四川省成都市2021-2022学年高一上学期期末数学试题

2021~2022学年度上期期末高一年级调研考试数学一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可求解.【详解】.故选：C【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值以及诱导公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.2.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合与集合的公共元素为，即可得到答案.【详解】因为，.故选：A.3.已知角的终边经过点，且，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据点，先表示出该点和原点之间的距离，再根据三角函数的定义列出等式，解方程可得答案.【详解】因为角的终边经过点，则，因为，所以，且，解得，故选：B4.若，，，则，，的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性，结合题意，即可得x，y，z的大小关系，即可得答案.【详解】因为在上为单调递增函数，且，所以，即，因为在R上为单调递增函数，且，所以，即，又，所以.故选：A5.已知一元二次方程的两个不等实根都在区间内，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】设，根据二次函数零点分布可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.【详解】设，则二次函数的两个零点都在区间内，由题意，解得.因此，实数的取值范围是.故选：D.6.函数的单调递增区间为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】利用正切函数的性质求解.【详解】解：令，解得，所以函数的单调递增区间为，，故选：C7.已知函数的零点在区间内，则（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理即可判断出零点所在的区间.【详解】因为，，所以函数在区间内有零点，所以.故选：B.8.函数的图象大致形状为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用上的函数值的正负即可判断；【详解】解：因为，定义域为，且所以为偶函数，函数图象关于轴对称，故排除、；又当时，，，所以，则，所以，所以，即可排除C；故选：A9.若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式即可直接求值.【详解】因为，所以，又因为，所以，所以.故选：D.10.对于函数定义域中任意的，，当时，总有①；②都成立，则满足条件的函数可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数在上是增函数，且是上凸函数判断.【详解】由当时，总有，得函数在上是增函数，由，得函数是上凸函数，在上是增函数是增函数，是下凸函数，故A错误；在上是增函数是增函数，是上凸函数，故B正确；在上是增函数，是下凸函数；故C错误；在上是减函数，故D错误.故选：B11.已知函数.当时，，，则下列结论正确的是（）A.是函数的一个零点B.函数的最小正周期为C.函数的图象的一个对称中心为D.的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象【答案】AB【解析】【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的解析式，再结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，因为，可得，又由，所以函数的最小正周期为，所以，所以，又因为，可得，即，由，所以，即，对于A中，当时，可得，所以是函数的一个零点，所以A正确；又由函数的最小正周期为，所以B正确；由，所以对称中心的纵坐标为，所以C不正确；将函数的图象向右平移个单位长度,可得，所以D不正确.故选：AB.12.设函数若任意给定的，都存在唯一的非零实数满足，则正实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合函数的图象及值域分析，当时，存在唯一的非零实数满足，然后利用一元二次不等式的性质即可得结论.【详解】解：因为，所以由函数的图象可知其值域为，又时，值域为；时，值域为，所以的值域为时有两个解，令，则，若存在唯一的非零实数满足，则当时，，与一一对应，要使也一一对应，则，，任意，即，因为，所以不等式等价于，即，因，所以，所以，又，所以正实数的取值范围为.故选：A.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.若函数（，且）的图象经过点，则___________.【答案】【解析】【分析】把点的坐标代入函数的解析式，即可求出的值.【详解】因为函数的图象经过点，所以，解得.故答案为：.14.已知扇形的弧长为，半径为1，则扇形的面积为___________.【答案】##【解析】【分析】利用扇形面积公式进行计算.【详解】即，，由扇形面积公式得：.故答案为：15.若偶函数在区间上单调递增，且，，则不等式的解集是___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，结合函数的性质，分析可得在区间上的性质，即可得答案.【详解】因为偶函数在区间上单调递增，且，，所以在区间上单调上单调递减，且，所以的解集为.故答案为：16.设函数.则函数的值域为___________；若方程在区间上的四个根分别为，，，，则___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根据二倍角公式，化简可得，分别讨论位于第一、二、三、四象限，结合辅助角公式，可得的解析式，根据的范围，即可得值域；作出图象与，结合图象的对称性，可得答案.【详解】由题意得当时，即时，，又，所以；当时，即时，，又，所以；当时，即时，，又，所以；当时，即时，，又，所以；综上：函数的值域为.因为，所以，所以，作出图象与图象，如下如所示由图象可得，所以故答案为：；三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.计算下列式子的值：（1）；（2）.【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）利用对数运算公式计算；（2）利用分数指数幂进行化简求值.【小问1详解】【小问2详解】18.在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点A，已知点A的纵坐标为.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据点A的纵坐标，可求得点A的横坐标，根据正切函数的定义，即可得答案.（2）利用诱导公式进行化简，结合（1）即可得答案.【小问1详解】因为点A纵坐标为，且点A在第二象限，所以点A的横坐标为，所以；【小问2详解】由诱导公式可得：.19.已知函数是定义在区间上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）判断函数在区间上的单调性，并用函数单调性的定义证明.【答案】（1）（2）增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）又函数为奇函数可得，结合求得，即可得出答案；（2）令，利用作差法判断的大小，即可得出结论.【小问1详解】解：因为函数是定义在区间上的奇函数，所以，即，所以，又，所以，所以；【小问2详解】解：增函数，证明如下：令，则，因为，所以，，所以，即，所以函数在区间上递增.20.人类已进入大数据时代.目前数据量已经从级别越升到，，乃至级别.某数据公司根据以往数据，整理得到如下表格：时间2008年2009年2010年2011年2012年间隔年份（单位：年）01234全球数据量（单位：）0.50.751.1251.68752.53125根据上述数据信息，经分析后发现函数模型能较好地描述2008年全球产生的数据量（单位：）与间隔年份（单位：年）的关系.（1）求函数的解析式；（2）请估计2021年全球产生的数据量是2011年的多少倍（结果保留3位小数）？参考数据：，，，，，.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意选取点代入函数解析式，取出参数即可.（2）先求出2021年全球产生的数据量，然后结合条件可得答案.【小问1详解】由题意点在函数模型的图像上则，解得所以【小问2详解】2021年时，间隔年份为13，则2021年全球产生的数据量是2021年全球产生的数据量是2011年的倍数为：21.已知函数在一个周期内的图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）若存在，使得关于的不等式成立，求实数的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合图象，由最大最小值可得，由可得，由函数图象经过点可求，从而可得答案.（2）原不等式等价于存在,使得成立，即，令，利用函数单调性求解最小值即可得答案.【小问1详解】解：由图可知，设函数的最小正周期为，，，，，又由图可知函数的图象经过点，，,,【小问2详解】解：由（1）知原不等式等价于，即.又，∴原不等式等价于存在,使得成立，，，令，则，令，∵在区间上单调递减，∴，∴实数的最小值为.22.我们知道，指数函数（，且）与对数函数（，且）互为反函数.已知函数，其反函数为.（1）求函数，的最小值；（2）对于函数，若定义域内存在实数，满足，则称为“L函数”.已知函数为其定义域上的“L函数”，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）利用换元法令，可得所求为关于p的二次函数，根据二次函数的性质，分析讨论，即可得答案.（2）根据题意，分别讨论在、和上存在实数，满足题意，根据所给方程，代入计算，结合函数单调性，分析即可得答案.【小问1详解】由题意得所以，，令，设则为开口向上，对称轴为的抛物线，当时，在上为单调递增函数，所以的最小值为；当时，在上单调递减，