第6积分-2 .换元分部反常

求不定积分：P1551(3,4)[讲解]：回顾第一节：定积分的概念1、定义：2、几何意义：各部分面积代数和3、可积条件：且只有有限个间断点第三节：微积分基本定理牛顿-莱布尼茨公式：函数,则第二节：定积分的性质第四节：定积分的换元法换元必换限配元不换限注意：二、定积分的分部积分法第四节不定积分机动目录上页下页返回结束一、定积分的换元法换元积分法分部积分法定积分换元积分法分部积分法定积分的换元法和分部积分法

第6章例1.

计算解:

令则∴原式=机动目录上页下页返回结束且换元必换限例2.

计算解:

令则∴原式=机动目录上页下页返回结束且例3：[分析]：1、P16932、P1694巩固：P1693，4例4.证:(1)若(2)若偶倍奇零机动目录上页下页返回结束巩固1：P1691（8，9，10）[提示]：巩固2：P1695（1，2）[提示]：二、定积分的分部积分法

定理2.

则证:机动目录上页下页返回结束例5：[分析]反对幂指三例6.

计算[分析]:原式=机动目录上页下页返回结束巩固：P1692(2,3,5,6,9，10）（配元）例7.

证明：证:令

n

为偶数

n

为奇数则令则机动目录上页下页返回结束由此得递推公式于是而故所证结论成立.机动目录上页下页返回结束巩固：P1696（1，2）[提示]：内容小结

基本积分法换元积分法分部积分法换元必换限配元不换限边积边代限机动目录上页下页返回结束作业

P1692（1、4、7）二、无界函数的反常积分第五节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分机动目录上页下页返回结束反常积分(广义积分)广义积分与函数

第六章一、无穷限的反常积分引例.

曲线和直线及

x轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束1.

设若存在,则称此极限为

f(x)的无穷限反常积分,记作这时称反常积分收敛

;如果上述极限不存在,就称反常积分发散

.类似地

,若则定义机动目录上页下页返回结束定义则定义(c

为任意取定的常数)只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.机动目录上页下页返回结束引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式:机动目录上页下页返回结束例1.

计算反常积分解:机动目录上页下页返回结束例2.

计算反常积分解:例3.

证明：证:当p=1时有当p≠1时有当p>1时收敛;p≤1

时发散.因此,当p>1

时,反常积分收敛,其值为当p≤1

时,反常积分发散.机动目录上页下页返回结束二、无界函数的反常积分引例:曲线所围成的与

x轴,y

轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为机动目录上页下页返回结束定义2.

设而在点a

的右邻域内无界,存在,这时称反常积分收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若而在b

的左邻域内无界,若极限数f(x)在[a,b]上的反常积分,记作则定义机动目录上页下页返回结束则称此极限为函而在点

c

的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).机动目录上页下页返回结束则定义注意:

若瑕点的计算表达式:则也有类似牛–莱公式的若

b

为瑕点,则若a

为瑕点,则若a,b

都为瑕点,则则可相消吗?机动目录上页下页返回结束下述解法是否正确:,∴积分收敛例4.

计算反常积分解:

显然瑕点为

a,所以原式机动目录上页下页返回结束例5.

讨论反常积分的收敛性.解:所以反常积分发散.巩固：P1731（2,3,5,6,8)

反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限机动目录上页下页返回结束内容小结作业：P1731（1、4、7）

预备内容三、函数1.定义机动目录上页下页返回结束这个特殊函数在内收敛.(证明略）2.性质

递推公式机动目录上页下页返回结束证:(分部积分)注意到:例6:[分析]：例7:[分析]：例8:[分析]