多目标决策培训 课件

第一节特尔菲（Delphi）法第二节层次分析法（AHP）

(AnalyticsHierarchyProcess)第三节数据包络分析法（DEA)第四节多准则评估的区间评估方法

（IntervalAnalysis)第十章多目标决策

第一节特尔菲（Delphi）法第十章多目标决策

1多目标决策例子干部评估：德才兼备教师晋升：教学数量与质量；科研成果购买冰箱：价格，质量，耗电，品牌等球员选择：技术，体能，经验，心理找对象：容貌，学历，气质，家庭状况多目标决策例子干部评估：德才兼备2多目标决策与单目标决策区别点评价与向量评价单目标：方案dj←评价值f(dj)

多目标：方案dj←评价向量(f1(dj)，f2(dj)…，fp(dj))全序与半序:方案di与dj之间单目标问题:di<dj;di=dj;di>dj

多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况是不可比较大小决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对目标的偏好。解概念区别多目标决策与单目标决策区别点评价与向量评价3解的概念单目标决策的解只有一种（绝对）最优解多目标决策的解有下面四种情况：绝对最优解劣解有效解(pereto解)弱有效解解的概念单目标决策的解只有一种（绝对）最优解4数学外语专业解的类型d1807588有效解d2758185有效解d3767889有效解d4858292劣解d5797486绝对最优解多目标决策解的例子数学外语专业解的类型d1807588有效解d2758185有5第一节特尔菲(Ｄeｌｐｈｉ)法 特尔菲法是美国兰德公司于1964年首先用于决策领域的，是一种重要的的多目标决策方法，其主要优点是简明直观。实践中经常使用特尔菲法确定各目标权数，并进行多目标决策。思路：特尔菲法是请一批有经验的专家(老手)对如何确定各目标权数发表意见，然后用统计平均方法估算出各目标的权数。第一节特尔菲(Ｄeｌｐｈｉ)法 特尔菲法是美国兰德公司于6步骤:1．把较为详尽的背景资料发送给选定的n位专家，请专家们分别各自独立地估计各目标的权数列入下表中。

目标权重估计值专家数f1f2……fp1w11w12……w1p2w21w22……w2pM……………………Nwn1wn2……wnp步骤:目标权重估计值专家数f1f2…72．计算各目标权数的样本平均值及各偏差值。样本平均值为

å===niijjpjwnwM1,,2,1

,1)(L每一位专家对各目标权数估计值与平均估计值的偏差为

)(jijijwMw-=D3．进一步分析)(jwM是否合理，特别让估计值偏差△ij较大的专家充分发表意见，消除估计中的一些误解。4．附上进一步的补充资料后，请各专家重新对各目标权数作出估计值wij，再一次计算平均估计值及方差。åå==--===nijijjniijjwMwnwDpjwnwM121)](~[11)(~,,2,1

,1)(~L5.重复上述步骤，经过几次反复后，直至第k步估计方差小于或等于预先给定的标准)0(>ee。2．计算各目标权数的样本平均值及各偏差值。样本平均值为8多目标决策培训课件9DELPHI法使用要点独立性，专家尽可能互不见面，防止心理影响（权压，声压，从众行为）统计处理滤波技术DELPHI法使用要点独立性，专家尽可能互不见面，防止心10第二节

层次分析法

(AnalyticsHierarchyProcess,AHP)一、简介二、基本模型三、基本步骤四、应用案例第二节层次分析法

(AnalyticsHierarchy11简介层次分析法是由美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty在70年代中期提出的。它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。简介层次分析法是由美国匹兹堡大12基本模型—单层次模型1.单层次模型结构C—目标，Ai—隶属C的n个评价元素决策者问题：由决策者在这个目标意义下对这n个元素进行评价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。CA1A2An……基本模型—单层次模型1.单层次模型结构C—目标，CA1A213

2.思想：

(1)整体判断n个元素的两两比较。

(2)定性判断定量表示（通过标量 ）

（3）通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重

2.思想：14

3.计算步骤（1）构造两两比较判断矩阵（2）计算单一准则下元素的相对重要性(层次单排序)（3）单层次判断矩阵A的一致性检验多目标决策培训课件15(1)判断矩阵标度（aij）的含义：Ai比Aj时由决策者回答下列问题所得(1)判断矩阵16判断矩阵中的元素具有下述性质例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则aij＝5

这样由决策者的定性判断转换为定量表示，这是AHP的特点之一。判断矩阵中的元素具有下述性质17由此得到的特征向量W=(w1,w2,…,wn)

T

就作为对应评价单元的权重向量。λmax和W的计算一般采用幂法、和法和方根法(2)层次单排序由此得到的特征向量W=(w1,w2,…,wn)T就18AHP方法计算原理

问题：为什么两两比较判断矩阵A的最大特征值的向量W=(w1,w2,…,wn)T，可以作为评价单元A1,A2,…,An的权重向量？AHP方法计算原理问题：为什么两两比较判断矩阵A的最大特征19解释：假设事先已知这n个评价单元的权重向量为W=(w1,w2,…,wn)T，比较Ai与Aj重要性时，标量aij=wi/wj是一精确比值所构成的两两比较判断矩阵

是完全精确的判断矩阵解释：假设事先已知这n个评价单元的权重向量为W=(w1,20满足W是的最大特征值的向量。

满足21实际评价时，并不知道这权重向量比较Ai与Aj重要性时，通过询问决策者只能得到近似的比值aij

aij～wi/wj得到的判断矩阵是近似的判断矩阵A.A～精确判断矩阵的最大特征值的向量W=(w1,w2,…,wn)T是完全精确的权重向量近似判断矩阵A最大特征值的向量W=(w1,w2,…,wn)T可以作为近似的权重向量实际评价时，并不知道这权重向量22(3)单层次判断矩阵A的一致性检验(3)单层次判断矩阵A的一致性检验23多层次分析法的基本步骤1．建立递阶层次结构2．计算单一准则下元素的相对重要性(单层次模型)3．计算各层次上元素的组合权重(层次总排序)4．评价层次总排序计算结果的一致性多层次分析法的基本步骤1．建立递阶层次结构24递阶层次结构决策目标准则1准则2准则k子准则1子准则2子准则m方案1方案2方案n………………………………目标层准则层子准则层方案层递阶层次结构决策目标准则1准则2准则k子准则1子准则2子准则25计算单一准则下元素的相对重要性

这一步是计算各层中元素相对于上层各目标元素的相对重要性（层次单排序），参见前面的单层次模型。例：如图 相对于目标A1而言，C1、C2、C3、C4相对重要性权值为w11、w12、w13、w14，

同理相对目标A2，C1、C2、C3、C4相对重要性权值为w21、w22、w23、w24。A1A2C1C2C3C4w11w12w13w14计算单一准则下元素的相对重要性这一步是计算各层中26计算各元素的总权重计算各元素的总权重27评价层次总排序计算结果的一致性评价层次总排序计算结果的一致性28应用例子

某厂有一笔企业留成利润要决定如何使用，根据各方意见提出的决策方案有：发奖金；扩建集体福利设施；办技校；建图书馆；购买新设备。在决策时要考虑调动职工劳动积极性、提高职工技术文化水平、改善职工物质文化生活三方面，据此构造各因素之间相互联结的层次结构模型如下图所示。应用例子 某厂有一笔企业留成利润要决定如何使用，29层次结构图合理使用企业留利××万元调动职工劳动积极性提高企业技术水平改善职工物质文化生活状况发奖金扩建集体福利设施办技校建图书馆购买新设施准则层C方案层D目标层AAC1C2C3d1d2d3d4d5层次结构图合理使用企业留利××万元调动职工劳30计算单一准则下元素的相对重要性1.第二层相对于第一层的判断矩阵通过计算得判断矩阵的特征向量和特征值分别为：W=(0.105,0.637,0.258)λmax=3.308对判断矩阵进行一致性检验，即计算C.I.和C.R.

C.I.=0.019C.R.=0.033<0.1说明判断矩阵的一致性可以接受。C1C2C3w1=0.105W2=0.637W3=0.258A计算单一准则下元素的相对重要性1.第二层相对于第一层的判断312.第三层元素相对于第二层元素判断矩阵w11W12W13C1C2C3d1d2d3d4d5w14w152)C1-Dd1d2d3d4d5d112347d21/21325d31/31/311/21d41/41/2213d51/71/511/31W=(0.491,0.232,0.092,0.138,0.046)126.5max=lC.I=0.032C.R.=0.028<0.12.第三层元素相对于第二层元素判断矩阵w11W12W13C132w21W22W23C1C2C3d1d2d3d4d5w24w25w31W32W33C1C2C3d1d2d3d4d5w34w35w21W22W23C1C2C3d1d2d3d4d5w24w233计算各元素的总权重计算各元素的总权重34结论发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新设备W=(0.157,0.164,0.393,0.113,0.172)C.I.=0.028R.I.=0.923CR=0.03<0.10计算结果表明，对于合理使用企业留成利润来说，办技校是首选的方案。返回提纲结论发奖金，福利设施，办技校，建图书馆，新35AHP案例分析案例1运用AHP方法选择世界杯上场队员案例本案例运用AHP方法，对中国男子足球队在世界杯比赛中应该首发出场的中后卫人选进行决策；AHP案例分析案例1运用AHP方法选择世界杯上场队员案例36目标A是在世界杯比赛中取得好成绩；准则C有四个：技术、心理、经验、伤病；方案D（可供选择的球员）是范志毅、杜威、李伟峰、张恩华和徐云龙五位可踢中后卫的球员。多目标决策培训课件37据此建立模型的递阶层次结构如下图：

D1范志毅A：比赛中取得好成绩C1：技术C2：心理C3：经验C4：伤病D2杜威D3李伟峰D4张恩华D5徐云龙据此建立模型的递阶层次结构如下图：D1范志毅A：比赛中取得38构造第二层相对第一层的判断矩阵：

W=(0.398,0.236,0.167,0.199)λmax=4.060C.I.=0.020C.R.=0.022<0.1

判断矩阵的一致性可以接受1C4:伤病11C3:经验121C2:心理2221C1:技术C4:伤病C3:经验C2:心理C1:技术A-----CAC1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病构造第二层相对第一层的判断矩阵：1C4:伤病11C39第三层各因素对于第二层元素的判断矩阵：

1D5:徐云龙21D4:张恩华531D3:李伟峰211/21D2:杜威311/221D1:范志毅D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:1杜威D1:范志毅C1:技术

W=(0.217,0.151,0.395,0.160,0.077)λmax=5.015C.I.=0.017C.R.=0.015<0.1

一致性检验通过C1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病D1:范D3:李D2:杜D4:张D5:徐第三层各因素对于第二层元素的判断矩阵：1D5:徐云龙21D440

W=(0.370,0.069,0.169,0.326,0.066)λmax=5.018C.I.=0.012C.R.=0.011<0.1

一致性检验通过1D5:徐云龙51D4:张恩华31/21D3:李伟峰11/41/31D2:杜威51351D1:范志毅D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅C1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病D1:范D3:李D2:杜D4:张D5:徐C2:心理1D5:徐云龙51D4:张恩华31/21D3:李伟峰11/41

W=(0.439,0.044,0.161,0.271,0.085)λmax=5.186C.I.=0.047C.R.=0.042<0.1

一致性检验通过1D5:徐云龙1/21D4:张恩华31/31D3:李伟峰1/31/51/41D2:杜威62471D1:范志毅D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅C1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病D1:范D3:李D2:杜D4:张D5:徐C3:经验1D5:徐云龙1/21D4:张恩华31/31D3:李伟峰1/42

W=(0.082,0.260,0.138,0.260,0.260)λmax=5.010C.I.=0.002C.R.=0.002<0.1

一致性检验通过1D5:徐云龙11D4:张恩华½1/21D3:李伟峰1121D2:杜威1/31/31/21/31D1:范志毅D5:徐云龙D4:张恩华D3:李伟峰D2:杜威D1:范志毅C4:伤病C1:技术C2:心理C3:经验C4:伤病D1:范D3:李D2:杜D4:张D5:徐1D5:徐云龙11D4:张恩华½1/21D3:李伟峰11243

最后计算出层次总排序的权重向量为：W=(0.263,0.136,0.251,0.238,0.112)C.I.=0.049R.I.=1.120C.R.=0.044<0.1层次总排序一致性检验通过计算结果表明，中国国家足球队在世界杯比赛中，首发的中后卫应该是范志毅和李伟峰，替补的顺序应该依次为张恩华、杜威和徐云龙。

最后计算出层次总排序的权重向量为：44AHP方法练习1，根据评价问题建立评价指标体系2，通过询问建立判断矩阵以下工作由程序完成：3，计算判断矩阵的特征值、一至性检验4，计算各评价单元的权重AHP方法练习1，根据评价问题建立评价指标体系45学生对教师评价指标体系总评价学术水平表达能力教学态度教师1教师2教师3教师4学生对教师评价指标体系46第三节

数据包络分析(DEA)方法一、简介二、DEA的基本模型三、DEA有效性(C2R)的经济含义四、DEA的一般工作过程五、应用案例六、研究进展第三节数据包络分析(DEA)方法一、简介47一、DEA简介

数据包络分析(DataEnvelopmentAnalysis，简记DEA)

运筹学家A.Charnes和W.W.Cooper提出的效率评价方法。应用领域：管理科学、系统工程、决策评价技术。 优点：客观性（通过数据和数学规划模型评估）方便（不用考虑量纲）经济意义明确给主管部门提供管理信息。一、DEA简介 数据包络分析(DataEnvelopmen48DEA特点效率评价相对有效性根据投入产出数据，使用数学规划模型计算每一评价单元的有效值DEA特点效率评价49DEA方法的主要步骤1确定N个同类评价单元DMUJ2选择投入产出指标投入指标：X=（x1x2。。。Xm）

产出指标：Y=（y1y2。。。Ys）3选择模型类型：常用C2R，BCC模型4对每一评价单元DMU求解其对应的模型得其有效性评价值 DEA方法的主要步骤1确定N个同类评价单元DMUJ50数据结构与效率评价指数y11

y12

……

y1ny21

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……

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…

……

…ys1

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mnDMU1

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……

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v1

1

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2

…

…

vm

m1

u12u2…

…sus数据结构与效率评价指数y11y1251二、DEA的基本模型1．C2R模型的基本形式2.具有非阿基米德无穷小量的C2R模型3.效率与DEA评估模型二、DEA的基本模型1．C2R模型的基本形式521.C2R模型的基本形式决策单元——DMUi输入指标——Xj=(x1j,…,xmj)T（j=1,…,s）

xij——第j个DMU对第i种类型输入的投入量输出指标——Yj=(y1j,…,ysj)T（j=1,…,m）

yrj——第j个DMU对第r种类型输出的产出量权重——υ=(υ1,…,υm)T，u=(u1,…,us)T分别为各输入、输出指标的权重1.C2R模型的基本形式决策单元——DMUi53数据结构与效率评价指数y11

y12

……

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……

y2n…

…

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…

…

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…sus数据结构与效率评价指数y11y1254原始模型

对第j0个决策单元进行效率评价。使用下面分式规划模型其中模型的变量为υ和u。原始模型对第j0个决策单元进行效率评价。使用下面分式规划55C2R—P模型利用Charnes-Cooper变换，可以将化为一个等价的线性规划问题。令得：其中WT=（w1,w2,…,wn）和μT=(μ1,μ2,…μs)是变量C2R—P模型利用Charnes-Cooper变换，可以将化56对偶规划D加入松驰变量s+及s-以后可得对偶规划模型：λ=(λ1,λ2,…,λn)及θ为n+1个变量对偶规划D加入松驰变量s+及s-以后可得对偶规划模型：57C2R模型下DEA有效的定义P模型下：弱DEA有效：若线性规划问题(P1)的最优解w0及u0满足Vp1=u0TY0=1，则称DMUj0为弱DEA有效。DEA有效：若线性规划问题(P1)存在某一最优解w0与u0满足VP1=u0TY0=1，并且w0>0,u0>0，则称DMUj0为DEA有效。D模型下：弱DEA有效：规划问题(D1)的最优值θ*

=

VD1=1DEA有效：规划问题(D1)的最优值θ*

=

VD1=1，并且它的每个最优解都满足S-0=S+0=0。C2R模型下DEA有效的定义P模型下：582.具有非阿基米德无穷小量的C2R模型P模型和D模型判断DEA有效的困难：1.在P模型中，需要判断是否存在最优解w0，u0满足：2.在D模型中，需要判断是否其所有最优解都满足：非阿基米德无穷小量ε是一个小于任何正数且大于零的“抽象数”。再实际使用中一般取ε=10-72.具有非阿基米德无穷小量的C2R模型P模型和D模型判断D59具有非阿基米德无穷小量的模型（P）具有非阿基米德无穷小量的模型（P）60具有非阿基米德无穷小量的模型（Dε）具有非阿基米德无穷小量的模型（Dε）61DεDEA有效性判断i)若θ0=1，则DMUj0为弱DEA有效。ii)若θ0=1，并且s-0=0、s+0=0，则DMUj0为DEA有效。DεDEA有效性判断i)若θ0=1，则DMUj0为弱DEA有623、效率与DEA评估模型

3、效率与DEA评估模型63效率一般含义效率含义------在业务活动中投入与产出或成本与收益之间的对比关系.它是其资源的有效配置，是市场竞争能力、投入产出能力和可持续发展能力的总称

效率一般含义效率含义------在业务活动中投入与产出或成本64技术效率与规模效率

技术效率反映在给定投入的情况下获取最大产出的能力规模效率则反映了是否在最合适的投资规模下进行经营技术效率与规模效率技术效率反映在给定投入的情况下获取最大65经济学下效率的概念yxy=f(x)A

DCBOEFG1．A的技术效率＝BD/BA2．A的规模效率＝BC/BD3．A的总效率＝BC/BA经济学下效率的概念yxy=f(x)AD66规模效率规模收益递增：在E点左面，函数“加速上升”，增加投入量可以使产出有较高的增加，被考察单元有投资的积极性，。规模收益递减：在E点右面，，投入量为x时，如再增加，产出y增加的效率不高，被考察单元已没有再继续增加投资的积极性。规模有效：E点所代表被考察单元的投入规模是最适当的。

规模效率规模收益递增：在E点左面，函数“加速上升”，67总效率＝BC/BA总效率=技术效率×规模效率被考察单元的总效率值为1时，称为有效。被考察单元同时达到技术有效和规模有效时，则为有效，

总效率＝BC/BA总效率=技术效率×规模效率68二、效率的评估模型——DEA模型DEA方法来能对被考察单元进行相对效率评价。最高的的效率定为1，其它被考察单元的效率定在0到1之间。

二、效率的评估模型——DEA模型69CR模型与总效率

模型得出的θ即是第k家被考察单元的总效率CR模型与总效率模型得出的θ即是第k家被考察单元的总效率70模型得出的θ即是第k家被考察单元的总效率值，满足0≤θ≤1。其经济含义是当第k家被考察单元的产出水平保持不变(投入导向)时，如以样本中最佳表现(处于效率前沿面上)的考察单元为标准与实际所需要的投入比例。θ就是第k家被考察单元是可以减少(或称浪费)投入的最大比例。当θ=1时，有效状态，被考察单元是效率前沿面上的点，。求解（CCR）模型n遍，可得到每家被考察单元的效率值

模型得出的θ即是第k家被考察单元的总效率值，满足0≤θ≤1。71BCC模型与技术效率CCR模型是需规模收益不变的假设规模收益不变是假设被考察单元可以通过增加投入等比例地扩大产出规模，这一假设相当严格，与实际差距较大，在许多情况下并不满足，在CCR模型中增加一个凸性假设BCC模型与技术效率CCR模型是需规模收益不变的假设72模型得出的θ即是第k家被考察单元的技术效率

模型得出的θ即是第k家被考察单元的技术效率73三、DEA有效性(C2R)的经济含义1.基本概念(1)生产可能集(2)生产函数(3)规模收益2．DEA有效性（C2R）的经济含义三、DEA有效性(C2R)的经济含义1.基本概念74(1)生产可能集(x,y)—生产活动X=(x1,…,xm)T—投入量，Y=(y1,y2,…ys)—产出量(Xj,Yj)—经验生产活动，观察值表示DMUj—参考集T=(x,y）——生产可能集，产出y能用输入x生产出来为所有可能的生产活动构成的集合。经济分析目的——根据上述参考集去估计生产可能集T，并确定哪些决策单元的生产活动是相对有效的。(1)生产可能集(x,y)—生产活动75T满足的公理T满足的公理76经验生产可能集（CCR）决策单元的经验生产可能集（CCR），它为一凸锥。经验生产可能集（CCR）决策单元的经验生产可能集（CCR），77(2)生产函数技术有效：设(X,Y)∈T，若不存在(X’,Y’)∈T，X≥X’,且Y≤Y’生产函数：Y=f(X)；生产函数表示在一定的技术条件下，生产处于最理想状态时，投入量为X所能获得的最大产出量Y。对生产可能集T，所有有效生产活动点(X,Y)构成的Rm+s空间的超曲面称为生产函数。处于生产函数上的生产活动均为“技术有效”生产活动。(2)生产函数技术有效：设(X,Y)∈T，若不存在(X’,78(3)规模收益规模收益：产出增量的相对百分比与对应投入增量的相对百分比的比值。规模收益递增：规模收益不变：规模收益递减：规模有效：对投入规模X0，无论投入规模大于或小于X0都不是最好的，这样的DMU0为规模收益不变或规模有效。(3)规模收益规模收益：产出增量的相对百分比与对应投入增量的79DEA有效性（C2R）的经济含义（1）C2R模型求解的经济意义解释模型(D1)求解是致力于在生产可能集T内，保持产出Y0不变，同时将投入量X0按同一比例尽量减少。如果X0不能按同一比例减少，即(D1)的最优值V0=θ0=1，则是有效的生产活动。DEA有效性（C2R）的经济含义（1）C2R模型求解的经济80

(2)DMUj

DEA有效的信息——此DMUj规模有效和技术有效(3)DMU0非DEA有效包含:1.存在一个更优的DMU0’（X0’,Y0’)，Y0’=Y0且

X0’<X0并指出投入的改进值为2.规模收益分析

(2)DMUjDEA有效的信息——此DMUj规模有效和81几何与投影分析(4)DMUj0对应的点位于有效生产前沿面上，则DMUj0为DEA有效。几何与投影分析(4)DMUj0对应的点位于有效生产前沿面上，82(6)所有位于生产前沿面上的生产点均为DEA有效，反之为非DEA有效。(7)DEA投影分析：如何改进一个非DEA有效的决策单元。(6)所有位于生产前沿面上的生产点均为DEA有效，反之为非D83四、DEA的一般工作过程1.问题描述与系统定义2.选择评价模型3.收集和整理数据资料4.求解DEA规划模型5.结果分析及辅助决策四、DEA的一般工作过程1.问题描述与系统定义84五、应用案例(1)案例：利用BCC模型对天津、上海、海口等城市共七个污水处理厂的实际进行测评分析。选用的投入和产出指标为：投入指标：(1)年总运行成本（万元）；(2)总投资额（万元）产出指标：(1)日处理污水量（万立方米./日）；(2)投资利税率（%）各污水厂投入产出指标数据五、应用案例(1)案例：利用BCC模型对天津、上海、海口等城85各污水厂有效性评价结果（评价模型：BCC）污水一厂：*=1，1*=1， 结论：DEA有效，规模收益不变。污水二厂：*=1，2*=1， 结论：DEA有效，规模收益不变。污水三厂：*=1，3*=1， 结论：DEA有效，规模收益递减。污水四厂：*=.9677，2*=.0367，5*=.5367，7*=.4266，S2+*=.2935， 结论：非DEA有效，规模收益递减。污水五厂：*=1，5*=1， 结论：DEA有效，规模收益递减。污水六厂：*=.4853，2*=.8171，3*=.1712，7*=.0117，

S1-*=7002.089，结论：非DEA有效，规模收益递减。污水七厂：*=1，7*=1， 结论：DEA有效，规模收益不变。返回提纲各污水厂有效性评价结果（评价模型：BCC）返回提纲86DEA案例分析(2)案例1华北石化公司产品经营有效性评价案例本案例选取华北石化公司2001年1月份的投入产出数据，对华北石化公司各不同产品的生产经营效率进行评价。DEA案例分析(2)案例1华北石化公司产品经营有效性评价案87决策单元：9种产品DMU1

液化气

DMU4

200#溶剂油

DMU7

0#溶剂油

DMU2

石脑油

DMU5

90#溶剂油

DMU8

5#溶剂油

DMU3

120#溶剂油

DMU6

93#溶剂油

DMU9

10#溶剂油

决策单元：9种产品DMU1液化气DMU4200#溶剂油88评价指标体系投入指标：

X1

原材料成本（万元）

X2

辅助材料（万元）

X3

制造费用（万元）产出指标：Y1

产量（万吨）

Y2

销售收入（万元）评价指标体系89各产品投入产出指标数据

各产品投入产出指标数据90评价结果：上表显示华北石化目前产品中第2，4，5，6，8，9种产品的生产是有效率的，而第1，3，7种产品的生产效率则有待改进。

评价结果：91DEA评价案例(3)普通中学相对有效性评价DEA评价案例(3)普通中学相对有效性评价92参考评价指标体系输入指标：X1：师资力量X2：教育经费

X3：仪器设备，图书资料总额X4：学生入学平均成绩输入指标：Y1：毕业生人数

Y2：毕业学生平均成绩Y3：毕业生的身体素质

Y4：毕业生的德育合格率参考评价指标体系93指标意义解释师资力量(X1)：各层次职称人数加权取和得到，权重由专家确定教育经费(X2)：按国家和社会拨给的学校的年办学经费，或评估阶段中的全部经费。仪器设备和图书资料总额(X3)：学校拥有的全部仪器设备，图书资料折合成人民币值。学生入学人平均成绩(X4)：指毕业生当时入学统考的总成绩除以人数所得到的结果。毕业生人数(Y1)：按评估学年或阶段中毕业的全部学生人数。毕业生平均成绩(Y2)：按全体毕业生的毕业统考成绩除以毕业人数得到。毕业生的身体素质(Y3)：按毕业生的毕业体检合格率，或按毕业生的体育达标率。毕业生的德育合格率(Y4)：指毕业生中未受学校处分无社会犯罪的人数所占比重。由于DEA方法评估结论与输入输出的量纲无关，所以不必对各数据进行无量纲化处理。指标意义解释师资力量(X1)：各层次职称人数加权取和得到，权94河北某市普通中学有效性评实例评价单元：该市市区二十个普通中学市二中

市四中;

市六中;市十中

市九中

市十一中;

市十二中;北二中

北三中

山一中

山二中

山三中

山四中

山五中

耀化中学

秦铁中

泰附中

农技中

黄庄中学

山桥中

河北某市普通中学有效性评实例评价单元：该市市区二十个普通中学95输出：Y1：毕业生人数。按90届毕业人数。Y2：毕业生平均成绩。以90届毕业生毕业统考的人均成绩计算。Y3：毕业生的身体素质。以90届毕业生的体育达标率计算。输入：X1：师资力量。X1=2z1+1.5z2+1.2z3+z4，其中z1,z2,z3分别为学校在编的特级、一级、二级教师人数，z4为其它人数。X2：教育经费。按90年度下拨教育经费计算。X3：仪器设备。图书资料总额，按截止到90年8月普通初中所拥有仪器设备、图书资料总额计算。输出：96数据结构数据结构97评价结论评价结论98DEA评价案例(4)----

商业银行的效率评价DEA评价案例(4)----

99商业银行的效率评价指标体系

投入指标：期内平均人数(x1)、期内平均资产总额(x2)、期内综合费用(x3)；产出指标：期内存款总额(y1)、期内贷款总额(y2)、期内利润总额（y3）

商业银行的效率评价指标体系投入指标：期内平均人数(x1)、100某省20家商业银行投入产出数据DMU投入指标产出指标期内平均人数（个）期内平均资产总额期内综合费用期内存款总额期内贷款总额期内利润总额银行1205052412.13121.442291.991825.42.77银行2329671953.275.731885.541462.76.45银行314915942.3350.13903.38811.86-1.27银行4269801628.9672.81466.181263.446.64银行53640381.4910.16372.64273.30.58银行61404243.679.38228.77189.1-0.34银行7620190.785.72177.13137.470.62银行8746184.76.13161.36145.10.754银行924454.122.1745.3951.97-0.24银行10805176.815.47137.26172.791.35银行11242117.573.59104.55112.660.33银行1220385.582.8876.4771.180.6银行1315450.981.7143.9839.920.0945银行141020199.423.98131.2493.231.24银行158481168.196.21122.71102.410.56银行161093140.334.398.6370.410.53银行171496134.346.494.3878.620.3银行1868858.092.253.8941.450.094银行1947439.291.1428.6122.980.16银行20100485.63.1458.3347.350.36某省20家商业银行投入产出数据DMU投入指标产出指标期内平均101DEA计算结果表

DMU效率值技术效率值规模效率值规模递增/递减银行10.9891.0000.989递减银行21.0001.0001.000不变银行31.0001.0001.000不变银行40.9641.0000.964递减银行51.0001.0001.000不变银行60.9981.0000.998递减银行71.0001.0001.000不变银行80.9540.9760.977递减银行90.9941.0000.994递增银行101.0001.0001.000不变银行111.0001.0001.000不变银行121.0001.0001.000不变银行130.9451.0000.945递增银行141.0001.0001.000不变银行150.7760.7820.991递增银行160.7660.7740.989递增银行170.7410.7540.983递增银行180.9571.0000.957递增银行190.8221.0000.822递增银行200.7410.7790.952递增DEA计算结果表DMU效率值技术效率值规模效率值规模递增/102六、DEA研究进展DEA模型的发展1抉择者偏好信息的DEA模型2具有无穷多个DMU的DEA模型3随机DEA模型4含模糊灰色因素的DEA模型5反映输入输出指标特性的DEA模型6综合DEA模型六、DEA研究进展DEA模型的发展103DEA理论发展1对DEA有效性研究2对DEA评价效果研究3DEA灵敏度分析4DEA和其他方法比较DEA理论发展1对DEA有效性研究104DEA应用进展1管理效率和效益评价方面的应用2预测和预警方面的应用3经济系统建模和参数估计应用DEA应用进展1管理效率和效益评价方面的应用105第四节多准则评估的区间评估方法区间分析简介区间评估与决策的思想区间评估的模型与方法---区间层次分析法

---区间线性规划

---区间DEA第四节多准则评估的区间评估方法区间分析简介1061区间分析（IntervalAnalysis）简介

一、区间分析的产生源于数值计算中的误差分析某观测值x,误差限ε，则准确值：[x–ε，x+ε]二、区间数及其四则运算区间数(IntervalNumber):区间数的另一表示：，其中，1区间分析（IntervalAnalysis107区间数的四则运算

，其中特殊地：区间数的四则运算，其中特殊地：108区间数四则运算-----应用举例例：证明在区间[8，10]上没有根。解：把x=[8，10]带入函数，可得：

f([8,10])=……=[1.5,23.9],0[1.5,23.9].区间数四则运算-----应用举例例：证明在区间[8，10]上109三、区间向量与区间矩阵区间向量：，其中为区间数区间矩阵：，其中为区间数区间向量与区间矩阵的运算：运算法则同一般的向量和矩阵三、区间向量与区间矩阵区间向量：，其中为区间数区间矩阵：，其110区间矩阵的特征值与特征向量：设A为一区间矩阵，λ是一区间数，若存在一个非零区间数向量x，使得Ax=λx，则称λ为A的一个特征值，x为A对应于λ的一个特征向量。区间矩阵的特征值与特征向量：设A为一区间矩阵，λ是一区间111四、区间分析的其它内容区间序列及其收敛性区间函数及其计算区间线性方程组估计一般函数的积分值区间求区间函数的积分区间积分……四、区间分析的其它内容区间序列及其收敛性估计一般函数的积分1122区间评估与决策的思想传统的评估与决策：点数据刚性模型刚性评估完全理性决策区间评估与决策：区间数据柔性模型柔性评估有限理性决策信息充分静态系统约束确定信息不充分动态系统约束不确定2区间评估与决策的思想传统的评估与决策：点数据刚性模型113注：处理不确定信息的工具模糊数学随机数学区间数学区间评估模型举例例

某鸡场有1000只小鸡，用黄豆和玉米混合的饲料喂养，每只鸡每天要吃1-1.3公斤饲料，从营养方面看，每只鸡每天需要0.004-0.006公斤的钙，并至少需要0.21-0.23公斤的蛋白质。已知黄豆的蛋白质含量为48%-52%，钙的含量为0.5%-0.8%，其价格为每公斤0.38-0.42元；玉米的蛋白质含量为8.5%-11.5%，钙的含量为0.3%，其价格为每公斤0.2元；问每天如何配料最节省？

注：处理不确定信息的工具模糊数学随机数学区间数学区间评估模型114例层次分析法中，某决策者对某两方案比较时，认为第一方案比第二方案的重要程度，介于“稍微重要”和“明显重要”之间。例S省拟建一污水处理厂，该方案投资额如表所示，但不知投入数额是否恰当。准备进行效率评价。评价单元总投资额（百万元）年运营成本（十万元）日处理污水规模（万m3）S省拟建23.0—27.58.0—9.53.0A省以建34.271.522.3B省以建C省以建18.8618.013.5D省以建12.045.681.2例层次分析法中，某决策者对某两方案比较时，认为第一方案比1153区间评估的模型与方法一、区间层次分析法（IntervalAHP）简单回顾——AHP的一般步骤：建立递阶层次结构建立判断矩阵层次单排序及一致性检验层次总排序及一致性检验问题：（1）构造判断阵时，某些判断没有把握（2）群组AHP中，各专家意见不尽相同？解决办法区间标度→区间层次分析法3区间评估的模型与方法一、区间层次分析法（Inter116(1)区间判断矩阵的建立定义：称为区间判断矩阵，如果均有例：(1)区间判断矩阵的建立定义：称为区间判断矩阵，如果均有117区间判断矩阵的构造（只需构造上三角）：1）对于不确定判断，分别估计区间的中值rij和变异度δ，则aij=[rij-δ，rij+δ]2）对于群组决策，分别取所有专家的最小值和最大值作为区间数的两端区间判断矩阵的构造（只需构造上三角）：1）对于不确定判断，分118(2)一致性检验的问题区间判断矩阵的一致性：问题：尚无可操作的判断方法(2)一致性检验的问题区间判断矩阵的一致性：问题：尚无可119(3)层次单排序的方法

随机抽样法

详见“许树柏，层次分析法原理，天津大学出版社，1988”

传统单排序方法的区间扩展如：----区间特征根方法（区间幂法），参考“吴育华，区间层次分析法——IAHP，天津大学学报，1995，9：700-705”----区间对数最小二乘法----区间梯度特征向量法

以点推面法

通过求解数字矩阵的排序向量，再由误差传递公式计算得到最后的区间排序向量，参考（1）樊治平等，不确定性判断矩阵权重计算的一种实用方法，系统工程，1996，3：57-61（2）许先云等，不确定AHP判断矩阵的一致性逼近与排序方法，系统工程理论与实践，1998，2：19-22(3)层次单排序的方法随机抽样法1204层次总排序的问题IAHP的最后的权重结果为一些区间数问题：如何对之排序？4层次总排序的问题IAHP的最后的权重结果为一些区间数121例：w1=[0.4646,0.5205]w2=[0.1746,0.2443]w3=[0.1313,0.1646]w4=[0.1117,0.1585]w1w2w3w4∴最后排序结果w1＞w2＞w3＞w4例：w1=[0.4646,0.5205]w2=[0.174122二、区间线性规划（intervallinearprogramming，简称IvLP）简单回顾——LP的一般模型：MinZ=c1x1+c2x2+…+cnxn

a11x1+a12x2+…+a1nxn

=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn

=b2…………am1x1+am2x2+…+amnxn

=bmx1，x2，…，xn≥0s.t.MinZ=CXAX=bX≥0s.t.矩阵表示问题：三种系数A、b、C不确定解决方法：IvLP二、区间线性规划简单回顾——LP的一般模型：MinZ=123IvLP的一般模型：IvLP的求解：客观的方法主观的方法IvLP的一般模型：IvLP的求解：客观的方法主观的方法124(1)客观方法求解IvLP即分别求解IvLP的最好最优值和最差最优值，由此得到其区间最优值。最好最优值模型：STEP1：确定最优目标函数(1)客观方法求解IvLP即分别求解IvLP的最好最125例：约束条件：[1,2]x1+[1,4]x2≥[2,4]边界不等式：1x1+1x2≥21x1+4x2≥22x1+1x2≥22x1+4x2≥21x1+1x2≥41x1+4x2≥42x1+1x2≥42x1+4x2≥41x1+1x2≥42x1+4x2≥2最大范围不等式最小范围不等式STEP2：确定最大范围约束：例：约束条件：[1,2]x1+[1,4]x2≥[2,4]边126STEP3：确定最好最优值模型最差最优值模型：最优值记为：最优值记为：IvLP的最优值为：STEP3：确定最好最优值模型最差最优值模型：最优值记为：最127例、求解IvLP的最优值区间解、分别建立该IvLP的最好、最差模型：分别求解两LP，得IvLP的最优值区间为：[0.5,8]例、求解IvLP的最优值区间解、分别建立该IvLP的最好、最128(2)主观方法求解IvLP思路：基于区间数的序关系，将IvLP化为一确定型LP并求解。两个区间数、称为A≤B的满意度。当决策者给定满意度λ0，IvLP中的约束(2)主观方法求解IvLP思路：基于区间数的序关系，将I129于是，IvLP化为一个确定型LP于是，IvLP化为一个确定型LP130例、给定满意度0.5，求解IvLP解、化为确定型LP求解例、给定满意度0.5，求解IvLP解、化为确定型LP求解131三、区间数据包络分析（intervalDEA，简称IDEA）xmn……xm2xm1m……………x2n……x22x212x1n……x12x111…ysn…y2ny1ns……ys2ys1…………2……y22y211……y12y11…X1X2Xn……Y1Y2Yn……n个DMU：m个投入，s个产出问题：由于观测误差、信息不完备，导致数据不准确？三、区间数据包络分析xmn……xm2xm1m……………x2n132(1)区间DEA模型：对偶模型：(1)区间DEA模型：对偶模型：133(2)区间DEA的求解客观的方法：分为客观的方法、主观的方法STEP1：考虑对DMU0最有利的情形，求得主观的方法：基于IvLP的主观求解(2)区间DEA的求解客观的方法：分为客观的方法、134STEP2：考虑对DMU0最不利的情形，求得STEP3：得到DMU0的区间效率值STEP2：考虑对DMU0最不利的情形，求得STEP3：得到135DMUX1Y1Y2A[1,2][4,6][7,8]B[2,3][4,5][6,8]C[4,6][30,34][32,34]D[2,4][10,13][4,5]E[1,3][27,29][20,21]例求每个DMU的区间效率值解、以A为例DMUX1Y1Y2A[1,2][4,6][7,8]B[2,3136DMUX1Y1Y2A[1,2][4,6][7,8]B[2,3][4,5][6,8]C[4,6][30,34][32,34]D[2,4][10,13][4,5]E[1,3][27,29][20,21]例求每个DMU的区间效率值解、以A为例：首先建立确定型模型，求得其最高效率值DMUX1Y1Y2A[1,2][4,6][7,8]B[2,3137DMUX1Y1Y2A[1,2][4,6][7,8]B[2,3][4,5][6,8]C[4,6][30,34][32,34]D[2,4][10,13][4,5]E[1,3][27,29][20,21]例求每个DMU的区间效率值解、以A为例：首先建立确定型模型，求得其最高效率值∴A的区间效率值为:再建立确定型模型，求得其最高效率值DMUX1Y1Y2A[1,2][4,6][7,8]B[2,3138计算结果：DMUX1Y1Y2区间效率值A[1,2][4,6][7,8][0.17,1]B[2,3][4,5][6,8][0.1,0.6]C[4,6][30,34][32,34][0.25,1]D[2,4][10,13][4,5][0.09,0.72]E[1,3][27,29][20,21][1,1](3)区间DMU的评价区间DMU的分类：区间有效区间部分有效区间无效计算结果：DMUX1Y1Y2区间效率值A[1,2][4,6]139区间DMU的排序：-----按区间效率值对其排序，最终归结为区间数的排序(4)区间DEA的其它研究领域

DEA其它模型（除C2R外）的区间扩展及其应用研究投影问题

DMU的鲁棒性分析……区间DMU的排序：(4)区间DEA的其它研究领域DE140第一节特尔菲（Delphi）法第二节层次分析法（AHP）

(AnalyticsHierarchyProcess)第三节数据包络分析法（DEA)第四节多准则评估的区间评估方法

（IntervalAnalysis)第十章多目标决策

第一节特尔菲（Delphi）法第十章多目标决策

141多目标决策例子干部评估：德才兼备教师晋升：教学数量与质量；科研成果购买冰箱：价格，质量，耗电，品牌等球员选择：技术，体能，经验，心理找对象：容貌，学历，气质，家庭状况多目标决策例子干部评估：德才兼备142多目标决策与单目标决策区别点评价与向量评价单目标：方案dj←评价值f(dj)

多目标：方案dj←评价向量(f1(dj)，f2(dj)…，fp(dj))全序与半序:方案di与dj之间单目标问题:di<dj;di=dj;di>dj

多目标问题：除了这三种情况之外,还有一种情况是不可比较大小决策者偏好：多目标决策过程中，反映决策者对目标的偏好。解概念区别多目标决策与单目标决策区别点评价与向量评价143解的概念单目标决策的解只有一种（绝对）最优解多目标决策的解有下面四种情况：绝对最优解劣解有效解(pereto解)弱有效解解的概念单目标决策的解只有一种（绝对）最优解144数学外语专业解的类型d1807588有效解d2758185有效解d3767889有效解d4858292劣解d5797486绝对最优解多目标决策解的例子数学外语专业解的类型d1807588有效解d2758185有145第一节特尔菲(Ｄeｌｐｈｉ)法 特尔菲法是美国兰德公司于1964年首先用于决策领域的，是一种重要的的多目标决策方法，其主要优点是简明直观。实践中经常使用特尔菲法确定各目标权数，并进行多目标决策。思路：特尔菲法是请一批有经验的专家(老手)对如何确定各目标权数发表意见，然后用统计平均方法估算出各目标的权数。第一节特尔菲(Ｄeｌｐｈｉ)法 特尔菲法是美国兰德公司于146步骤:1．把较为详尽的背景资料发送给选定的n位专家，请专家们分别各自独立地估计各目标的权数列入下表中。

目标权重估计值专家数f1f2……fp1w11w12……w1p2w21w22……w2pM……………………Nwn1wn2……wnp步骤:目标权重估计值专家数f1f2…1472．计算各目标权数的样本平均值及各偏差值。样本平均值为

å===niijjpjwnwM1,,2,1

,1)(L每一位专家对各目标权数估计值与平均估计值的偏差为

)(jijijwMw-=D3．进一步分析)(jwM是否合理，特别让估计值偏差△ij较大的专家充分发表意见，消除估计中的一些误解。4．附上进一步的补充资料后，请各专家重新对各目标权数作出估计值wij，再一次计算平均估计值及方差。åå==--===nijijjniijjwMwnwDpjwnwM121)](~[11)(~,,2,1

,1)(~L5.重复上述步骤，经过几次反复后，直至第k步估计方差小于或等于预先给定的标准)0(>ee。2．计算各目标权数的样本平均值及各偏差值。样本平均值为148多目标决策培训课件149DELPHI法使用要点独立性，专家尽可能互不见面，防止心理影响（权压，声压，从众行为）统计处理滤波技术DELPHI法使用要点独立性，专家尽可能互不见面，防止心150第二节

层次分析法

(AnalyticsHierarchyProcess,AHP)一、简介二、基本模型三、基本步骤四、应用案例第二节层次分析法

(AnalyticsHierarchy151简介层次分析法是由美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty在70年代中期提出的。它的基本思想是把一个复杂的问题分解为各个组成因素，并将这些因素按支配关系分组，从而形成一个有序的递阶层次结构。通过两两比较的方式确定层次中诸因素的相对重要性，然后综合人的判断以确定决策诸因素相对重要性的总排序。层次分析法的出现给决策者解决那些难以定量描述的决策问题带来了极大的方便，从而使它的应用几乎涉及任何科学领域。简介层次分析法是由美国匹兹堡大152基本模型—单层次模型1.单层次模型结构C—目标，Ai—隶属C的n个评价元素决策者问题：由决策者在这个目标意义下对这n个元素进行评价，对他们进行优劣排序并作出相对重要性的权量。CA1A2An……基本模型—单层次模型1.单层次模型结构C—目标，CA1A2153

2.思想：

(1)整体判断n个元素的两两比较。

(2)定性判断定量表示（通过标量 ）

（3）通过数学公式（特征值）确定各元素评价权重

2.思想：154

3.计算步骤（1）构造两两比较判断矩阵（2）计算单一准则下元素的相对重要性(层次单排序)（3）单层次判断矩阵A的一致性检验多目标决策培训课件155(1)判断矩阵标度（aij）的含义：Ai比Aj时由决策者回答下列问题所得(1)判断矩阵156判断矩阵中的元素具有下述性质例：决策者认为Ai比Aj明显重要，则