(完整版)实变函数期末复习

实变函数期末复习选择题设A设A=[—,2+(—1)n],n=12…则nnA.limA=[0,1]nnsC.limA=(0,3]nns3g设A={x:i<x<i+},ieN，则Ii2i=1A.(-1,1)B.[0,1]集合E的全体聚点所组成的集合称为E的A.开集B.边界()D.{0}()D.闭包()B.limA=(0,1]nnsD.limA=(0,3)nnsA=C.0C.导集4•若｛A｝是一闭集列，则弋A是nnn=1B.闭集D.无法判断B.闭集D.无法判断C.既非开集又非闭集5若f(x)可测，则它必是A.连续函数B.A.连续函数B.单调函数C.简单函数D.简单函数列的极限6关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是A.简单函数一定是可测函数B.简单函数列的极限是可测函数C.简单函数与可测函数是同一概念D.简单函数列的极限与可测函数是同一概念7设f(x)是可测集E上的非负可测函数，则f(x)()A.必可积B.必几乎处处有限C.必积分确定D.不一定积分确定8设E是可测集，则下列结论中正确的是()A.若｛f(x)｝在E上a.e收敛于一个a.e有限的可测函数f(x)，则f(x)一致收敛于f(x)nnB•若｛f(x)｝在E上基本上一致收敛于f(x)，则f(x)a.e收敛于f(x)nnC•若｛f(x)｝在E上a.e收敛于一个a.e有限的可测函数f(x)，则f(x)基本上一致收敛于nnf(x)D.若｛f(x)｝在E上a.e收敛于一个a.e有限的可测函数f(x)，则f(x)nf(x)nn9设f(x)是可测集E上可积，则在E上A.A.f+(x)与f-(x)只有一个可积B.f+(x)与f一(x)皆可积6、6、7、C.f+(x)与f-(x)一定不可积D.f+(x)与f-(x)至少有一个可积10.f(x)在可测集E上(L)可积的必要条件是,f(x)为A、连续函数B、几乎处处连续函数C、单调函数D、几乎处处有限的可测函数11设D(x)为狄立克雷函数，则(L)J1D(x)dx=0A、0B、1C、1/2D、不存在12设｛E｝是一列可测集，En1八，且mEi<+°则有A)m2E'In=1n丿=limmEnnT8((B)m、uEkn=1n丿<limmEnnT8((C)mnE<limmE;(D)以上都不对nnT813设A=(0,n),nA、①14设A=(0丄),nnA、(0,1)填空题1、2、3、4、5、nnsB、[0,n]C、RD、(0,g)设A为一集合,设A为一集合,nns1B、(0,)nC、｛0｝D、①、B是A的所有子集构成的集合；若A=n,则B=B是A的所有子集构成的集合；若A是一可数集，则B=若A=c,B=c,则AuB二若A=c,B是一可数集，则AuB=若A二c,B二n,则AuB二若｛A｝是一集合列，且An=c,uA=nnnn=1设｛S.｝是一列递增的可测集合，则m(limS)=innT88、[a,b]上的连续函数及单调函数都是9m*(YA)<Sm*A称为测度的iiTOC\o"1-5"\h\zi=1i=110、可测集EURn上的连续函数都是。11、可测函数列的极限是。12、设f(x)在可测集E上可积，则mE[f=a]=()三、判断题1、任意集合都有子集。()2、E的孤立点必然属于E.()3、limA={xI当n充分大以后都有xgA}..()nnnTa4、若mE<+a，且fnf，limf(x)=f(x)a,e于E()nnnTa5、若VrgQ,E(f>r)都可测，则f在可测集E上也可测.()6、函数f(x)在E上可测，当且仅当对于每一个实数a,集合E(f=a)可测.()7、若mE=0，则E一定是可数集()8、设M是Rn中的紧集，则M是Rn中的有界闭集.()9、若f(x)在可测集E上可测，则E(f=+a)也可测。()10、若mE<+a，且fnf，limf(x)=f(x)a,e于E()nnnTa11、设s,s都可测，则s—S也可测，且m(S—s)=mS—mS。()1212121212、若f(x)在可测集E上可测，则f(x)在E的任意可测子集上也可测()。13、无限集的外测度一定不为零。()14、若f(x)在可测集E上可测，则f(x)在E的任意子集上可测()15、若可测集A是可测集B的子集，且mB=mA，则m(B—A)=0()16、若VrgQ,E(f>r)都可测，则f在可测集E上也可测()17、若E可测，A可测，且m(A—E)=0，则mE=m(EYA)。()四、证明1证明(B—A)YA=B的充分必要条件是AuB2.设A，B是二集合，AuA,BuB，若A〜B且B〜A，则A〜B00003•设f是E上的可测函数，证明：Vagr，E={x1f(x)=a}是可测集。4•如果E,EuRn都是可测的，则EYE也是可测的。1212设AA是A的子集，则有f(AYA)二f(A)Yf(A)(12分)121212任何无限集都包含一个可列