材料力学课件之02结构的几何构造分析

结构力学(StructuralMechanics)授课人：赵荣国土木工程与力学学院12/15/20221结构力学结构力学授课人：赵荣国12/12/20221结构力学第二章结构的几何构造分析(GeometricConstructionAnalysisofStructure)12/15/20222结构力学第二章结构的几何构造分析12/12/20222结构力学2-1几何构造分析的几个概念2-2平面几何不变体系的组成规则2-3平面杆件体系的计算自由度--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------目录

(contents)12/15/20223结构力学2-1几何构造分析的几个概念---------------基本要求理解：几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系和刚片、约束、自由度等概念。掌握：体系的计算自由度的概念及计算，无多余约束的几何不变体系的几何组成规则，及常见体系的几何组成分析。了解：结构的几何特性与静力特性的关系。12/15/20224结构力学基本要求理解：几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系和刚片§2-1几何构造分析的几个概念2-1-1几何构造分析的目的研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解题途径。由若干杆件用各种结点连接而成的杆件体系，当能承受一定范围内任意荷载时，称为杆件结构。不能承受任意荷载的体系称为机构。12/15/20225结构力学§2-1几何构造分析的几个概念2-1-1几何构造分析的几何不变体系(geometricallyunchangeablesystem)是体系的相对位置和形状是不改变的。几何可变体系(geometricallychangeablesystem)是体系的相对位置和形状是可以改变的。几何常变体系(constantlychangeablesystem)，可发生有限位移。几何瞬变体系(instantaneouslychangeablesystem)，可发生微小位移。2-1-2体系的分类在忽略变形的前提下，体系可分为两类：12/15/20226结构力学几何不变体系(geometricallyunchangea(a)形状位置都不变(b)形状可变(c)位置可变(d)形状可微小变化图2-1几何不变体系几何常变体系几何常变体系几何瞬变体系12/15/20227结构力学(a)形状位置都不变(b)形状可变(c)位置可变(d)APANNPNNPAPΔ是微量ββ∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞由于瞬变体系能产生很大的内力，故几何常变体系和几何瞬变体系不能作为建筑结构使用.只有几何不变体系才能作为建筑结构使用！！发生微量位移12/15/20228结构力学APANNPNNPAPΔ是微量ββ∑Y=0，N=0.5P/s自由度(degreeoffreedom)是指确定体系空间位置所需的独立坐标数，或体系运动时可以独立改变的几何参数的数目，自由度记作n。2-1-3自由度

12/15/20229结构力学自由度(degreeoffreedom)是指确定体系空间根据上述自由度定义，图2-2所示之平面的一自由点A以及一自由平面刚体AB(也称刚片，其形状任意)的自由度分别为n=2,n=3,(a)n=2ox1yAxy1y1自由点与自由刚体的自由度图2-2xByAxAyB(b)n=3A动画演示动画演示12/15/202210结构力学根据上述自由度定义，图2-2所示之平面的一自由点A以及一自由2-1-2约束能减少体系自由度的装置称为约束(有时也称联系)，能减少s个自由度的装置称为s个约束。常见的约束有：2-1-4约束能减少体系自由度的装置称为约束(restraint有时也称联系)，能减少s个自由度的装置称为s个约束。常见的约束有：12/15/202211结构力学2-1-2约束能减少体系自由度的装置称为约束(有时也称联系图2-3xyAxAy1o2A(a)单铰As=2(b)单铰杆12

s=12xyAxAyA1231o单铰仅连接两个刚片的铰称为单铰，如图2-3a单链杆仅用于将两个刚片连接在一起的两端铰结的杆件称为链杆。图2-3b中之12杆即为链杆。动画演示动画演示12/15/202212结构力学图2-3xyAxAy1o2A(a)单铰As=2单刚结点仅连接两杆的刚结点，图2-3c所示之B处即为单刚结点。AxyAyxABo(c)单刚结Bs=3

图2-312/15/202213结构力学单刚结点仅连接两杆的刚结点，图2-3c所示之B处即为单刚结(d)一铰连接多根杆S=2(n-1)复铰复刚结(f)多杆刚结S=3(n-1)(e)一杆连接多根杆S=2n-3复链杆约束图2-4同时连接多个刚片的铰、链杆和刚结点分别称为复铰、复链杆、复刚结点。分别如图2-4d、e、f所示：这些约束的约束数s及相当的单铰、(单)链杆和单刚结点个数是多少呢？12/15/202214结构力学(d)一铰连接多根杆复铰复刚结(f)多杆刚结(e)一杆连接多2-1-5约束分类根据对自由度的影响，体系中的约束可分为两类：除去约束后，体系的自由度将增加，这类约束称为必要约束，如图2-5a中结构除去水平链杆A后，原来的结构变为图2-5b所示的可动体系，因此A是必要约束。(a)超静定(b)几何常变ABC图2-512/15/202215结构力学2-1-5约束分类根据对自由度的影响，体系中的约束可分为除去约束后，体系的自由度不变，这类约束称为多余约束。多余约束和必要约束图2-5(a)超静定ACB(c)静定12/15/202216结构力学除去约束后，体系的自由度不变，这类约束称为多余约束。多余约束两刚片由两根链杆连接，若每根链杆的两端均分别连在两个刚片上，则这两根链杆的约束作用等效于该两根链杆交点处的一个O铰的约束作用，如图(a)所示，这种等效约束(即O铰)称为瞬铰

(有时也称虚铰）。(a)(b)(c)2-1-6瞬铰12/15/202217结构力学两刚片由两根链杆连接，若每根链杆的两端均分别在几何组成分析中，瞬铰在无穷远时的情况(a)瞬变体系(b)瞬变体系(c)常变体系关于∞点和∞线的结论：（1）每个方向有一个∞点（即该方向各平行线的交点）（2）不同方向有不同的∞点（3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线（4）各有限点都不在∞线上12/15/202218结构力学在几何组成分析中，瞬铰在无穷远时的情况(a)瞬变体系(b)oo等价o

称为虚铰铰与链杆的关系图2-612/15/202219结构力学oo等价o称为虚铰铰与链杆的关系图2-612/12/2刚结与链杆的关系图2-712/15/202220结构力学刚结与链杆的关系图2-712/12/202220结构力学§2-2平面几何不变体系的组成规则静定结构—几何特征为无多余约束几何不变。土木和水利等工程结构，都必须是几何不变体系，根据静力特征，结构可分为静定和超静定的。结构(几何不变)静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合结构)无多余约束超静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合结构)有多余约束12/15/202221结构力学§2-2平面几何不变体系的组成规则静定结构—几何特征规则1一刚片规则（二元体规则）2-2-1静定结构组成规则一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。ACA12图2-812/15/202222结构力学规则1一刚片规则（二元体规则）2-2-1静定结构组成图2-9a符合定义为二元体，而图2-9b因为不符合上述定义条件，因此不是二元体。(a)(b)二元体和非二元体图2-9在体系上用两个不共线杆件或刚片连接一个新结点，这种产生新结点的装置称为二元体。12/15/202223结构力学图2-9a符合定义为二元体，而图2-9b因为不符合上述定义基于二元体的定义，在任意一体系上加二元体或减二元体都不会改变体系的可变性。利用加二元体规则，可在一个按上述规则构成的静定结构基础上，通过增加二元体组成新的静定结构，如此组成的结构称为主从结构，基础部分称为主结构或基本部分，后增加的二元体部分称为从结构或附属部分。图2-10所示之结构均为主从结构。12/15/202224结构力学基于二元体的定义，在任意一体系上加二元体或减二元体都不会改变EACBDF附属部分(a)附属部分基本部分(b)附属部分基本部分(c)主从结构图2-1012/15/202225结构力学EACBDF附属部分(a)附属部分基本部分(b)附属部分基本图2-11规则2两刚片规则两个刚片用一个铰和一根链杆相联结，且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变的整体，并且无多余约束。12/15/202226结构力学图2-11规则2两刚片规则两个刚片用一个铰和一根链杆(a)一铰一杆单体(或联合)结构图2-12当铰由两链杆构成时，规则叙述改为：两个刚片用三个既不平行也不交于一点的链杆相连构成静定结构，如图2-12b、c所示。(b)三杆情况(c)一虚铰一杆需要注意的是：12/15/202227结构力学(a)一铰一杆单体(或联合)结构图2-12当铰由两链杆构若链杆通过铰，则所组成的体系为瞬变体系，图所示的即为瞬变体系。瞬变体系图2-1312/15/202228结构力学若链杆通过铰，则所组成的体系为瞬变体系，图所示的即为瞬变体系规则3三刚片规则三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变的整体，并且无多余约束。图2-14B12/15/202229结构力学规则3三刚片规则三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一三铰结构和体系图2-15(a)三铰刚架(b)三铰拱(c)有虚铰情况(d)三铰重合体系根据这一规则可构造出如图2-15所示的各种三铰结构。12/15/202230结构力学三铰结构和体系图2-15(a)三铰刚架(b)三铰拱(c刚片的形状是可以任意转换的，例如图2-15a三铰刚架中的折杆可以换成直杆。三个铰可以是真实铰，也可以是二链杆组成的虚铰，如图2-15c所示。若三铰共线，则为瞬变体系，例如图2-15d所示之体系。需要注意的是：12/15/202231结构力学刚片的形状是可以任意转换的，例如图2-15a三铰刚架中的折两个刚片用三个链杆相连，且三个链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，并且无多余约束。规则4两刚片规则的推论12/15/202232结构力学两个刚片用三个链杆相连，且三个链杆不交于同一点，则组ABCDEFG1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。几种常用的分析途径依次去掉二元体A、B、C、D后，剩下大地。故该体系为无多余约束的几何不变体系。ACBD依次去掉二元体A、B、C、D、E、F、G后剩下大地，故该体系为几何不变体系且无多余约束。12/15/202233结构力学ABCDEFG1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。几种2、如上部体系于基础用满足要求三个约束相联时，可去掉基础，只分析上部。抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有一个自由度的几何可体系。12/15/202234结构力学2、如上部体系于基础用满足要求三个约束相联时，抛开基础，分析故：该体系为无多余约束的几何不变体系。抛开基础，只分析上部，上部体系由左右两刚片用一铰和一链杆相连。12/15/202235结构力学故：该体系为无多余约束的几何不变体系。抛开基础，只分析上部，ⅠⅡABCFDⅢ3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆形成的瞬铰相连，而不用单铰相连。O12O23O13如图示，三刚片用三个不共线的铰相连，故：该体系为无多余约束的几何不变体系。如将基础、ADE、EFC作为刚片，将找不出两两相联的三个铰。ABDECFO23O23O23O13O13O13O12O12O1212/15/202236结构力学ⅠⅡABFDⅢ3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)如图示，三刚片以共线三铰相连几何瞬变体系三刚片以三个无穷远处虚铰相连组成瞬变体系12/15/202237结构力学ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅱ,Ⅲ)ⅢⅡⅠ12/15/202238结构力学三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。4④该体系为无多余约束的几何不变体系。①抛开基础,只分析上部。②在体系内确定三个刚片。③三刚片用三个不共线的三铰相连。12/15/202239结构力学④该体系为无多余约束的几何不变体系。①抛开基础,只分析上部。有一个多余约束的几何不变体系12/15/202240结构力学有一个多余约束的几何不变体系12/12/202240结构力学该体系是几何不变体系有四个多余约束。5、由基础开始逐件组装ABCDB12/15/202241结构力学该体系是几何不变体系有四个多余约束。5、由基础开始逐件组装A有基础开始，依次组装梁AB、BC、CD,故原体系为无多余约束几何不变体系。

ABCDEFGHABCDB由基础开始，依次组装梁AB、BCD、加二元体CEA后为无多余约束的几何不变体系，作为刚片Ⅰ，再与刚片FGH用交于一点的三根链杆相连，故原体系为瞬变体系。12/15/202242结构力学有基础开始，依次组装梁AB、BC、CD,故原体系为无多余约束6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个等效（与外部连结等效）刚片代替它。有一个多余约束的几何不变体系ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系12/15/202243结构力学6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的前进一步分析可得，体系是无多余约束的几何不变体系12/15/202244结构力学进一步分析可得，体系是无多余约束的几何不变体系12/12/2ⅢⅠⅡⅢA三个刚片用共点的三个铰相连，将虚铰用单铰代替，可见刚片Ⅰ、Ⅱ均可绕刚片Ⅲ上A的点转动，故该体系为有两个自由度的几何瞬变体系。(ⅠⅡ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)瞬铰和单铰在分析体系动与不动时是等效的，在确定体系作何种运动时两者不等效的。12/15/202245结构力学ⅢⅠⅡⅢA三个刚片用共点的三个铰相连，将虚铰用单铰代替，可见

ⅠⅡⅢⅡⅢ(ⅠⅡ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)ⅡⅢⅡⅢⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)瞬变体系有一个多余约束的几何不变体系大家一起来12/15/202246结构力学ⅠⅡⅢⅡⅢ(ⅠⅡ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)ⅡⅢⅡABCDEFGH

ⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)

无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系瞬变体系(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)

大家一起来12/15/202247结构力学ABCDEFGHⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,

无多余约束的几何不变体系变体系

大家一起来12/15/202248结构力学无多余约束的几何大家一起来12/12/202248结2-2-2组成分析举例[例题2-1]

分析图2-16a所示体系的几何组成加二元体减二元体图2-16(b)(c)(a)12/15/202249结构力学2-2-2组成分析举例[例题2-1]分析图2-16a[例题2-2]

试对图2-17所示体系进行几何组成分析。ACBACBD图2-17EACBDFEACBDF12/15/202250结构力学[例题2-2]试对图2-17所示体系进行几何组成分析。A[例题2-3]

试对图2-18所示体系进行几何组成分析。图2-18IIIIIIACBD12/15/202251结构力学[例题2-3]试对图2-18所示体系进行几何组成分析。三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况①一个虚铰在无穷远处几何不变体瞬变体系②两个虚铰在无穷远处几何不变体瞬变体系12/15/202252结构力学三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况①一个虚铰在无穷远处几何不③三个虚铰在无穷远处瞬变体系常变体系12/15/202253结构力学③三个虚铰在无穷远处瞬变体系常变体系12/12/20225作业2-1(a)，(b)2-2(c)2-3(b),(c)2-7(b)2-9(c)12/15/202254结构力学作业2-1(a)，(b)12/12/202254结构力学§2-3平面杆件体系的计算自由度

复杂体系并不都能按照结构组成规则来分析，如何来确定体系为几何可变或是几何不变？可以根据其真实自由度S来判断（S>0几何可变,S=0几何不变）。一个平面体系通常都是由若干部件（刚片或结点）加入一些约束组成。按照各部件都是自由的情况，算出各部件自由度总数，再算出所加入的约束总数，将两者的差值定义为：体系的计算自由度(computationaldegreeoffreedom)

W。W=（各部件自由度总数）－（全部约束总数）12/15/202255结构力学§2-3平面杆件体系的计算自由度复杂体系并不都能必要约束＋多余约束数设多余约束为n：由于n≥0S≥W故W=（各部件自由度总数）－（全部约束总数）S=（各部件自由度总数）－（必要约束）W=S-n即：n=S-W12/15/202256结构力学必要约束＋多余约束数设多余约束为n：由于n≥0S≥W算法1：总自由度＝3m约束总数＝3g+2h+bW＝3m-(3g+2h+b)体系m个刚片铰结h个刚结g个链杆b个受约束没有多余约束有多余约束的刚片：没有多余约束一个多余约束两个多余约束三个多余约束12/15/202257结构力学算法1：总自由度＝3m约束总数＝3g+2h+bW＝3m-例：求计算自由度分析m=1无多余约束刚片三个自由度W=3×1-(3×3+2×0+4×1)=3-13=-10显然是几何不变体，即S＝0多余约束n＝S－W＝10链杆4个b＝4铰结h＝0刚结g＝312/15/202258结构力学例：求计算自由度分析m=1W=3×1-(3×3+2×0+4算法2：则：W＝2j-b体系j个结点受构成链杆约束12/15/202259结构力学算法2：则：W＝2j-b体系j个结点受构成链杆约束12/例：刚片m＝7D、C为复杂铰，各相当于两个简单铰简单铰h＝9，链杆数b＝4，刚结=0W=37-29-41=-1分析：方法二方法一结点j＝7AC、CB为复链杆，各相当于三个单链杆链杆数b=15W=27-15=-112/15/202260结构力学例：刚片m＝7D、C为复杂铰，简单铰h＝9，链杆数算法3(混合算法)：

则：W＝(3m+2j)-(3g+2h+b)体系m个刚片j个结点12/15/202261结构力学算法3(混合算法)：则：W＝(3m+2j)-(3g+2h+例：刚片m＝2，结点j＝2刚结g=0，简单铰h＝1，链杆数b＝9，W=（32+22）-（21+91）=-1分析：W＝(3m+2j)-(3g+2h+b)12/15/202262结构力学例：刚片m＝2，结点j＝2刚结g=0，简单铰h＝1，由计算自由度W，可进行如下定性分析：若W>0，则S>0，体系是几何可变的。若W=0，则S=n，如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则为几何可变的。若W<0，则n>0，体系有多余约束。W=S-n12/15/202263结构力学由计算自由度W，可进行如下定性分析：若W>0，则S>0，体系几何构造与静力特性的关系W＝3m-(3g+2h+b)简单铰结简单刚结简单链杆平衡方程数目未知力数目计算自由

W

=平衡方程数目–未知力个数若W>0，则平衡方程个数多于未知力个数。（方程组无解，即不能维持平衡）若W=0，则平衡方程个数等于未知力个数。若W<0，则平衡方程个数少于未知力个数。12/15/202264结构力学几何构造与静力特性的关系W＝3m-(3g+2h+b)简单铰结体系的几何组成与静力特性的关系体系的分类几何组成特性静力特性几何不变体系几何可变体系无多余约束的几何不变体系有多余约束的几何不变体系几何瞬变体系几何常变体系约束数目正好布置合理约束有多余布置合理约束数目够布置不合理缺少必要的约束一定有多余约束静定结构：仅由平衡条件就可求出全部反力和内力超静定结构：仅由平衡条件求不出全部反力和内力内力为无穷大或不确定不存在静力解答12/15/202265结构力学体系的几何组成与静力特性的关系体系的分类几何组成特性静力特性作业2-12(a)2-12(b)12/15/202266结构力学作业2-12(a)12/12/202266结构力学Theend首页12/15/202267结构力学Theend首页12/12/202267结构力学结构力学(StructuralMechanics)授课人：赵荣国土木工程与力学学院12/15/202268结构力学结构力学授课人：赵荣国12/12/20221结构力学第二章结构的几何构造分析(GeometricConstructionAnalysisofStructure)12/15/202269结构力学第二章结构的几何构造分析12/12/20222结构力学2-1几何构造分析的几个概念2-2平面几何不变体系的组成规则2-3平面杆件体系的计算自由度--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------目录

(contents)12/15/202270结构力学2-1几何构造分析的几个概念---------------基本要求理解：几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系和刚片、约束、自由度等概念。掌握：体系的计算自由度的概念及计算，无多余约束的几何不变体系的几何组成规则，及常见体系的几何组成分析。了解：结构的几何特性与静力特性的关系。12/15/202271结构力学基本要求理解：几何不变体系、几何可变体系、瞬变体系和刚片§2-1几何构造分析的几个概念2-1-1几何构造分析的目的研究结构正确的连接方式，确保所设计的结构能承受荷载，维持平衡，不至于发生刚体运动。在结构计算时，可根据其几何组成情况，选择适当的计算方法；分析其组成顺序，寻找简便的解题途径。由若干杆件用各种结点连接而成的杆件体系，当能承受一定范围内任意荷载时，称为杆件结构。不能承受任意荷载的体系称为机构。12/15/202272结构力学§2-1几何构造分析的几个概念2-1-1几何构造分析的几何不变体系(geometricallyunchangeablesystem)是体系的相对位置和形状是不改变的。几何可变体系(geometricallychangeablesystem)是体系的相对位置和形状是可以改变的。几何常变体系(constantlychangeablesystem)，可发生有限位移。几何瞬变体系(instantaneouslychangeablesystem)，可发生微小位移。2-1-2体系的分类在忽略变形的前提下，体系可分为两类：12/15/202273结构力学几何不变体系(geometricallyunchangea(a)形状位置都不变(b)形状可变(c)位置可变(d)形状可微小变化图2-1几何不变体系几何常变体系几何常变体系几何瞬变体系12/15/202274结构力学(a)形状位置都不变(b)形状可变(c)位置可变(d)APANNPNNPAPΔ是微量ββ∑Y=0，N=0.5P/sinβ→∞由于瞬变体系能产生很大的内力，故几何常变体系和几何瞬变体系不能作为建筑结构使用.只有几何不变体系才能作为建筑结构使用！！发生微量位移12/15/202275结构力学APANNPNNPAPΔ是微量ββ∑Y=0，N=0.5P/s自由度(degreeoffreedom)是指确定体系空间位置所需的独立坐标数，或体系运动时可以独立改变的几何参数的数目，自由度记作n。2-1-3自由度

12/15/202276结构力学自由度(degreeoffreedom)是指确定体系空间根据上述自由度定义，图2-2所示之平面的一自由点A以及一自由平面刚体AB(也称刚片，其形状任意)的自由度分别为n=2,n=3,(a)n=2ox1yAxy1y1自由点与自由刚体的自由度图2-2xByAxAyB(b)n=3A动画演示动画演示12/15/202277结构力学根据上述自由度定义，图2-2所示之平面的一自由点A以及一自由2-1-2约束能减少体系自由度的装置称为约束(有时也称联系)，能减少s个自由度的装置称为s个约束。常见的约束有：2-1-4约束能减少体系自由度的装置称为约束(restraint有时也称联系)，能减少s个自由度的装置称为s个约束。常见的约束有：12/15/202278结构力学2-1-2约束能减少体系自由度的装置称为约束(有时也称联系图2-3xyAxAy1o2A(a)单铰As=2(b)单铰杆12

s=12xyAxAyA1231o单铰仅连接两个刚片的铰称为单铰，如图2-3a单链杆仅用于将两个刚片连接在一起的两端铰结的杆件称为链杆。图2-3b中之12杆即为链杆。动画演示动画演示12/15/202279结构力学图2-3xyAxAy1o2A(a)单铰As=2单刚结点仅连接两杆的刚结点，图2-3c所示之B处即为单刚结点。AxyAyxABo(c)单刚结Bs=3

图2-312/15/202280结构力学单刚结点仅连接两杆的刚结点，图2-3c所示之B处即为单刚结(d)一铰连接多根杆S=2(n-1)复铰复刚结(f)多杆刚结S=3(n-1)(e)一杆连接多根杆S=2n-3复链杆约束图2-4同时连接多个刚片的铰、链杆和刚结点分别称为复铰、复链杆、复刚结点。分别如图2-4d、e、f所示：这些约束的约束数s及相当的单铰、(单)链杆和单刚结点个数是多少呢？12/15/202281结构力学(d)一铰连接多根杆复铰复刚结(f)多杆刚结(e)一杆连接多2-1-5约束分类根据对自由度的影响，体系中的约束可分为两类：除去约束后，体系的自由度将增加，这类约束称为必要约束，如图2-5a中结构除去水平链杆A后，原来的结构变为图2-5b所示的可动体系，因此A是必要约束。(a)超静定(b)几何常变ABC图2-512/15/202282结构力学2-1-5约束分类根据对自由度的影响，体系中的约束可分为除去约束后，体系的自由度不变，这类约束称为多余约束。多余约束和必要约束图2-5(a)超静定ACB(c)静定12/15/202283结构力学除去约束后，体系的自由度不变，这类约束称为多余约束。多余约束两刚片由两根链杆连接，若每根链杆的两端均分别连在两个刚片上，则这两根链杆的约束作用等效于该两根链杆交点处的一个O铰的约束作用，如图(a)所示，这种等效约束(即O铰)称为瞬铰

(有时也称虚铰）。(a)(b)(c)2-1-6瞬铰12/15/202284结构力学两刚片由两根链杆连接，若每根链杆的两端均分别在几何组成分析中，瞬铰在无穷远时的情况(a)瞬变体系(b)瞬变体系(c)常变体系关于∞点和∞线的结论：（1）每个方向有一个∞点（即该方向各平行线的交点）（2）不同方向有不同的∞点（3）各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线（4）各有限点都不在∞线上12/15/202285结构力学在几何组成分析中，瞬铰在无穷远时的情况(a)瞬变体系(b)oo等价o

称为虚铰铰与链杆的关系图2-612/15/202286结构力学oo等价o称为虚铰铰与链杆的关系图2-612/12/2刚结与链杆的关系图2-712/15/202287结构力学刚结与链杆的关系图2-712/12/202220结构力学§2-2平面几何不变体系的组成规则静定结构—几何特征为无多余约束几何不变。土木和水利等工程结构，都必须是几何不变体系，根据静力特征，结构可分为静定和超静定的。结构(几何不变)静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合结构)无多余约束超静定结构(梁、刚架、拱、桁架、组合结构)有多余约束12/15/202288结构力学§2-2平面几何不变体系的组成规则静定结构—几何特征规则1一刚片规则（二元体规则）2-2-1静定结构组成规则一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。ACA12图2-812/15/202289结构力学规则1一刚片规则（二元体规则）2-2-1静定结构组成图2-9a符合定义为二元体，而图2-9b因为不符合上述定义条件，因此不是二元体。(a)(b)二元体和非二元体图2-9在体系上用两个不共线杆件或刚片连接一个新结点，这种产生新结点的装置称为二元体。12/15/202290结构力学图2-9a符合定义为二元体，而图2-9b因为不符合上述定义基于二元体的定义，在任意一体系上加二元体或减二元体都不会改变体系的可变性。利用加二元体规则，可在一个按上述规则构成的静定结构基础上，通过增加二元体组成新的静定结构，如此组成的结构称为主从结构，基础部分称为主结构或基本部分，后增加的二元体部分称为从结构或附属部分。图2-10所示之结构均为主从结构。12/15/202291结构力学基于二元体的定义，在任意一体系上加二元体或减二元体都不会改变EACBDF附属部分(a)附属部分基本部分(b)附属部分基本部分(c)主从结构图2-1012/15/202292结构力学EACBDF附属部分(a)附属部分基本部分(b)附属部分基本图2-11规则2两刚片规则两个刚片用一个铰和一根链杆相联结，且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变的整体，并且无多余约束。12/15/202293结构力学图2-11规则2两刚片规则两个刚片用一个铰和一根链杆(a)一铰一杆单体(或联合)结构图2-12当铰由两链杆构成时，规则叙述改为：两个刚片用三个既不平行也不交于一点的链杆相连构成静定结构，如图2-12b、c所示。(b)三杆情况(c)一虚铰一杆需要注意的是：12/15/202294结构力学(a)一铰一杆单体(或联合)结构图2-12当铰由两链杆构若链杆通过铰，则所组成的体系为瞬变体系，图所示的即为瞬变体系。瞬变体系图2-1312/15/202295结构力学若链杆通过铰，则所组成的体系为瞬变体系，图所示的即为瞬变体系规则3三刚片规则三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一条直线上，则组成几何不变的整体，并且无多余约束。图2-14B12/15/202296结构力学规则3三刚片规则三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一三铰结构和体系图2-15(a)三铰刚架(b)三铰拱(c)有虚铰情况(d)三铰重合体系根据这一规则可构造出如图2-15所示的各种三铰结构。12/15/202297结构力学三铰结构和体系图2-15(a)三铰刚架(b)三铰拱(c刚片的形状是可以任意转换的，例如图2-15a三铰刚架中的折杆可以换成直杆。三个铰可以是真实铰，也可以是二链杆组成的虚铰，如图2-15c所示。若三铰共线，则为瞬变体系，例如图2-15d所示之体系。需要注意的是：12/15/202298结构力学刚片的形状是可以任意转换的，例如图2-15a三铰刚架中的折两个刚片用三个链杆相连，且三个链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，并且无多余约束。规则4两刚片规则的推论12/15/202299结构力学两个刚片用三个链杆相连，且三个链杆不交于同一点，则组ABCDEFG1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。几种常用的分析途径依次去掉二元体A、B、C、D后，剩下大地。故该体系为无多余约束的几何不变体系。ACBD依次去掉二元体A、B、C、D、E、F、G后剩下大地，故该体系为几何不变体系且无多余约束。12/15/2022100结构力学ABCDEFG1、去掉二元体，将体系化简单，然后再分析。几种2、如上部体系于基础用满足要求三个约束相联时，可去掉基础，只分析上部。抛开基础，分析上部，去掉二元体后，剩下两个刚片用两根杆相连故：该体系为有一个自由度的几何可体系。12/15/2022101结构力学2、如上部体系于基础用满足要求三个约束相联时，抛开基础，分析故：该体系为无多余约束的几何不变体系。抛开基础，只分析上部，上部体系由左右两刚片用一铰和一链杆相连。12/15/2022102结构力学故：该体系为无多余约束的几何不变体系。抛开基础，只分析上部，ⅠⅡABCFDⅢ3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散些，刚片与刚片间用链杆形成的瞬铰相连，而不用单铰相连。O12O23O13如图示，三刚片用三个不共线的铰相连，故：该体系为无多余约束的几何不变体系。如将基础、ADE、EFC作为刚片，将找不出两两相联的三个铰。ABDECFO23O23O23O13O13O13O12O12O1212/15/2022103结构力学ⅠⅡABFDⅢ3、当体系杆件数较多时，将刚片选得分散ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)如图示，三刚片以共线三铰相连几何瞬变体系三刚片以三个无穷远处虚铰相连组成瞬变体系12/15/2022104结构力学ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ）(Ⅰ,Ⅲ)（Ⅰ,Ⅱ）（Ⅱ，Ⅲ三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。4、由一基本刚片开始，逐步增加二元体，扩大刚片的范围，将体系归结为两个刚片或三个刚片相连，再用规则判定。(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅱ,Ⅲ)ⅢⅡⅠ12/15/2022105结构力学三刚片用不共线三铰相连，故无多余约束的几何不变体系。4④该体系为无多余约束的几何不变体系。①抛开基础,只分析上部。②在体系内确定三个刚片。③三刚片用三个不共线的三铰相连。12/15/2022106结构力学④该体系为无多余约束的几何不变体系。①抛开基础,只分析上部。有一个多余约束的几何不变体系12/15/2022107结构力学有一个多余约束的几何不变体系12/12/202240结构力学该体系是几何不变体系有四个多余约束。5、由基础开始逐件组装ABCDB12/15/2022108结构力学该体系是几何不变体系有四个多余约束。5、由基础开始逐件组装A有基础开始，依次组装梁AB、BC、CD,故原体系为无多余约束几何不变体系。

ABCDEFGHABCDB由基础开始，依次组装梁AB、BCD、加二元体CEA后为无多余约束的几何不变体系，作为刚片Ⅰ，再与刚片FGH用交于一点的三根链杆相连，故原体系为瞬变体系。12/15/2022109结构力学有基础开始，依次组装梁AB、BC、CD,故原体系为无多余约束6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的前提下，可以改变它的大小、形状及内部组成。即用一个等效（与外部连结等效）刚片代替它。有一个多余约束的几何不变体系ⅠⅡⅢⅠⅡⅢ两个刚片用三根平行不等长的链杆相连，几何瞬变体系12/15/2022110结构力学6、刚片的等效代换：在不改变刚片与周围的连结方式的前进一步分析可得，体系是无多余约束的几何不变体系12/15/2022111结构力学进一步分析可得，体系是无多余约束的几何不变体系12/12/2ⅢⅠⅡⅢA三个刚片用共点的三个铰相连，将虚铰用单铰代替，可见刚片Ⅰ、Ⅱ均可绕刚片Ⅲ上A的点转动，故该体系为有两个自由度的几何瞬变体系。(ⅠⅡ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅠⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)(ⅡⅢ)瞬铰和单铰在分析体系动与不动时是等效的，在确定体系作何种运动时两者不等效的。12/15/2022112结构力学ⅢⅠⅡⅢA三个刚片用共点的三个铰相连，将虚铰用单铰代替，可见

ⅠⅡⅢⅡⅢ(ⅠⅡ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)ⅡⅢⅡⅢⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)瞬变体系有一个多余约束的几何不变体系大家一起来12/15/2022113结构力学ⅠⅡⅢⅡⅢ(ⅠⅡ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅰ,Ⅲ)ⅡⅢⅡABCDEFGH

ⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)

无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系瞬变体系(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)(Ⅱ,Ⅲ)

大家一起来12/15/2022114结构力学ABCDEFGHⅠⅡⅢ(Ⅰ,Ⅱ)(Ⅰ,Ⅲ)(Ⅱ,

无多余约束的几何不变体系变体系

大家一起来12/15/2022115结构力学无多余约束的几何大家一起来12/12/202248结2-2-2组成分析举例[例题2-1]

分析图2-16a所示体系的几何组成加二元体减二元体图2-16(b)(c)(a)12/15/2022116结构力学2-2-2组成分析举例[例题2-1]分析图2-16a[例题2-2]

试对图2-17所示体系进行几何组成分析。ACBACBD图2-17EACBDFEACBDF12/15/2022117结构力学[例题2-2]试对图2-17所示体系进行几何组成分析。A[例题2-3]

试对图2-18所示体系进行几何组成分析。图2-18IIIIIIACBD12/15/2022118结构力学[例题2-3]试对图2-18所示体系进行几何组成分析。三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况①一个虚铰在无穷远处几何不变体瞬变体系②两个虚铰在无穷远处几何不变体瞬变体系12/15/2022119结构力学三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况①一个虚铰在无穷远处几何不③三个虚铰在无穷远处瞬变体系常变体系12/15/2022120结构力学③三个虚铰在无穷远处瞬变体系常变体系12/12/20225作业2-1(a)，(b)2-2(c)2-3(b),(c)2-7(b)2-9(c)12/15/2022121结构力学作业2-1(a)，(b)12/12/202254结构力学§2-3平面杆件体系的计算自由度

复杂体系并不都能按照结构组成规则来分析，如何来确定体系为几何可变或是几何