一元回归数学形式-99999统计基础

1统计基础一、随机事件与概率（一）随机事件

有两种以上可能的结果，但在某一次观察中会出现哪一种结果具有不确定性的事件。事件：A、B、C（二）概率：度量随机事件发生的可能性。2事件概率的计算1.古典概率等可能性P（A）=m/n2.统计概率P（A）≈m/n3.主观概率3计数法则乘法原理：如果一个事件的完成要经过K个步骤，每一步骤分别有n1，n2，……，nk种方法则完成该事件共有n1n2…nk种方法。加法原理：如果一个事件的完成有K种方式，每种方式分别有n1，n2，……，nk种方法则完成该事件共有n1+n2+…+nk种方法。4习题计算抛3枚硬币时，如下结果发生的概率：（1）3枚中有1枚出现正面的概率；（2）3枚中至少有1枚出现正面的概率；（3）3枚中第一枚和第二枚都出现正面的概率；（4）3枚都出现反面的概率。5某游乐场设一摇奖装置，内装2个骰子，每个骰子均有6面，每面分别记上1，2，…，6分。（1）若中奖的规则是：摇出的2个骰子分数之和等于或超过10分，问中奖的机会是多大？（2）若中奖的规则改为：摇出的2个骰子的分数必须相等，问中奖的机会多大？6有三扇关着的门，其中一扇门后面放着一辆车。主持人知道车在哪里。假定主持人请你猜哪扇门后面有车。当你选定后，主持人打开另外两扇门当中的一扇空门。然后，问你是否愿意改变你的选择？7随机变量及分布离散型随机变量的概率分布（一）概率分布——分布列例：打靶规定打中域Ⅰ得3分，打中域Ⅱ得2分，打中域Ⅲ得1分，域外得0分。一射手每100次射击，平均有30次中域Ⅰ，55次中域Ⅱ，10次中域Ⅲ。该射手射击得分的概率分布为：0.5520.1010.0500.30P（X）3X8（二）离散型随机变量的数学期望值和方差1.期望值(Expectedvalue)X0123P(X)0.050.100.550.30该射手得分的数学期望值是:E(X)=0×0.05+1×0.10+2×0.55+3×0.30=2.10分2.方差9连续型随机变量的概率分布

X、P（x）10连续型随机变量的特征值11数学期望值和方差的数学性质12某地电信局每月固定收取每部电话16元，市内电话每分钟收费0.1元。已知某集团用户电话每月使用时间的标准差为80分钟，试计算该集团用户每月话费的标准差。13正态分布

NormalDistribution1. 钟型，对称2. 随机变量值域无限。均值Meanxf(x)了解正态分布的特征掌握与正态分布有关的概率计算14正态分布概率密度函数f(x)：随机变量x的概率密度函数x：随机变量的值(-<X<)=3.14159;e=2.71828：总体的均值σ：总体的标准差15参数变化(

和)对分布图形的影响Xf(X)CAB16正态分布概率连续概率分布是对密度函数曲线以下面积的积分!cdXf(X)PcXdfXdxcd()()?17Z=0z=1Z正态分布的标准化正态分布标准正态分布X18

计算(1)P(z<1.96)(2)P(z>1.5)(3)P(z<-2)(4)P(z>-1)(5)P(-2.33<z<2.33)19例题某地区家庭人均月收入是服从μ=1000元,σ=200的正态分布随机变量。求该地区人均月收入：（1）超过1200元的概率；（2）低于700元的概率；（3）在900—1100元之间的概率。20例：某年A省理科考生的高考成绩服从平均分=500分，标准差=100分的正态分布，求：

（1）考生的考分低于500分的概率；

（2）设考生的考分为X，问X为何值才能使75%的

考生的考分低于这一值？

（3）问X为何值才能使90%的考生的考分高于这

一值？21用标准差判断概率在均值±1个标准差(1x)之间取值的概率为68.27%在均值±2个标准差(2x)之间取值的概率为95.45%

在均值±3个标准差(3x)之间取值的概率为99.73%

22一、总体和样本总体（Population）：所要研究对象的全体。样本（Sampling）：为推断总体的某些特征，从总体中抽取的若干个体（Itemunit）。

抽样估计的基本概念二、参数和统计量参数——总体统计量——样本23关键术语参数(Parameter)样本统计量(SamplingStatistic)抽样分布(Samplingdistribution)24抽样分布抽样分布——样本统计量的概率分布样本平均数的分布特征一、样本平均数的平均数等于总体平均数25二、样本平均数的方差等于总体方差的1/n。26样本平均数的标准差：反映的是样本平均数与其数学期望值（又即总体平均数）的平均误差程度，故可称为抽样平均误差、抽样标准误。影响抽样平均误差的因素？27抽样分布定理一、正态分布的再生定理当总体服从正态分布时（数学期望值与方差已知），样本平均数也服从正态分布。2829应用例：会计专业毕业生的年薪平均起点为25000元，假设其年薪服从正态分布，标准差为1000元。样本容量n=100，400时1.简述样本年薪平均起点的抽样分布。2.分别计算样本均值在总体均值左右100元以内的概率是多少在估计总体均值时，大样本的好处是什么？30二、中心极限定理31中心极限定理

CentralLimitTheorem(CLT)如果样本容量足够大(n

30)...抽样分布近乎服从正态分布32习题本期全体“托福”考生的平均成绩为580分，标准差为150分，现在随机抽取100名考生成绩。1.简述样本平均成绩的抽样分布。2.估计样本平均成绩在610分以上的概率是多少？33点估计与区间估计点估计—根据样本资料得到参数的一个估计值。

抽样估计的基本方法341、无偏性：

(Unbiasedness)优良估计量的标准35优良估计量的标准2、有效性：

(Efficiency)36优良估计量的标准3、一致性：

(Consistency)37置信标准（置信度）：-zz38总体参数的区间估计

（Intervalestimate)正态总体，方差已知习题通常人类的智商呈正态分布，方差为225。现随机抽样64人调查，计算样本的平均智商为102。试以95.45％的概率，估计总体智商均值的置信区间。3940总体均值的置信区间为即为[102－3.75，102+3.75]=[98.25，105.75]因此，研究者有95.45％的把握，确认总体智商的均值在98.25～105.75之间。置信区间41总体参数的区间估计

（Intervalestimate)正态总体，方差已知正态总体，方差未知42均值的区间估计(X

未知)

应用t

分布

-tt043结论：44Zt0t(df=5)标准正态分布

t(df=13)钟形对称尾部较大（1）t分布关于x=0对称。（2）当样本容量很大时，接近正态分布（3）E（X）=0，Var(X)=n/（n-2）45自由度(df)

DegreesofFreedom(df)1. 当样本统计量被计算出以后可以自由取值的观测值数目2. 例如3个数之和是6

X1=1(或其他数)

X2=2(或其他数)

X3=3(不能改变)

Sum=6自由度=n-1

=3-1

=246例题某大学从该校学生中随机抽取25人，调查到他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟，样本方差S2=36。试以95%的置信水平估计该大学的学生平均每天参加体育锻炼的时间（假定x～N（μ，σ2））。解：已知n=25，x～N（μ，σ2），σ2未知则样本统计量服从t分布47总体均值的置信区间为即为[26－2.48，26+2.48]=[23.52，28.48]故全校学生平均每天参加体育锻炼的时间在23.52~28.48分钟之间。48假设检验的一般问题一、假设检验的基本思想二、假设检验的步骤三、假设检验中的两类错误49如果总体均值

=4535样本均值不大可能为这个值因此拒绝原假设

=45样本平均年龄45抽样分布一、假设检验的基本思想4050

假设检验的基本思想基于小概率原理的反证法51二、假设检验的步骤1、提出假设，包括原假设和备择假设2、构造相应的检验统计量，确定其分布形式；根据样本数据计算统计量的值；3、确定显著性水平和临界值；4、作出结论。（根据所计算的统计量的值与临界值比较确定是否拒绝原假设）52原假设

TheNullHypothesis1.陈述需要检验的假设

例如:H0:=452.原假设用H0

表示3.总是包含等号“=”（比如=,,)4.检验以“假定原假设为真”开始53平均每天看电视时间不是5小时。如何设定假设检验？H0:=5 H1:554例题（双侧检验）据报导，美国全职教授年薪的数学期望值为68000美元，标准差为5000美元。一个由36名大学全职教授组成的样本表明，平均薪水为70000美元，检验报导的可信性。（显著性水平为0.02）55H0临界值临界值/2/2样本统计量拒绝域拒绝域非拒绝域接受域与拒绝域抽样分布1-置信度56（1）H0：μ=68000H1；μ≠68000（2）检验统计量服从Z分布检验统计量:（3）α=0.02，查正态分布表得：Z=2.33，

接受域为（－2.33，2.33）

结论：拒绝假定。57

质检员认为在整个工作流程中平均装盒量符合标准：没有超过368克。随机抽取25盒为样本，均值X=372.5克，标准差s=15

克。试在=0.05的条件下进行检验。给出你的结论。368克.例题（单侧检验）58t0拒绝H0t0拒绝H0接受域与拒绝域H0:0H1:<0H0:0H1:>0必须显著低于才会拒绝小的数值与H0不矛盾.，因此不会拒绝H0左侧检验右侧检验59（1）H0：μ≤368

H1；μ>368（2）检验统计量服从t分布检验统计量:（3）α=0.05，查t分布表得：t=1.711，

接受域为（－∞，1.711）

结论：接受原假定。60假设检验中的两类错误

检验决策错误第一类错误弃真错误,后果往往较为严重出现第一类错误的概率为

,等于显著性水平第二类错误

存伪错误,出现第二类错误的概率为61检验决策结果实际情况实际情况H0为真H0为假决策H0

为真H0为假