外＞0一，函数尸3在（70二0）上单调递增；.F（x）＜A（0）=0;即当工vO时,cO，，/（$）《/（一不）.又〃再）=〃々）1毛"〃-巧）二/（工）在电收）上单调递塔，0。血，且0。一不，巧《一巧一,二巧+巧＜0★已知函数fxlnxax2,其中aR（1）若函数fx有两个零点，求a的取值范围；⑵若函数fx有极大值为—,且方程fxm的两根为x1,x2，且x1x2,证明：x1x24a.21【答案】（1）0a一；（2）见掰析.2e【解析】试题分析：（1）先求/'（工）|利用导数研究函数的单调性J只需令〃工）的极大值为.研究函数’（8］二加［偿］-;>°即可得结果‘结合（3由〃”的极大值求得口二.研究函数产（工）=/（力-〃2-制的单调性，可得“（2-丐）下从而可得结论通解析；（D/f（x）=--2^=^^（x>0）XX（1）当（1）当a0时，fx0函数fx在0,上单调递增，不可能有两个零点因为fealneaae2aaae2a0,所以fx在ea,J」-必存在一个零点;,2a个零